全等三角形证明判定方法分类总结doc.docx

1、全等三角形证明判定方法分类总结doc全等三角形（一） SSS【知识要点】1全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形2全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（ 1 ）表示方法：两个三角形全等用符号“”来表示，读作“全等于” 如ABC与 DEF 全等，记作 ABC DEF（2）符号“”的含义： “”表示形状相同， “ =”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角（4）证

2、两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上4全等三角形的判定（一） ：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“ SSS”【典型例题】A例 1如图， ABC ADC ，点 B 与点 D 是对应点， BAC 26，且B 20 ，S ABC1 ，求CAD , D , ACD 的度数及 ACD的面积BCD例 2如图， ABC DEF ， A 50 , BC 9cm, CE 5cm ，求 EDF 的A D度数及 CF的长例 3如图，已知： AB=AD， AC=AE， BC=DE，求证： BAE CADABD例 4如图 AB=DE， BC=EF， AD=CF，求证：EC（1） A

3、BC DEFAA（2）DCAEADCEADAB ABC中 C90,DEABD和 CDBBAB ABC ABDCDBAAEBDC CBAB ABDCBDDFABD和 CDBCCABC B BADCFACBDDEBBEEF35CCE 60,ABDBAD第885题图35 60 80D ABCDEF ACDBCECABDAE第 5题图EABEDCFABCADDABCAEDCBCA题图FC第 3EFB 40, EAB30 ,C45 ,则 BAC第6题图DDAC第ABEACD第 4题图9 题题图BABADABC DEFC90C与F互余AEBBAE第7 题图C与F互补A与E互余B与D 互余ACFDBEE 3

4、0, ACF110 , AD 9cm,CD 2.5cmDABC与 ABDABCABDABCCDA 则 AD的长是（）A 、 7cmB、5cmC、 8cmD、无法确定2如图，ABC DCE ，A48 ,E62 ，点 B、 C、 E 在同一直线上，则ACD 的度数为（）A、 48B 、38C、 110D、 623如图， ABC DEF ，AF=2cm,CF=5cm，则 AD= 4如图， ABE ACD ， A 100 , B 25 ，求 BDC 的度数ADEBC5 如图 A ，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证 ：AA AEBDABDEABABCF FEDBADCAE ABCDE

5、FBEABCBDDEEBCEFCFACCDEF ( SAS)CDEFBE DBCBA【例 2】 如图，已知：点 D、 E 在 BC上，且 BD=CE，AD=AE， 1= 2，由此你能得出哪些结论？给出证明 .【例 3】 如图已知： AE=AF，AB=AC， A=60， B=24，求 BOE的度数 .BEOACF【例 4】 如图， B，C， D 在同一条直线上，ABC， ADE是等边三角形，求证： CE=AC+DC； ECD=60.EABC D【例 5】如图，已知 ABC、 BDE均为等边三角形。求证： BD CD=AD。AEB CD12CBED【巩固练习】1在 ABC和 A B C 中，若 A

6、B=A B ，AC=A C ，还要加一个角的条件，使 ABC A B C ，那么你加的条件是（ ）A A= A B. B= B C. C= C D. A= B2 下列各组条件中，能判断 ABC DEF的是（ ）A AB=DE， BC=EF； CA=CD =CD ； C= F；AC=EFC CA=CD； B= E =DE ； BC=EF，两个三角形周长相等3阅读理解题：如图：已知 AC， BD相交于 O，OA=OB，OC=OD.那么 AOD与 BOC全等吗？请说明理由 . ABC 与 BAD 全等吗？请说明理由 .小明的解答：OA=OBSASOD=OC12 AOD BOCDC而 BAD= AOD

7、+ ADB ABC= BOC+AOB21所以 ABC BADO（1）你认为小明的解答有无错误；（ 2）如有错误给出正确解答；AB4如图，点 C 是 AB中点， CDBE，且 CD=BE，试探究 AD与 CE的关系。AC DB E5如图， AE是 BAC 的平分线 ，AB=AC（1）若 D 是 AE上任意一点，则 ABD ACD，说明理由 .（2）若 D 是 AE反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由 .B1 EA2 DC6如图，已知 AB=AC， EB=EC，请说明 BD=CD的理由AEB D C全等三角形（二）作业1如图，已知 AB=AC， AD=AE， BF=CF，求证： BDF CE

8、F 。AD EFB C2如图， ABC， BDF为等腰直角三角形。求证： （1） CF=AD；（ 2） CE AD。AF EC B D3如图， AB=AC， AD=AE， BE和 CD相交于点 O， AO的延长线交 BC于点 F。求证： BF=FC。AD EOB F C4已知：如图 1， AD BC， AE=CF， AD=BC， E、 F 在直线 AC上，求证： DE BF。FDC12ABE5. 如图，已知 ABAC， ADAE， AB=AC， AD=AE，B求证：（ 1）BE=DC，（2） BE DC.ADPQCE6、已知，如图 A、 F、 C、 D 四点在一直线上， AF=CD， AB证

9、:BD=CE8、如图，正方形 ABCD的边 CD在正方形 ECGF的边 CE上，连接 BE、DG，（1）观察猜想 BE 与 DG之间的大小关系，并证明你的结论。（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。12、 如图，ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、 BD.(1) 观察图形，猜想 AF 与 BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2) 若将正方形 CDEF绕点 C 按顺时针方向旋转，使正方形 CDEF的一边落在 ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题 (1) 中猜想的结论是

10、否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由 .9、已知 : 如图 ,AD 是 BC上的中线 , 且 DF=DE求证 :BE CF10、已知 C 为 AB上一点 , ACN和 BCM是正三角形 . 求证：（ 1） AM=BN（ 2）求 AFN大小。 NF MDEA C B11、已知如图， F 在正方形 ABCD的边 BC边上， E 在 AB 的延长线上， FBEB， AF交 CE于 G，求 AGC的度数 .全等三角形（三） ASA【知识要点】ASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等A如图，在ABC 与DEF 中ADBABDEDBEABCDEF (ASA)EAS

11、A公理推论（ AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等【典型例题】【例 1】下列条件不可推得ABC 和A BC 全等的条件是（）A、AB=A B ， AA ，CC B、 AB= A B ， AC=A C ， BC=B CC、AB=AB， AC=A C ，BB D、AB=AB，AA，BBAD【例2】已知如图，AD, ABDE , AB / DE ，求证： BC=EFBECF【例 3】如图， AB=AC， B C ，求证： AD=AEAC【例 4】已知如图， 12, 34 ，点 P 在 AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之BF1 2D CP3 4A【例 5】如图， 1 2 3

12、 ， AC=AE，求证： DE=BCA214EO3B D CD E【例 6】如图， A D, 1 2 ， AC， BD相交于 O，求证： AB=CD OA=OD A DO12CB【巩固练习】1A C如图A，AEEDABEAA AAB BCGADAF1AD13DFO2CADNDEBFCF2DD1C MOADE4CFBCBBBD CDCBEDBCCB ACECB2D（图）DBABEODFOBAOEC12COFE,CEBAD ,12, AFCDAEDADE ,BAECADBD ,BADCAEABCBAC , ADBCACDABDACBDBC ,DCAABD , AC10cm ABC证： EDN CD

13、N EMN9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证： OBD OCE10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为 BD 中点 , 过 O 作直线分别与 DA、 BC 的延长线交于 E、 F求证： OE=OF11、如图在 ABC和 DBC中 , 1= 2 , 3= 4 , P 是 BC上任意一点求证：PA=PD.12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD中 , AD BC , F 是 AB 的中点 , DF 交 CB延长线 于 E , CE=CD求证： ADE= EDC13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF ,求证： 1= 2直线FA 与BE 交于C,AB

14、和 EF交于O ,全等三角形（四）4、已知：如图， ABC中，ABC45 CDAB于D，BE平分ABC，强化训练且 BEAC 于 E ，与 CD 相交于点 F， H 是 BC 边的中点，连结DH 与BE相交1、如图，ABC 是等边三角形，点D、 E、 F 分别是线段 AB、BC、CA上于点G的点，（1）求证： BFAC ；（2）求证：CE1BF；（ 1）若 ADBE CF ，问 DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论；2（ 2）若 DEF 是等边三角形，问AD BE CF 成立吗？试证明你的结论2、如图所示， 已知 1= 2，EF AD于 P，交 BC延长线于 M，求证： 2 M=（ ACB-

15、B）5、 如图，点 O 是等边 ABC 内一点，AOB110o，BOC将 BOC绕点 C 按顺时针方向旋转 60o 得 ADC ，连接 OD （1）求证： COD 是等边三角形；（2）当 150o时，试判断 AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当 为多少度时， AOD 是等腰三角形？3、 ABC中， A=90， AB=AC，D 为 BC中点， E、F 分别在 AC、AB上，且 DE DF，试判断 DE、 DF的数量关系，并说明理由7、过等腰直角三角形直角顶点 A 作直线 AM平行于斜边 BC，在 AM上取点 D，使 BD=BC，且 DB与 AC所在直线交于 E，求证： CD=CE。 易证

16、BCD ACE 所以 DBC= EAC再证 BCN ACM (ASA) CM=CN过 A 作 AFBC于 F，过 D 作 DGBC于 G，则 DG=AF=1/2BC=1/2BD，在 RtBDG中， DG=1/2BD =DBC=30 = BDC=BCD=1/2(180 - 30)=75，即 EDC=75DEC= DBC+BCA=30+45=75 EDC=DEC =CD=CE8、 Rt ABC， AB=AC,BM是中线， AD BM交 BC于 D，求证： AMB= CMD。9、如图，已知 ABC是等边三角形， BDC 120o，说明 AD=BD+CD的理由。10、已知：如图，点 D 在 ABC的边

17、 CA的延长线上，点 E 在 BA的延长线上， CF、EF 分别是 ACB、 AED的平分线，且 B=30， D=40，求 F 的度数。11、等边三角形 ABC和等边三角形 DEC， D 在 AC边上。延长 BD交 CE延长线于 N，延长 AE交 BC延长线于 M。求证： CM=CN12、操作：如图，是正三角形，是顶角120的等腰三角形，ABCBDCBDCAB以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交AB、AC边于 M、N两点，连接 MN探究：线段 BM、MN、NC之间的关系，并加以证明B C015、如图 , ABC 是等腰直角三角形 , C 90 , 点 M,N分别是边 AC和 BC的中点

18、 , 点D在射线 BM上 , 且 BD 2BM, 点 E 在射线 NA上 , 且 NE 2NA.求证 :BD DE.13、如图等边 ABC和等边 CDE，点 P 为射线 BC一动点，角 APK=60， PK交直线CD于 K。（1） 试探索 AP、 PK之间的数量关系；（2） 当点 P 运动到 BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。14、（涉及相似三角形）若 P 为ABC所在平面上一点，且APB BPC CPA 120，则点 P 叫做 ABC 的费马点 . 如图，在锐角ABC 外侧作等边 ACB 连结 BB 。求证： BB 过 ABC 的费马点 P ，且 BB = PA PB PC .第五章 全等三角形 拓展延伸分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于 “把相等的边 （角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等” ，利用三角形全等来说明两个角相