全等三角形证明判定方法分类总结doc.docx
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全等三角形证明判定方法分类总结doc
全等三角形
（一）SSS
【知识要点】
1．全等图形定义：
两个能够重合的图形称为全等图形．
2．全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等
（2）全等图形的面积相等
3．全等三角形：
两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（1）表示方法：
两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如
ABC与DEF全等，记作ABC≌DEF
（2）符号“≌”的含义：
“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．
（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．
（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
4．全等三角形的判定
（一）：
三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．
【典型例题】
A
例1．如图，ABC≌
ADC，点B与点D是对应点，BAC26
，
且
B20，SABC
1，求
CAD,D,ACD的度数及ACD
的
面积．
B
C
D
例2．如图，ABC≌DEF，A50,BC9cm,CE5cm，求EDF的
AD
度数及CF的长．
例3．如图，已知：
AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：
BAECAD
A
B
D
例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：
E
C
（1）ABC≌
DEF
A
A
（2）
D
C
A
E
A
D
C
E
A
D
ABABC中C
90,DE
ABD和CDB
B
ABABCABD
CDB
A
A
EB
D
CC
BA
BABD
CBD
D
F
ABD和CDB
C
C
ABCBBAD
C
F
A
C
B
D
D
E
B
B
E
E
F
35
C
CE60,
ABD
BAD第885题图356080DABC
DEFACD
BCE
C
A
B
DAE
第5题图
EABE
DCF
A
BC
A
D
D
ABC
AED
C
B
C
A
题图
F
C
第3
E
F
B40,EAB
30,
C
45,则BAC
第6题图
D
DAC
第
ABE
ACD
第4题图
9题题图
B
A
BAD
ABCDEF
C
90
C与
F互余
AEB
BAE
第
7题图
C与
F互补
A与
E互余
B与
D互余
ACF
DBE
E30,ACF
110,AD9cm,CD2.5cm
D
ABC与ABD
ABC
ABD
ABC
CDA则AD的长是（
）
A、7cm
B
、5cm
C
、8cm
D
、无法确定
2．如图，
ABC≌
DCE，
A
48,
E
62，点B、C、E在同一直线上，
则
ACD的度数为（
）
A
、48
B、38
C
、110
D
、62
3．如图，ABC≌DEF，AF=2cm,CF=5cm，则AD=．
4．如图，ABE≌ACD，A100,B25，求BDC的度数．
A
D
E
B
C
5
．如
图A，
已
知
，
AB=DE，
BC=EF，
AF=CD，
求
证：
A
AA
E
B
D
AB
DE
AB
ABC
FFED
BAD
CAEABC
DEF
B
E
ABC
B
D
D
E
E
BC
EF
C
F
A
C
C
DEF（SAS）
C
D
E
F
BED
B
C
B
A
【例2】如图，已知：
点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？
给出证明.
【例3】如图已知：
AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度数.
B
E
O
A
C
F
【例4】如图，B，C，D在同一条直线上，△
ABC，△ADE是等边三角形，
求证：
①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.
E
A
B
CD
【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。
求证：
BD＋CD=AD。
A
E
BC
D
1
2
C
B
E
D
【巩固练习】
1．在△ABC和△ABC中，若AB=AB，AC=AC，还要加一个角的条件，使
△ABC≌△ABC，那么你加的条件是（）
A．∠A=∠AB.∠B=∠BC.∠C=∠CD.∠A=∠B
2．下列各组条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）
A．AB=DE，BC=EF；CA=CD=CD；∠C=∠F；AC=EF
C．CA=CD；∠B=∠E=DE；BC=EF，两个三角形周长相等
3．阅读理解题：
如图：
已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD.
那么△AOD与△BOC全等吗？
请说明理由.△ABC与△BAD全等吗？
请说明理
由.
小明的解答：
OA=OB
SAS
OD=OC
12
△AOD≌△BOC
D
C
而△BAD=△AOD+△ADB△ABC=△BOC+△AOB
2
1
所以△ABC≌△BAD
O
（1）你认为小明的解答有无错误；
（2）如有错误给出正确解答；
A
B
4．如图，点C是AB中点，CD∥BE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。
A
CD
BE
5．如图，AE是BAC的平分线，AB=AC
（1）若D是AE上任意一点，则△ABD≌△ACD，说明理由.
（2）若D是AE反向延长线上一点，结论还成立吗？
请说明理由.
B
1E
A
2D
C
6．如图，已知AB=AC，EB=EC，请说明BD=CD的理由
A
E
BDC
全等三角形
（二）作业
1．如图，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证：
BDF≌CEF。
A
DE
F
BC
2．如图，△ABC，△BDF为等腰直角三角形。
求证：
（1）CF=AD；
（2）CE⊥AD。
A
FE
CBD
3．如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。
求证：
BF=FC。
A
DE
O
BFC
4．已知：
如图1，AD∥BC，AE=CF，AD=BC，E、F在直线AC上，求证：
DE∥BF。
F
D
C
1
2
A
B
E
5.如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，
B
求证：
（1）BE=DC，
（2）BE⊥DC.
A
D
P
Q
C
E
6、已知，如图A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB证:
BD=CE
8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，
（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？
若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。
12、如图，△
ABC是等腰直角三角形，其中
CA=CB，四边形
CDEF是正方形，连接
AF、BD.
（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC
的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题
（1）中猜想的
结论是否仍然成立？
若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
9、已知:
如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:
BE∥CF．
10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：
（1）AM=BN
（2）求∠AFN大小。
N
FM
D
E
ACB
11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB＝EB，AF
交CE于G，求∠AGC的度数.
全等三角形（三）ASA
【知识要点】
ASA公理：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
A
如图，在
ABC与
DEF中
A
D
B
AB
DE
D
B
E
ABC
DEF（ASA）
E
ASA公理推论（AAS公理）：
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．
【典型例题】
【例1】下列条件不可推得
ABC和
A'B'C'全等的条件是（
）
A、
AB=A'B'，A
A'，
CC'
B、AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'
C、
AB=A'
B'
，AC=A'C'，
B
B'
D、
AB=A'
B'
，
A
A'
，
B
B'
A
D
【
例2
】
已
知
如
图
，
A
D,AB
DE,AB//DE，求证：
BC=EF
B
E
CF
【例3】如图，AB=AC，BC，求证：
AD=AE
A
C
【例4】已知如图，1
2,34，点P在AB上，可以得出
PC=PD吗？
试
证明之．
B
F
12
DC
P
34
A
【例5】如图，123，AC=AE，求证：
DE=BC
A
2
1
4
E
O
3
BDC
DE
【例6】如图，AD,12，AC，BD相交于O，
求证：
①AB=CD②OA=ODAD
O
1
2
C
B
【巩固练习】
1
．
AC
如
图
A
，
A
E
E
D
A
'
B
E
A
AA
A
BB
C
G
A
D
A
F
1
A
D
1
3
D
F
O
2
C
A
D
N
D
E
B
FC
F
2
D
D
1
CMO
'
A
D
E'
4
'
C
F
B
C
B
B
B
DCD
C
B
E
D
B
C
C
BA
C
EC
B
2
D
（图１）
'
'
'
D
B
AB
'
'
EOD
FOB
AOE
C
12
COF
E,
C
E
B
A
D,
1
2,AF
CD
AED
ADE,
BAE
CAD
B
D,
BAD
CAE
ABC
BAC,AD
BC
ACD
ABD
ACB
DBC,
DCA
ABD,AC
10cm△ABC
证：
△EDN≌△CDN≌△EMN．
9、已知：
如图,AB=AC,AD=AE,求证：
△OBD≌△OCE
10、已知：
如图,AB=CD,AD=BC,O为BD中点,过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：
OE=OF
11、如图在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点．求证：
PA=PD.
12、已知：
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB延长
线于E,CE=CD．
求证：
∠ADE=∠EDC．
13、已知：
如图,OA=OE,OB=OF,
求证：
∠1=∠2．
直线
FA与
BE交于
C,AB
和EF交于
O,
全等三角形（四）
4、已知：
如图，
△ABC
中，
ABC
45°CD
AB
于
D
，
BE
平分
ABC
，
，
强化训练
且BE
AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结
DH与BE相交
1、如图，△
ABC是等边三角形，点
D、E、F分别是线段AB、BC、CA上
于点G．
的点，
（1）求证：
BF
AC；
（2）求证：
CE
1BF；
（1）若AD
BECF，问△DEF是等边三角形吗？
试证明你的结论；
2
（2）若△DEF是等边三角形，问
ADBECF成立吗？
试证明你的结论．
2、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：
2∠M=（∠ACB-
∠B）
5、如图，点O是等边
△ABC内一点，
AOB
110o，
BOC
．将△BOC
绕点C按顺时针方向旋转60o得△ADC，连接OD．
（1）求证：
△COD是等边三角形；
（2）当150o时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：
当为多少度时，△AOD是等腰三角形？
3、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，
试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．
7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，
且DB与AC所在直线交于E，求证：
CD=CE。
易证△BCD≌△ACE所以∠DBC=∠EAC
再证△BCN≌△ACM（ASA）
∴CM=CN
过A作AF⊥BC于F，过D作DG⊥BC于G，则DG=AF=1/2BC=1/2BD，在Rt△BDG中，DG=1/2BD=>
∠DBC=30°=>∠BDC=∠BCD=1/2（180°-30°）=75°，即∠EDC=75°
∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75°∴∠EDC=∠DEC=>CD=CE
8、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD⊥BM交BC于D，求证：
∠AMB=∠CMD。
9、如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120o，说明AD=BD+CD的理由。
10、已知：
如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、
EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。
11、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。
延长BD交CE延长线于N，
延长AE交BC延长线于M。
求证：
CM=CN
12、操作：
如图①，△
是正三角形，△
是顶角∠
＝120°的等腰三角形，
ABC
BDC
BDC
A
B
以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交
AB、AC边于M、N两点，连接MN．探
究：
线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
BC
0
15、如图,ABC是等腰直角三角形,∠C＝90,点M,N分别是边AC和BC的中点,点
D在射线BM上,且BD＝2BM,点E在射线NA上,且NE＝2NA.求证:
BD⊥DE.
13、如图等边△ABC和等边△CDE，点P为射线BC一动点，角APK=60°，PK交直线
CD于K。
（1）试探索AP、PK之间的数量关系；
（2）当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？
为什么。
14、（涉及相似三角形）若P为△ABC所在平面上一点，且
APBBPCCPA120°，则点P叫做△ABC的费马点.如图，在锐角
△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′。
求证：
BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PAPBPC.
第五章全等三角形拓展延伸
分析：
三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形
全等”，利用三角形全等来说明两个角相
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