1、计算方法习题集含答案第四版习题1.11. 什么叫数值方法?数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何?数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法2. 试证明 及 证明: (1)令即 又即 设,不妨设, 令即对任意非零,有下面证明存在向量,使得,设,取向量。其中。显然且任意分量为,故有即证。3. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值,问此近似值具有多少位有效数字? 解: 该近似值具有7为有效数字。 4. 若T(h)逼近其精确值T的截断误差为其中,系数与h无关。试证明由所定义的T的逼近序列的误差为,其中诸是与h无关的常数。 证明:当m=0时设m=k时等式成立,即当m=k+1时。习题2 .11.
2、试构造迭代收敛的公式求解下列方程: (1); (2)。解:(1)迭代公式,公式收敛k 0 1 2 30 0.25 0.25098 0.25098(2), 局部收敛k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.3862. 方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式: (1),对应迭代公式; (2),对应迭代公式; (3),对应迭代公式。 判断以上三种迭代公式在的收敛性,选一种收敛公式求出附近的根到4位有效数字。解:(1) 局部收敛(2) 局部收敛 (3) 不是局部收敛迭代公式(1):0 1
3、2 3 4 5 6 71.5 1.44444 1.47929 1.456976 1.47108 1.46209 1.46779 1.4416 1.49 10 11 12 13 14 15 161.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595迭代公式(2):k 0 1 2 3 4 5 61.5 1.481 1.473 1.469 1.467 1.466 1.4663. 已知在a,b内有一根,在a,b上一阶可微,且,试构造一个局部收敛于的迭代公式。 解:方程等价于构造迭代公式令由于在a,b上也一阶可微故上述迭代公式是有局
4、部收敛性.4. 设在方程根的邻近有连续的一阶导数,且,证明迭代公式具有局部收敛性。 证明:在邻近有连续一阶导数,则在附近连续,令则取则 时 有从而 故 令 , 由定理2.1知,迭代公式是有局部收敛性。5. 用牛顿法求方程在3,4中的根的近似值(精确到小数点后两 位)。解:y次迭代公式k 0 1 2 33.5 3.64 3.63 3.636. 试证用牛顿法求方程在1,3内的根是线性收敛的。 解:令y次迭代公式 故从而 ,时, 故, 故牛顿迭代公式是线性收敛的7. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性。解:相应的牛顿迭代公式为迭代函数,则,习题3.11. 设有方程组(1) 考
5、察用Jacobi法,Gauss-Seidal法解此方程组的收敛性;(2) 用Jacobi法及Gauss-Seidal法解方程组,要求当时迭代终止。 解:(1) A是强对角占优阵。故用雅克比法及高斯-塞德尔法解此方程均收敛。 (2)雅克比法:,取初始向量,迭代18次有(i=1,2,3) ,高斯-塞德尔法: , 取初始向量,迭代8次有(i=1,2,3),2. 设有方程组, , 迭代公式: , . 求证由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是.证明:迭代公式中的矩阵, 由迭代收敛的充要条件知 即证。3. 用SOR方法解下列方程组(取松驰因子),要求. 解:SOR方法故, 迭代初值k0 0.000
6、000 0.0000001 0.6000000 -1.3200002 1.2720000 -0.8544003 0.858240 -1.0716484 1.071341 -0.9642685 0.964293 -1.0178596 1.017857 -0.9910717 0.991071 -0.9977688 1.004464 -0.9977689 0.997768 -1.00111610 1.001116 -0.99944211 0.999442 -1.00027912 1.000279 -0.99986113 0.999861 -1.00007014 1.000070 -0.9999651
7、5 0.999965 -1.00001716 1.000017 -0.9999914. 用选列主元高斯消去法求解方程组解:解得5. 用追赶法解三角方程组 解:高斯迶元 回代得解为6. 用三角分解法求解方程组 解:系数矩阵三角分解为:原方程可表为:解 得 解得7. 用选主元法去法计算下列行列式的值. 解:8. 设计算 . 解:习题四.11. 给出概率积分 的数据表:试用二次插值计算.X 0.46 0.47 0.48 0.49f(x) 0.4846555 0.4937542 0.5027498 0.5116683解:取插值节点:2. 已知y=sinx的函数表X 1.5 1.6 1.7sinx 0.
8、99749 0.99957 0.99166试构造出差商表,利用二次Newton插值公式计算sin(1.609)(保留5位小数),并估计其误差.解:由题意得如下差商表故又 故:3. 设为互异节点(),求证 (1) (2) 证明: 令又所以 故原等式左边用二项式展开得:由结论 得即证 4. 若,求和. 解:5. 证明两点三次Hermite插值余项是证明: 且即 为的二阶零点设令 易知又由微分中值定理(Rolle定理),使得进而 有三个零点,有两个零点,有一个零点,即使得得6. 构造适合下列数据表的三次样条插值函数S(x)X -1 0 1 3Y -1 1 3 314 28解:已知边界条件 即从而解得
9、 当即时故 同理,在及上均有7. 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使与下列数据相拟合X 19 25 31 38 44Y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8解:依题意 故正则方程为解得 故拟合曲线为习题5. 1 试确定下面求积公式使其具三次代数精度. 解:要公式有3次代数精度,需有 解得: 故求积公式为2 在区间上导出含五个节点的Newton-Cotes公式,并指出其余项及代数精度. 解:当时,又 故 当时,有求积公式 ()其中 由Lagrange差值定理有:故余项对()至少有四次代数精度 时 式()左边=右边=时 故()式具有5次代数精度3 分别用复合梯形公式及复合Simpso
10、n公式计算 , (取步长h=1/6).解:(1)用复合梯形公式 故 (2)用复合Simpson公式: 4 用变步长梯形求积公式计算 , (精确到).解:由得:5 用Romberg算法计算积分, (精确到). 解: 由公式得:又即已经达到预定精度 取6 试构造两点Gauss公式, 并由此计算积分(精确到). 解: 二次Lagendre多项式:Gauss点为由公式 得 令即使得习题61 试用三种方法导出线性二步方法 解:(1)Taylor展开法 线性k步公式为 得即得且(2) 数值积分法 用矩形求积公式令(中矩形公式)即得:(3) 由隐式欧拉法得 由显示欧拉法得 1 代入得2 用Taylor展开法
11、求三步四阶方法类,并确定三步四阶显式方法.解:线性k步公式为,在(6.17)中令 即取。即满足上述条件的多步方法即为一类三步四阶显示方法,令可得方法即为 3 形如的k阶方法称为Gear方法,试确定一个三步Gear方法,并给出其截断误 差主项。解:线性k步公式为由Gear法的定义知,三步Gear法满足 方法为阶,故有得: 取得得三步Gear方法: 其中 4 试用显式Euler法及改进的Euler法计算初值问题(取步长h=0.2)并比较两者的误差。 解:步长, 真解显式法: 改进法: 显然改进的法误差小于法。5 给出线性多步法 为零稳定的条件,并证明该方法为零稳定时是二阶收敛的.证明: 线性多步法
12、的相应多项式 多项式的两根为:,。由判断零稳定的充要条件 根条件 知:此方法的零稳定的条件为由于 , ,得:当方法为零稳定时 ,从而,故 方法是二阶收敛的。 6 给出题(6.5)题中时的公式的绝对稳定域.解:6.5中当时,即为方法其相应的差分方程的多项式为令 , 即方法的绝对稳定域为7 指出Heun方法0 0 0 01/3 1/3 0 02/3 0 2/3 01/4 0 3/4的相容阶,并给出由该方法以步长h计算初值问题(6.45)的步骤.解: 法中对方法有类似例将方法应用到得 其中上述步骤可按如下步骤完成:将原问题初值代入得出当前步的, 然后代入,得出,再以,作为第2个计算步的初值重复上述步骤可求出,依次类推即可求出原问题的相继数值序列. 经验证方法满足由方法阶相容的充要条件知方法具有三阶相容阶。
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