全等三角形判定基础知识讲解.docx
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全等三角形判定基础知识讲解
全等三角形判定（基础）
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定1——“边角边”
1.全等三角形判定1——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：
如图，如果AB=A'B'，/A=ZA',AC=A'C'，则△ABC^AA'B'C'.
注意：
这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中,A吐AB,AOAD,/B=ZB,但△ABC与△ABD不完全重合，
故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
要点二、全等三角形判定2——“角边角”
全等三角形判定2——“角边角”
ASA”）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或
要点诠释：
如图，如果/A=ZA',AB=A'B'，/B=ZB'，则△ABC^AA'B'C'.
要点三、全等三角形判定3——“角角边”
1.全等三角形判定3——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在厶ABCffiAADE中，如果DE//BC,那么/ADE=ZB,/AED=ZC,又/A=ZA,但厶ABCffiAADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点四、全等三角形判定4——“边边边”
全等三角形判定4——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：
如图，如果A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC,则厶ABC^AA'B'C'.
要点五、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方
法
一边一角对应相
等
SASAASASA
两角对应相等
ASAAAS
两边对应相等
SASSSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能
全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1“边角边”
C^1、已知：
如图，AB=ADAOAE/1=Z2.
求证：
BC=DE
【思路点拨】由条件AB=AC,AOAE需要找夹角/BAC与ZDAE夹角可由等量代换证得相等.
【答案与解析】
证明：
vZ1=Z2
•••Z1+ZCAD-Z2+ZCAD即ZBAC=ZDAE
在厶ADE中
•△ABC^AADE（SAS
•BODE（全等三角形对应边相等）
【总结升华】证明角等的方法之一：
利用等式的性质，等量加等量，还是等量.
举一反三：
【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB=CB
E吐DBZABC=ZEBB90°）,连接AECD试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
【答案】AE=CD并且AE1CD
证明：
延长AE交CD于F,
•/△ABC^PADBE是等腰直角三角形
•••A吐BCBE>BE
在厶ABE和厶CBD中
•••△ABE^ACBD（SAS
•••AE=CD/1=/2
又•••/1+/3=90°,/3=/4（对顶角相等）
•••/2+/4=90°,即/AFC=90°
•••AE!
CD
类型二、全等三角形的判定2――“角边角”
C>2、已知：
如图，E，F在AC上,AD//CB且AD=CB/D=/B.
求证：
AE=CF.
【答案与解析】
证明：
•••AD//CB
•i/A=/C
在厶ADF与△CBE中
•••△ADF^ACBE（ASA
•••AF=CE,AF+EF=CE^EF
故得：
AE=CF
【总结升华】利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下:
⑴找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形；
（2）证明这两个三角形全等；
（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等.
举一反三：
【变式】如图，AB//CDAF//DEBE=CF.求证：
AB=CD.
【答案】
证明：
•••AB//CD•••/B=ZC.
•••AF//DE,：
/AFB=ZDEC.
又•••BE=CF,：
BE+EF=CF+EF,即卩BF=CE.
在厶ABFft^DCE中,
：
△ABF^ADCE（ASA
:
A吐CD（全等三角形对应边相等）•
类型三、全等三角形的判定3――“角角边”
3、已知：
如图，AB丄AEADLAC,/E=ZB,DE=CB
求证：
AD=AC
【思路点拨】要证AOAD就是证含有这两个线段的三角形△BAC^AEAD.
【答案与解析】
证明：
•••AB丄AEADLAC,
•••/CAD=ZBAB90°
•••/CADkZDAB=ZBAE^ZDAB,即/BAC=ZEAD
在厶BACmEAD中
•••△BAC^AEAD（AAS
【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.
类型四、全等三角形的判定4――“边边边”
已知：
如图,△RPQ中,RP=RQM为PQ的中点.
求证：
RM平分ZPRQ
【思路点拨】由中点的定义得PM=QMRM为公共边,则可由SSS定理证明全等.
【答案与解析】
证明：
•••M为PQ的中点（已知）,
•••PM=QM
在厶RPMffiARQM中,
•••△RPMmRQ（SSS.
•••/PRMkZQR（全等三角形对应角相等）.
即RM平分/PRQ.
【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：
公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中•把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.
举一反三：
【变式】已知：
如图，AABCAC=BD.试证明：
/CA亠/DBC.
【答案】
证明：
连接DC
在厶ACD与△BDC中
•••△ACD^BDC（SSS
•••/CAD=ZDBC（全等三角形对应角相等）
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