全等三角形证明判定方法分类总结doc.docx
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全等三角形证明判定方法分类总结doc
全等三角形
(一)SSS
【知识要点】
1.全等图形定义:
两个能够重合的图形称为全等图形.
2.全等图形的性质:
(1)全等图形的形状和大小都相同,对应边相等,对应角相等
(2)全等图形的面积相等
3.全等三角形:
两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
(1)表示方法:
两个三角形全等用符号“≌”来表示,读作“全等于”如
ABC与DEF全等,记作ABC≌DEF
(2)符号“≌”的含义:
“∽”表示形状相同,“=”表示大小相等,合起来就是形状相同,大小也相等,这就是全等.
(3)两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.
(4)证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
4.全等三角形的判定
(一):
三边对应相等的两个三角形全等,简与成“边边边”或“SSS”.
【典型例题】
A
例1.如图,ABC≌
ADC,点B与点D是对应点,BAC26
,
且
B20,SABC
1,求
CAD,D,ACD的度数及ACD
的
面积.
B
C
D
例2.如图,ABC≌DEF,A50,BC9cm,CE5cm,求EDF的
AD
度数及CF的长.
例3.如图,已知:
AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证:
BAECAD
A
B
D
例4.如图AB=DE,BC=EF,AD=CF,求证:
E
C
(1)ABC≌
DEF
A
A
(2)
D
C
A
E
A
D
C
E
A
D
ABABC中C
90,DE
ABD和CDB
B
ABABCABD
CDB
A
A
EB
D
CC
BA
BABD
CBD
D
F
ABD和CDB
C
C
ABCBBAD
C
F
A
C
B
D
D
E
B
B
E
E
F
35
C
CE60,
ABD
BAD第885题图356080DABC
DEFACD
BCE
C
A
B
DAE
第5题图
EABE
DCF
A
BC
A
D
D
ABC
AED
C
B
C
A
题图
F
C
第3
E
F
B40,EAB
30,
C
45,则BAC
第6题图
D
DAC
第
ABE
ACD
第4题图
9题题图
B
A
BAD
ABCDEF
C
90
C与
F互余
AEB
BAE
第
7题图
C与
F互补
A与
E互余
B与
D互余
ACF
DBE
E30,ACF
110,AD9cm,CD2.5cm
D
ABC与ABD
ABC
ABD
ABC
CDA则AD的长是(
)
A、7cm
B
、5cm
C
、8cm
D
、无法确定
2.如图,
ABC≌
DCE,
A
48,
E
62,点B、C、E在同一直线上,
则
ACD的度数为(
)
A
、48
B、38
C
、110
D
、62
3.如图,ABC≌DEF,AF=2cm,CF=5cm,则AD=.
4.如图,ABE≌ACD,A100,B25,求BDC的度数.
A
D
E
B
C
5
.如
图A,
已
知
,
AB=DE,
BC=EF,
AF=CD,
求
证:
A
AA
E
B
D
AB
DE
AB
ABC
FFED
BAD
CAEABC
DEF
B
E
ABC
B
D
D
E
E
BC
EF
C
F
A
C
C
DEF(SAS)
C
D
E
F
BED
B
C
B
A
【例2】如图,已知:
点D、E在BC上,且BD=CE,AD=AE,∠1=∠2,由此你能得出哪些结论?
给出证明.
【例3】如图已知:
AE=AF,AB=AC,∠A=60°,∠B=24°,求∠BOE的度数.
B
E
O
A
C
F
【例4】如图,B,C,D在同一条直线上,△
ABC,△ADE是等边三角形,
求证:
①CE=AC+DC;②∠ECD=60°.
E
A
B
CD
【例5】如图,已知△ABC、△BDE均为等边三角形。
求证:
BD+CD=AD。
A
E
BC
D
1
2
C
B
E
D
【巩固练习】
1.在△ABC和△ABC中,若AB=AB,AC=AC,还要加一个角的条件,使
△ABC≌△ABC,那么你加的条件是()
A.∠A=∠AB.∠B=∠BC.∠C=∠CD.∠A=∠B
2.下列各组条件中,能判断△ABC≌△DEF的是()
A.AB=DE,BC=EF;CA=CD=CD;∠C=∠F;AC=EF
C.CA=CD;∠B=∠E=DE;BC=EF,两个三角形周长相等
3.阅读理解题:
如图:
已知AC,BD相交于O,OA=OB,OC=OD.
那么△AOD与△BOC全等吗?
请说明理由.△ABC与△BAD全等吗?
请说明理
由.
小明的解答:
OA=OB
SAS
OD=OC
12
△AOD≌△BOC
D
C
而△BAD=△AOD+△ADB△ABC=△BOC+△AOB
2
1
所以△ABC≌△BAD
O
(1)你认为小明的解答有无错误;
(2)如有错误给出正确解答;
A
B
4.如图,点C是AB中点,CD∥BE,且CD=BE,试探究AD与CE的关系。
A
CD
BE
5.如图,AE是BAC的平分线,AB=AC
(1)若D是AE上任意一点,则△ABD≌△ACD,说明理由.
(2)若D是AE反向延长线上一点,结论还成立吗?
请说明理由.
B
1E
A
2D
C
6.如图,已知AB=AC,EB=EC,请说明BD=CD的理由
A
E
BDC
全等三角形
(二)作业
1.如图,已知AB=AC,AD=AE,BF=CF,求证:
BDF≌CEF。
A
DE
F
BC
2.如图,△ABC,△BDF为等腰直角三角形。
求证:
(1)CF=AD;
(2)CE⊥AD。
A
FE
CBD
3.如图,AB=AC,AD=AE,BE和CD相交于点O,AO的延长线交BC于点F。
求证:
BF=FC。
A
DE
O
BFC
4.已知:
如图1,AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、F在直线AC上,求证:
DE∥BF。
F
D
C
1
2
A
B
E
5.如图,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE,
B
求证:
(1)BE=DC,
(2)BE⊥DC.
A
D
P
Q
C
E
6、已知,如图A、F、C、D四点在一直线上,AF=CD,AB证:
BD=CE
8、如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE、DG,
(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论。
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?
若存在,请说出旋转过程,若不存在,说明理由。
12、如图,△
ABC是等腰直角三角形,其中
CA=CB,四边形
CDEF是正方形,连接
AF、BD.
(1)观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想;
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC
的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题
(1)中猜想的
结论是否仍然成立?
若成立,直接写出结论,不必证明;若不成立,请说明理由.
9、已知:
如图,AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证:
(1)AM=BN
(2)求∠AFN大小。
N
FM
D
E
ACB
11、已知如图,F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB的延长线上,FB=EB,AF
交CE于G,求∠AGC的度数.
全等三角形(三)ASA
【知识要点】
ASA公理:
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
A
如图,在
ABC与
DEF中
A
D
B
AB
DE
D
B
E
ABC
DEF(ASA)
E
ASA公理推论(AAS公理):
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
【典型例题】
【例1】下列条件不可推得
ABC和
A'B'C'全等的条件是(
)
A、
AB=A'B',A
A',
CC'
B、AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'
C、
AB=A'
B'
,AC=A'C',
B
B'
D、
AB=A'
B'
,
A
A'
,
B
B'
A
D
【
例2
】
已
知
如
图
,
A
D,AB
DE,AB//DE,求证:
BC=EF
B
E
CF
【例3】如图,AB=AC,BC,求证:
AD=AE
A
C
【例4】已知如图,1
2,34,点P在AB上,可以得出
PC=PD吗?
试
证明之.
B
F
12
DC
P
34
A
【例5】如图,123,AC=AE,求证:
DE=BC
A
2
1
4
E
O
3
BDC
DE
【例6】如图,AD,12,AC,BD相交于O,
求证:
①AB=CD②OA=ODAD
O
1
2
C
B
【巩固练习】
1
.
AC
如
图
A
,
A
E
E
D
A
'
B
E
A
AA
A
BB
C
G
A
D
A
F
1
A
D
1
3
D
F
O
2
C
A
D
N
D
E
B
FC
F
2
D
D
1
CMO
'
A
D
E'
4
'
C
F
B
C
B
B
B
DCD
C
B
E
D
B
C
C
BA
C
EC
B
2
D
(图1)
'
'
'
D
B
AB
'
'
EOD
FOB
AOE
C
12
COF
E,
C
E
B
A
D,
1
2,AF
CD
AED
ADE,
BAE
CAD
B
D,
BAD
CAE
ABC
BAC,AD
BC
ACD
ABD
ACB
DBC,
DCA
ABD,AC
10cm△ABC
证:
△EDN≌△CDN≌△EMN.
9、已知:
如图,AB=AC,AD=AE,求证:
△OBD≌△OCE
10、已知:
如图,AB=CD,AD=BC,O为BD中点,过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F.求证:
OE=OF
11、如图在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点.求证:
PA=PD.
12、已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB延长
线于E,CE=CD.
求证:
∠ADE=∠EDC.
13、已知:
如图,OA=OE,OB=OF,
求证:
∠1=∠2.
直线
FA与
BE交于
C,AB
和EF交于
O,
全等三角形(四)
4、已知:
如图,
△ABC
中,
ABC
45°CD
AB
于
D
,
BE
平分
ABC
,
,
强化训练
且BE
AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结
DH与BE相交
1、如图,△
ABC是等边三角形,点
D、E、F分别是线段AB、BC、CA上
于点G.
的点,
(1)求证:
BF
AC;
(2)求证:
CE
1BF;
(1)若AD
BECF,问△DEF是等边三角形吗?
试证明你的结论;
2
(2)若△DEF是等边三角形,问
ADBECF成立吗?
试证明你的结论.
2、如图所示,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延长线于M,求证:
2∠M=(∠ACB-
∠B)
5、如图,点O是等边
△ABC内一点,
AOB
110o,
BOC
.将△BOC
绕点C按顺时针方向旋转60o得△ADC,连接OD.
(1)求证:
△COD是等边三角形;
(2)当150o时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:
当为多少度时,△AOD是等腰三角形?
3、△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC中点,E、F分别在AC、AB上,且DE⊥DF,
试判断DE、DF的数量关系,并说明理由.
7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC,在AM上取点D,使BD=BC,
且DB与AC所在直线交于E,求证:
CD=CE。
易证△BCD≌△ACE所以∠DBC=∠EAC
再证△BCN≌△ACM(ASA)
∴CM=CN
过A作AF⊥BC于F,过D作DG⊥BC于G,则DG=AF=1/2BC=1/2BD,在Rt△BDG中,DG=1/2BD=>
∠DBC=30°=>∠BDC=∠BCD=1/2(180°-30°)=75°,即∠EDC=75°
∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75°∴∠EDC=∠DEC=>CD=CE
8、Rt△ABC,AB=AC,BM是中线,AD⊥BM交BC于D,求证:
∠AMB=∠CMD。
9、如图,已知△ABC是等边三角形,∠BDC=120o,说明AD=BD+CD的理由。
10、已知:
如图,点D在△ABC的边CA的延长线上,点E在BA的延长线上,CF、
EF分别是∠ACB、∠AED的平分线,且∠B=30°,∠D=40°,求∠F的度数。
11、等边三角形ABC和等边三角形DEC,D在AC边上。
延长BD交CE延长线于N,
延长AE交BC延长线于M。
求证:
CM=CN
12、操作:
如图①,△
是正三角形,△
是顶角∠
=120°的等腰三角形,
ABC
BDC
BDC
A
B
以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交
AB、AC边于M、N两点,连接MN.探
究:
线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.
BC
0
15、如图,ABC是等腰直角三角形,∠C=90,点M,N分别是边AC和BC的中点,点
D在射线BM上,且BD=2BM,点E在射线NA上,且NE=2NA.求证:
BD⊥DE.
13、如图等边△ABC和等边△CDE,点P为射线BC一动点,角APK=60°,PK交直线
CD于K。
(1)试探索AP、PK之间的数量关系;
(2)当点P运动到BC延长线上时,上题结论是否依然成立?
为什么。
14、(涉及相似三角形)若P为△ABC所在平面上一点,且
APBBPCCPA120°,则点P叫做△ABC的费马点.如图,在锐角
△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′。
求证:
BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PAPBPC.
第五章全等三角形拓展延伸
分析:
三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边(角)放入正确的三角形中”,去说明“相等的边(角)所在的三角形
全等”,利用三角形全等来说明两个角相