乘法公式.docx

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乘法公式

教学课题

乘法公式

教学目标

1.能熟练地运用乘法公式进行计算；

2.能正确的根据题目要求选择不同的乘法公式进行运算；

教学重难点

重点：

正确选择乘法公式进行运算；

难点：

综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算；

一、复习

（a+b）（a-b）=a2-b2；（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2；

（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；（a-b）（a2+ab+b2）=a3－b3；

二、公式的变式

（1）位置变化，xyyxx2y2

（2）符号变化，xyxyx2y2x2y2

（3）指数变化，x2y2x2y2x4y4

（4）系数变化，2ab2ab4a2b2

（5）换式变化，xyzmxyzm

xy2zm2

x2y2zmzm

x2y2z2zmzmm2

x2y2z22zmm2

（6）增项变化，xyzxyz

xy2z2

xyxyz2

x2xyxyy2z2

x22xyy2z2

（7）连用公式变化，xyxyx2y2

x2y2x2y2

x4y4

（8）逆用公式变化，xyz2xyz2

xyzxyzxyzxyz

2x2y2z

4xy4xz

运用一：

基础练习

例1：

已知

，

，求

的值。

例2：

已知

，

，求

的值。

例3：

计算19992-2000×1998。

例4：

已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和（a-b）2的值。

例5：

已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

例6：

判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

例7：

运用公式简便计算

（1）1032

（2）1982

例8：

计算

（1）a4b3ca4b3c

（2）3xy23xy2

例9：

解下列各式

（1）已知aa1a2b2，求

的值。

（2）已知

，求

的值。

例10：

四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？

为什么？

例11：

计算

（1）x2x12

（2）3mnp2

运用二：

乘法公式的具体应用

（一）套用：

这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础。

例1：

计算：

（二）连用：

连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2：

计算：

例3：

计算：

（三）逆用:

学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4：

计算：

（四）变用:

题目变形后运用公式解题。

例5：

计算：

（五）活用:

把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6：

已知

，求

的值。

例7：

计算：

例8：

已知实数x、y、z满足

，那么

（）

运用三：

学习乘法公式应注意的问题

（一）注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”。

例1：

计算（-2x2-5）（2x2-5）

例2：

计算（-a2+4b）2

（二）注意为使用公式创造条件

例3：

计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）。

例4：

计算（a-1）2（a2+a+1）2（a6+a3+1）2

　　例5：

计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）。

（三）注意公式的推广

计算多项式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推广得到：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。

可叙述为：

多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍。

　　例6：

计算（2x+y-3）2

（四）注意公式的变换，灵活运用变形公式

　　例7：

（1）已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；

（2）已知：

x+2y=7，xy=6，求（x-2y）2的值。

例8：

计算（a+b+c）2+（a+b-c）2+（a-b+c）+（b-a+c）2。

（五）注意乘法公式的逆运用

　　例9：

计算（a-2b+3c）2-（a+2b-3c）2。

　　例10：

计算（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2

运用四：

正确认识和使用乘法公式

1．数形结合的数学思想认识乘法公式

假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为（a+b）（a-b），通过左右两图的对照，即可得到平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；

图2中的两个图阴影部分面积分别为（a+b）2与（a-b）2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2。

2．乘法公式的使用技巧：

（一）提出负号：

对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。

例一：

运用乘法公式计算：

（1）（-1+3x）（-1-3x）；

（2）（-2m-1）2

（二）改变顺序：

运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显。

例二：

（x-1/2）（x2+1/4）（x+1/2）

（三）逆用公式：

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=（a+b）（a-b），逆用积的乘方公式，得anbn=（ab）n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例三：

（a-1/2）2（a2+1/4）2（a+1/2）2

（四）合理分组：

对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

例四：

（1）（x+y+1）（1-x-y）;

（2）（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）。

运用五：

巧用公式做整式乘法

（一）先分组，再用公式

例1：

计算：

（二）先提公因式，再用公式

例2：

计算：

（三）先分项，再用公式

例3：

计算：

（四）先整体展开，再用公式

例4：

计算：

（五）先补项，再用公式

例5：

计算：

（六）先用公式，再展开

例6：

计算：

（七）乘法公式交替用

例7：

计算：

运用六：

中考试一试（作业）

（一）结论开放

例1：

请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

例2：

如图2，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（

），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

（二）条件开放

例3：

多项式

加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________。

（三）找规律

例4：

观察下列各式

由猜想到的规律可得

____________。

（四）推导新公式

例5：

在公式

中，当a分别取1，2，3，……，n时，可得下列n个等式

将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

__________（用含n的代数式表示）

例6：

阅读材料并解答问题：

我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：

就可以用图4或图5等图表示。

（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：