计算方法习题集含答案第四版.docx
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计算方法习题集含答案第四版
习题1.1
1.什么叫数值方法？
数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如
何？
数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法
2.试证明及证明：
（1）令
即又
即
⑵设，不妨设，
令
即对任意非零，有
下面证明存在向量，使得，
设，取向量。
其中。
显然且任意分量为，
故有即证。
3.古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有
多少位有效数字？
解：
该近似值具有7为有效数字。
4.若T（h）逼近其精确值T的截断误差为
其中，系数与h无关。
试证明由
所定义的T的逼近序列的误差为，
其中诸是与h无关的常数。
证明：
当m=0时
设m=k时等式成立，即
当m=k+1时
。
习题2.1
1.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：
（1）;
（2）。
解：
（1）迭代公式，公式收敛
k0123
00.250.250980.25098
（2），，局部收敛
k0123456789
1.51.3221.4211.3671.3971.3801.3901.3841.3871.386
2.方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
（1）,对应迭代公式;
（2），对应迭代公式;（3）,对应迭代公式。
判断以上三种迭代公式在的收敛性，选一种收敛公式求出附近的根到4
位有效数字。
解：
（1）局部收敛
（2）局部收敛
（3）不是局部收敛
迭代公式
（1）：
01234567
1.51.444441.479291.4569761.471081.462091.467791.44161.4
910111213141516
1.46501.465931.46531.465721.465481.465631.4655341.465595
迭代公式
（2）：
k0123456
1.51.4811.4731.4691.4671.4661.466
3.已知在[a,b]内有一根，在[a,b]上一阶可微，且，试构造一个局部
收敛于的迭代公式。
解：
方程等价于
构造迭代公式
令
由于在[a,b]上也一阶可微
故上述迭代公式是有局部收敛性.
4.设在方程根的邻近有连续的一阶导数，且，证明迭代公式具有
局部收敛性。
证明：
在邻近有连续一阶导数，则在附近连续，
令则取
则时有
从而故令，
由定理2.1知，迭代公式是有局部收敛性。
5.用牛顿法求方程在[3,4]中的根的近似值（精确到小数点后两
位）。
解：
y次迭代公式
k0123
3.53.643.633.63
6.试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。
解：
令
y次迭代公式故
从而，时，故，故牛顿迭代公式是线性收敛的
7.应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛
性。
解：
相应的牛顿迭代公式为
迭代函数，，
则，
习题3.1
1.设有方程组
（1）考察用Jacobi法，Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性；
（2）用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组，要求当时迭代终止。
解：
（1）A是强对角占优阵。
故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。
（2）
雅克比法：
，，，
取初始向量，迭代18次有（i=1,2,3），，
高斯-塞德尔法：
，，取初始向量，迭代8次有（i=1,2,3）
，，
2.设有方程组,,迭代公式：
.求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.
证明：
迭代公式中的矩阵，，由迭代收敛的充要条件知即证。
3.用SOR方法解下列方程组（取松驰因子）,要求.
.解：
SOR方法
故，迭代初值
k
00.0000000.000000
10.6000000-1.320000
21.2720000-0.854400
30.858240-1.071648
41.071341-0.964268
50.964293-1.017859
61.017857-0.991071
70.991071-0.997768
81.004464-0.997768
90.997768-1.001116
101.001116-0.999442
110.999442-1.000279
121.000279-0.999861
130.999861-1.000070
141.000070-0.999965
150.999965-1.000017
161.000017-0.999991
4.用选列主元高斯消去法求解方程组
解：
解得
5.用追赶法解三角方程组解：
高斯迶元
回代得
解为
6.用三角分解法求解方程组解：
系数矩阵三角分解为：
原方程可表为：
解得
解
得
7.用选主元法去法计算下列行列式的值.解：
8.设计算.解：
习题四.1
1.给出概率积分的数据表：
试用二次插值计算.
X0.460.470.480.49
f（x）0.48465550.49375420.50274980.5116683
解：
取插值节点：
2.已知y=sinx的函数表
X1.51.61.7
sinx0.997490.999570.99166
试构造出差商表，利用二次Newton插值公式计算sin（1.609）（保留5位小
数），并估计其误差.
解：
由题意得如下差商表
故
又故：
3.设为互异节点（）,求证
（1）
（2）证明：
令
又
所以故
原等式左边用二项式展开得：
由结论得
即证4.若,求和.解：
5.证明两点三次Hermite插值余项是
证明：
且
即为的二阶零点
设
令
易知
又
由微分中值定理（Rolle定理），使得
进而有三个零点，有两个零点，有一个零点，
即使得
得
6.构造适合下列数据表的三次样条插值函数S（x）
X-1013
Y-11331
428
解：
已知
边界条件
即
从而
解
得当即时
故同理，在及上均有
7.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使与下列数据相拟合
X1925313844
Y19.032.349.073.397.8
解：
依题意
故
正则方程为
解得故拟合曲线为
习题5.
1．试确定下面求积公式
使其具三次代数精度.
解：
要公式有3次代数精度，需有
解得：
故求积公式为
2．在区间上导出含五个节点的Newton-Cotes公式，并指出其余项及
代数精度.解：
当时，
又故当时，有求积公式
（＊）
其中
由Lagrange差值定理有：
故余项
对（＊）至少有四次代数精度时式（＊）左边=右边=
时
故（＊）式具有5次代数精度
3．分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算
（取步长h=1/6）.
解：
（1）用复合梯形公式故
（2）用复合Simpson公式：
4．用变步长梯形求积公式计算
（精确到）.
解：
由
得：
5．用Romberg算法计算积分
（精确到）.解：
由公式
得：
又
即已经达到预定精度取
6．试构造两点Gauss公式
并由此计算积分（精确到）
.解：
二次Lagendre多项式：
Gauss点为
由公式得令即使得
习题6
1．试用三种方法导出线性二步方法解：
（1）Taylor展开法线性k步公式为
得
即得
且
（2）数值积分法用矩形求积公式
令（中矩形公式）
即得：
（3）由隐式欧拉法得①
由显示欧拉法得②
1代入②得
2．用Taylor展开法求三步四阶方法类，并确定三步四阶显式方法.
解：
线性k步公式为
，在（6.17）中令即
取。
即
满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法，令可得
方法即为3．形如
的k阶方法称为Gear方法，试确定一个三步Gear方法，并给出其截断误差主项。
解：
线性k步公式为
由Gear法的定义知，三步Gear法满足方法为阶，故有
得：
取得
得三步Gear方法：
其中
4．试用显式Euler法及改进的Euler法
计算初值问题（取步长h=0.2）
并比较两者的误差。
解：
步长,真解
显式法：
改进法：
显然改进的法误差小于法。
5．给出线性多步法为零稳定的条件，并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的.
证明：
线性多步法
的相应多项式多项式的两根为：
，。
由判断零稳定的充要条件根条件知：
此方法的零稳定的条件为
由于，，
，，
得：
当方法为零稳定时，从而，故方法是二阶收敛的。
6．给出题（6.5）题中时的公式的绝对稳定域.
解：
6.5中当时，即为方法
其相应的差分方程的多项式为
令，即方法的绝对稳定域为
7．指出Heun方法
0000
1/31/300
2/302/30
1/403/4
的相容阶，并给出由该方法以步长h计算初值问题（6.45）的步骤.
解：
法
中对方法有
类似例将方法应用到得其中
上述步骤可按如下步骤完成：
将原问题初值代入得出当前步的，然后代入，得出，，再以，作为第2个计算步的初值重复上述步骤
可求出
，，依次类推即可求出原问题的相继数值序列.经验证方法满足
由方法阶相容的充要条件知方法具有三阶相容阶。
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