届河北省保定市高三第二次模拟考试数学理试题解析版.docx
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届河北省保定市高三第二次模拟考试数学理试题解析版
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河北省保定市2019届高三年级第二次高考模拟考试
数学（理）试题
（解析版）
一、选择题：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（）
A.4B.5C.7D.25
【答案】B
【解析】
【分析】
整理得,利用复数的模的公式计算即可。
【详解】因为
所以
故选：
B
【点睛】本题主要考查了复数的模的计算,属于基础题。
2.已知集合,,则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出,,利用交集运算得解。
【详解】由得：
所以
由得：
或,所以
所以
故选：
D
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,还考查了求对数型函数的定义域,考查计算能力,属于基础题。
3.等比数列中,若,,,则公比（）
A.B.C.2D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
设等比数列的首项为,公比为,由题可得：
解方程组即可。
【详解】设等比数列的首项为,公比为
由题可得：
解得：
故选：
B
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及计算能力,属于基础题。
4.已知随机变量服从正态分布,若,则为（）
A.07B.0.5C.0.4D.0.35
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知及正态分布的对称性可得,再结合对称性可得：
问题得解。
【详解】因为,所以
所以
故选：
C
【点睛】本题主要考查了正态分布的对称性,还考查了转化思想,属于中档题。
5.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：
“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升,问,米几何？
”下图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的（单位：
升）,则输入的的值为（）
A.4.5B.6C.7.5D.9
【答案】B
【解析】
当n=2,,当,当,结束。
则
6.把点按向量移到点,若（为坐标原点）,则点坐标为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
点按向量移动后得到点,设,求得,,再利用列方程组可得：
解方程组即可。
【详解】因为点按向量移动后得到点,
所以,
设,则,
又,所以,解得：
所以
故选：
C
【点睛】本题主要考查了平移知识,还考查了向量数乘的坐标运算,考查计算能力及方程思想,属于较易题。
7.已知一个几何体的三视图所示,其中正视图由两个小正方形组成,俯视图为正三角形,则此几何体的体积为（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可得：
该几何体是一个正三棱柱,已知可得底面正三角形的高为,即可求得底面正三角形的边长为,再利用正视图由两个小正方形组成可得正三棱柱的高为,利用柱体体积公式计算即可得解。
【详解】由三视图可得：
该几何体是一个正三棱柱,
由题可得：
底面正三角形的高为,则底面正三角形的边长为
因为正视图由两个小正方形组成,所以正三棱柱的高为,
所以此几何体的体积为
故选：
C
【点睛】本题主要考查了三视图还原及柱体体积公式,考查空间思维能力及计算能力,属于中档题。
8.函数的图像大致是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用为奇函数可排除B,D,再利用且时,可排除A,问题得解。
【详解】因为为奇函数,所以排除B,D
当且时,,排除A
故选：
C
【点睛】本题主要考查了函数图象的判断,可从奇偶性,单调性,函数值,对称性等方面逐一排除即可,考查转化能力及观察能力,属于中档题。
9.中,内角、、的对边、、依次成等差数列,且,则的形状为（）
A.等边三角形B.直角边不相等的直角三角形
C.等腰直角三角形D.钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
由、、依次成等差数列可得,利用余弦定理可得：
结合整理可得：
问题得解。
【详解】因为、、依次成等差数列,
所以
由余弦定理可得：
将代入上式整理得：
所以,又
可得：
为等边三角形
故选：
A
【点睛】本题主要考查了等差数列的概念及余弦定理,还考查了方程思想及计算能力,属于中档题。
10.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是（）
A.B.C.1D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域,利用表示点到原点距离的平方,结合图形即可得解。
【详解】作出不等式组表示的平面区域如下：
求得区域的顶点分别为：
,
因为,它表示点到原点距离平方
计算三点到原点的距离分别为：
,
所以点到原点的距离最大
所以的最大值是.
故选：
D
【点睛】本题主要考查了利用线性规划知识解决平方型目标函数的最值,考查作图能力及计算能力,还考查了转化能力及两点距离公式,属于中档题。
11.设点为直线：
上的动点,点,,则的最小值为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设点关于直线的对称点为,利用对称性列方程组求得,利用对称性可得,结合图像即可得当三点共线时,最大,问题得解。
【详解】依据题意作出图像如下：
设点关于直线的对称点为,
则它们的中点坐标为：
且
由对称性可得：
解得：
所以
因为,所以当三点共线时,最大
此时最大值为
故选：
A
【点睛】本题主要考查了点关于直线对称的点的求法,还考查了转化思想及计算能力,属于中档题。
12.设函数的最大值为,最小值为,则下列结论中：
①,②,③,④,其中一定成立的有（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】D
【解析】
【分析】
对的范围分类；当时,利用导数求得：
时,,时,；当时,时,,时,,即可画出函数的简图,即可求得,,逐一验证即可。
【详解】当时,,
所以当时,,当时,
当时,,
所以当时,,当时,,
作出函数的简图如下：
所以函数的最大值,最小值
所以成立,成立,成立,不成立
所以①③④正确
故选：
D
【点睛】本题主要考查了分类思想及利用导数判断函数的单调性并求最值,还考查了计算能力,属于难题。
二、填空题（将答案填在答题纸上）
13.的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于__________．
【答案】180.
【解析】
试题分析：
因,故令,则,又由题设可知,故其常数项为,应填.
考点：
二项式定理及运用．
14.若正数满足,则的最小值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用基本不等式可得：
将转化成：
解得：
或（舍去）,检验等号成立即可。
【详解】因为正数,所以成立.
所以
所以
即：
解得：
或（舍去）
当时,等号成立,即：
时,等号成立.
所以的最小值为
【点睛】本题主要考查了基本不等式应用,考查转化能力及计算能力,属于中档题。
15.已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
（i）当a=0时,f（x）=−3x2+1,令f（x）=0,解得x=±,函数f（x）有两个零点,舍去。
（ii）当a≠0时,f′（x）=3ax2−6x=3ax（x−）,令f′（x）=0,解得x=0或2a.
①当a<0时,<0,当x<或x>0时,f′（x）<0,此时函数f（x）单调递减;当0,此时函数f（x）单调递增。
∴是函数f（x）的极小值点,0是函数f（x）的极大值点。
∵函数f（x）=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则,无解,舍去。
②当a>0时,>0,当x>或x<0时,f′（x）>0,此时函数f（x）单调递增;当0∴是函数f（x）的极小值点,0是函数f（x）的极大值点。
∵函数f（x）=ax3−3x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则f（>0,即−+1>0,a>0,解得a>2.
综上可得：
实数a的取值范围是（2,+∞）.
故答案：
（2,+∞）.
点睛：
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：
先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解．
16.已知点在以为焦点的椭圆上,点为该椭圆所在平面内的一点,且满足以下两个条件：
①；②,则该椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的对称性及可得：
点与原点重合,设,利用椭圆定义及可得：
,再对角分别在两个三角形中利用余弦定理列方程,整理可得：
问题得解。
【详解】依据题意作出图形如下：
因为为的中点,所以
又,所以与原点重合.
设,则,
由椭圆定义可得：
所以,
在及中,由余弦定理可得：
整理得：
所以
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质,还考查了向量运算及椭圆定义,考查了余弦定理及方程思想,还考查了计算能力,属于难题。
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知中,,,.
（1）求的面积；
（2）求边上的中线的长.
【答案】
（1）28
（2）
【解析】
【分析】
（1）由即可求得,再利用诱导公式及两角和的正弦公式即可求得,利用正弦定理即可求得,再利用三角形面积公式计算得解。
（2）在中,由余弦定理列方程即可得解。
【详解】解：
（1）且,
∴．
在中,由正弦定理得,
即,解得．
所以的面积为
（2）在中,,所以由余弦定理得
所以．
【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理,还考查了两角和的正弦公式,考查了同角三角函数基本关系,考查计算能力,属于中档题。
18.如图,已知四棱锥中,四边形为矩形,,,.
（1）求证：
平面；
（2）设,求平面与平面所成的二面角的正弦值.
【答案】
（1）见证明；
（2）
【解析】
【分析】
（1）证明BC平面SDC,即可证得AD平面SDC,即可证得SCAD,利用SC2+SD2=DC2证得SCSD,问题得证。
（2）以点O为原点,建立坐标系如图,求得S（0,0,）,C（0,,0）,A（2,-,0）,B（2,,0）,利用即可求得E（2,,0）,求得,,利用空间向量夹角公式计算即可得解。
【详解】
（1）证明：
BCSD,BCCD
则BC平面SDC,又
则AD平面SDC,平面SDC
SCAD
又在△SDC中,SC=SD=2,DC=AB,故SC2+SD2=DC2
则SCSD,又
所以SC平面SAD
（2）解：
作SOCD于O,因为BC平面SDC,
所以平面ABCD平面SDC,故SO平面ABCD
以点O为原点,建立坐标系如图.
则S（0,0,）,C（0,,0）,A（2,-,0）,B（2,,0）
设E（2,y,0）,因为
所以即E（（2,,0）
令,则,
令,则,
所以所求二面角的正弦值为
【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明,还考查了面面垂直的性质及转化能力,考查空间思维能力及空间向量数乘的坐标运算,还考查了利用空间向量求二面角的正弦值,考查计算能力,属于中档题。
19.某次招聘分为笔试和面试两个环节,且只有笔试过关者方可进入面试环节,笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科,且至少有两科优秀才算笔试过关,面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为,面试两科每科优秀的概率均为.
（1）求该考生被录用的概率；
（2）设该考生在
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