诱导公式的化简与求值题.docx
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诱导公式的化简与求值题
sin（a+兀）cos
诱导公式的化简与求值20题
一.解答题（共20小题）
1.已知角a终边上一点P（—二，1）
cos（晋+a）sin（-JL-a）
（1）求，..的值
cosI―-。
】sinI—r-+）
（2）写出角a的集合S.
2.已知角a的终边经过点P（-,—?
（1）求sin%的值.
（2）求式
的值
（2）已知cos（75°+a=£，其中—180°vaV—90°,求sin（105°—a+cos（375°—a）的值.
sin（5兀-a）wcos（'cos（兀+a）
7.已知:
：
_.|
sin（Q一—t-）*cos（^+―）*tan（口一3兀）
■uu
（3n-a）
（1）化简f（a）
（2）若a是第三象限角，且I'■，求f（a）的值.
25
8.求值：
①sin870+cos660+tan1215-tan（—300°+cot（-330°②^
10.已知'.Z'.'I,._2.i,_.
2
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求：
11:
二的值
cos（180c+x）*cos（90*-x）+cos^j
11.已知a是第四象限角，且11-.
5
（1）求tana的值；
sin（舟兀-a）+2cos（□+弓）
（2）求的值.
sin（a-TT）-3cos（2兀~CL）
sin（2兀-a）cos（TT+Ct）cos
12.已知：
:
-"■
2sin（3TT+a）sin（-TT-a）sin（+a）
1化简f（a.
2
2
右sino是方程10x+x-3=0的根，且a在第三象限，求f（a）的值.
3若a=…I.,求f（a）的值.
14.已知f（a）=
a+n的值;
sin（d-%）cos（2兀-口）tan（-a-兀）
sin（57l+a）tan2（-a~2X）
（1）化简f（a）；
JT1
（2）若a是第三象限角，且cosO:
'，求f（⑶若」J1,求f（a）的值.
sin（a-cos（~a）tan兀一且）15•已知f（a）=—■
tan（一&一5兀）sin（a3TT）
（1）化简f（a）;
（2）
若角a的终边经过点P（-2,3）,求f（a）的值.
（3）
（1）化简f（a）；
（2）若tan（n-a=-2,求f（a）的值;
（3）若a=-420°求f（a）的值.
sin（2兀-a）cos（兀+Q）cos）cos（】叮-□）
19.已知:
■-：
：
..
costK-CL）sin（3兀一。
）sin（一兀-Cl）sin（a）
（1）化简f（a）；
（H）若a是第三象限角，且；:
-,求f（a）的值.
23
20.
（1）已知-.i,，计算：
‘2sin^cos^+cosCl
A/l+2sin（5^1_CL）cos（CL-7T）~
（2）已知a为第二象限角，化简
母2-尹）-Ji-sin2C-|k+cl）
诱导公式的化简与求值20题
参考答案与试题解析
一.解答题（共20小题）
1.已知角a终边上一点P（-\1）
cos（弓+□）sin（-X-Ct）
（1）求，..的值
cosI―-ciJsmk—t-+a-）
（2）写出角a的集合S.
任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值.计算题.先求出点P（-
「；，1）到原点的距离，再由定义求出角a的三角函数值，
（1）先用诱导公式化简，再代入角a的三角函数值求值；
（2）写出角a的集合S,由于本题中的角是一个特殊角，故可以用终边相同的角将它表示出来.解：
点P（-
「；，1）到原点的距离是2,由定义sina=,
2
cosa———
2
（1）
COS（~+G
考点：
专题：
分析：
解答:
sin（-兀一口）
cosH）sin（罟+a）
sinClXsinCt
一sinCLXcosd
点评:
2.已知角
（1）求sin
（2）求式
考点：
__一一I=—=—=
cosCl-V3
3
（2）由
sin（a=,COSa=
2
—逅知角a的
2
终边与角_的
|6
终边相同，故
a=2kn+,
6
k氐
故
S={a|a=2kn+5兀L匚i
k匂
本题考查任意角三角函数的定义以及终边相同角的表示，利用诱导公式化简求值，求解本题的关键是熟练掌握定义与诱导公式，基础概念只有在掌握熟练得基础上才能正确运用它做题，不出错误.
43
'的终边经过点P（〒，-）
55
a勺值.
a+JT）
tan（a-兀）
cns（3K-a）
的值
任意角的三角函数的定义；运用诱导公式
化简求值.
专题：
分析：
计算题.
（1）求出|0P|,利用三角函数的定义，直接求出sina勺值.
（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出
COSa=,可得
解答:
结果.解：
（1）
•/|OP|=
•••点P在单位圆上.（2分）由正弦函数的定义得
sin%=■—（5分）
（2）原式
—sind（-cosa）
（9分）
—
mina1
sinClcosaeos
..（10分）
由余弦的定义
可知，COSa=
5
（11分）
即所求式的值
为卫（12分）
4
点评:
本题考查任意角的三角函数
的定义，运用诱导公式化简求值，考查计算能力，推理能力，是基础题.
3.已知角a终边上一点A的坐标为-■■
（1）求角a的集合（6分）
（6分）
（2）化简下列式子并求其值：
-
esc（一a）cos（兀一CL）tan（3兀一口〕
考点：
三角函数的化
简求值；终边
相同的角；同
角三角函数间
的基本关系；诱导公式的作
|用.|
专题：
计算题.
分析：
（1）根据角的
终边过一个定
点，根据三角
函数的定义做
出角的正弦
值，根据角的
终边在第四象
限，写出与角
终边相同的所
有的角的集
合.
（2）首先用诱
导公式进行整
理，再把正割
与余割变化成
正弦与余弦的
形式，约分整
理出最简形
式，得到结
果.
解答：
解：
（1）点P
至噸点的距离
为
r=
根据三角函数的定义，得
•（2分）
•••点P在第四象限，也就是角a在第四象限….（4分）
a的集合是
{a|a=2k^-芈，k€z）
6
…（6分）
（2）原式
-sinOtana（-cot。
）
——F小、（-cosQ）（-tanCl）
sinI一aJ
….（8分）
_-2^.灯cosCi
sinatan工—：
t—
sin□
cosatdria
1
=-sina=
2
点评：
本题考查三角
函数的恒等变
化求值即终边
相同的角，本
题解题的关键是先用诱导公式进行整理，再把正割与余
割变化成正弦
与余弦.本题是一个中档题
目.
sin（TT一a）cos（戈兀一口）sin（一口十丄）
的值.
4•（门已知tana，求的值
（2）已知cos（75°+况=-，其中-180°vav-90°,求sin（105°-a+cos（375°-3
考点：
同角三角函数
基本关系的运用；运用诱导
专题：
分析：
公式化简求
值.
计算题.
（1）利用诱导公式化简表达式，应用
tana=求出
1
cos
5
代入化简后的表达式即可求出原式的值.
（2）利用诱导公式化简sin
（105°-a）+COS
（375°-a,
为2sin
（75°+a，利
用
cos（75"+a）
.1
3
解答:
求出2sin
（75°+a即
可.
解：
（1）原式
sindcosCt（
（一tanCL）
cosCt）
sinCL
（2分）
cos2
（3
分）
tan：
二2・
COJS
—1+tan。
二5
CL
（6分），•••原式=J7分）
（2）原式=sin
（75°+）+cos
（15°-a）=2sin
（75°+）（9
分）
cos（75°+a）二g
■-1
，且-105°v
75°+15°,
•••sin（75°+>
<
0「.
2V2
3
sin（75°+a）=-Vl-sin（75^+a）
（12分）故原式
（14
分）
点评：
本题考查诱导
公式的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力，是基础
题.
（1）化简f（a）；
（2）若丄_"厂：
求f（a）的值.
考点：
运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系.
专题：
计算题.
分析：
（1）直接利用诱导公式化简f
（a）,应用正切化为正弦、余弦函数，推出结果；
（2）求出
COS（CL-J
£
的最简形式，弦长f（a）的表达式，通过同角三角函数的基本关系式求出它的值.
解答：
解：
（1）f（a）
sin^cos（-
a）
-1
「
tan（d+兀
）L
tanC~a碍）
-sin（n+a）]
sinCLcos□tan（□一斗）
sin（口一弓）
sindcos^[zr-
r|os（□-—）
一cosa
.c-COS口
-sin°-—
sin口
=-COSa
二）=
2
-
■，
-sin
/•sin
Ta是第三象限
角,
…COSa=-
71-sin2a
（a）=-
COSa
题，考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，常考题型.
6.已知角a的终边上一点P（X,
口3
4），且COSa—
5
（1）求x的值；
（2）求sin（a+n）的值;
2
（3）将角a的终边沿顺时针旋转
匸弧度得到角
3求sin3的值.
任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值.
计算题.
（1）利用三角函数的定义，求出X的值；
（2）直接利用诱导公式化简
sin（a+n,
2
然后求出它的值；
（3）将角a的终边沿顺时针
旋转n弧度得
2
到角3,然后直接利用诱导公式，求sin3勺值.
解：
（1）因为
COSa=g,所
5
，所以，X=-
3；
「所以sin
r
（a+n）=COSa
2
（3）将角a的终边沿顺时针旋转丄n弧度得
2
到角
题，考查三角函数的定义，诱导公式的应用，考查计算能力.
sin（5兀-a）wcos（a'cos（Tr+a）
PTT礼1T<、
sin（口一—T-）*cos（CI+—）'tan（口一3兀）
£盘
（1）化简f（a）
（2）若a是第三象限角，且ms〔警-口）二g,求f（a）的值.
2E-
考点：
专题：
分析：
运用诱导公式化简求值.
计算题.
（1）利用诱导公式化简f（a）的结果为
COsa
（2）利用诱导公式求出sin,再由同角三角函数的基本关系求出cos偽从而得到f（a）
又Ta为第三象限角，
三角函数的基本关系，诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简f
（a）是解题的
突破口.
8.求值：
①sin870+cos660+tan1215-tan（—300°+cot（-330°
cos（7T-6）*tan〔3兀_0）
考点：
运用诱导公式
专题：
分析：
化简求值.计算题.
①先利用诱导公式：
终边相同的角的三角函数值相等，将题中的角化
到［0°360°
上，再利用诱导公式将其转化为锐角三角函数值即可
②先利用诱导
公式化简所求
三角式，再利
用同角三角函数基本关系式化简即可
解答:
解：
1sin870°cos6
60°tan1215-
tan（-300°
+cot（-330°
=sin
（720°+150°
+cos（720°-
60°+tan（
360°60°+cot
（-360°+30°
=sin150+cos
（-60°
+tan60+cot30°
=sin30+cos60°
+tan60+cot30°
=1+++^.;+「；
22
=1+2:
②
sin（2兀-B）"tan（兀#0）（-8-兀）
cos（兀一B）ptan（3兀一6）
sin9*tan9*cot（_9）
—cos—B）
-sin^f・tan8*cotB
cos&*tan6
-sin8
〔sin0cos匕
=-sin°
sin9
=-1
点评：
本题考查了诱导公式的运用和同角三角函数基本关系式的运用，细心和运用恰当的公式是解决本题的关键
9.已知sin（3n+）0—，求
3
cos（兀+B）cos8[cos（H-9）
cos（0-2兀）
-口sin（B一cos（B一兀）一sin（-^y-+9）
的值.
考点：
专题：
分析：
解答:
运用诱导公式化简求值.
计算题.
先根据诱导公式化简已知得到sin啲值，然后把原式也利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简后，把sin代入求值即
可.
解：
Tsin
（3n+0=-
4
sin0=,
3
•••sin
:
；，
原式
_cos0
cos6（_cos6_1）
-sin（
-+
1+cosB
1+cosB
]
1一cosB
灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本公式化简求值，做题的思路是把所有余弦都要化成正弦.
10.已知丨丨.-._.
（1）求sinx-cosx的值;
sin（360°-x）pcos（180*_x）-sin2x
cos（180c+x）*cos（90*-x）+cos2k
化简求值；同角三角函数间的基本关系.
三角函数基本
关系式直接求
出sinx禾口cosx
的值，进而求出结果.
（2）先利用诱导公式化简所求的式子，将原式分子分母
2
同除以cos2x，
转化成tanx的
表达式去解.
解答：
解：
tan瓦二一2,且.-
sinx=-2cosx,又
22
sinx+cosx=1
.L2
，…5cosx=1,
点评:
4二W
•sinx+cos
■22
sinscosx_sinxtans-tanx
cos2x
一tani+1
-2-4_
24-1-
…（12分）本题考查同角三角函数基本关系式的应用和三角函数的诱导公式，计算要准确，属于中档题.
3
11.已知a是第四象限角，且■一一.
5
（1）求tana的值;
sin（冷兀-口）+2cos（□+£）
（2）求的值.
sin（a-7T）-3coe（2兀~CL）
考点：
专题：
分析：
同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用.
计算题.
（1）由题意知求出
-■-,
5
再求tana的
值.
（2）利用诱导公式，
sin（"I兀一辽）+2cos
kin（□-JT）-Seos（2兀-。
）
等价转化为
-cos□--2sinG--1_2tanCt_
jsind一3cosd一tana一3
（吨）
解答:
解：
（1）由题意知，
sina=-
（2）
（弓兀-Cl）4-2COS（口碍）
•r3
5111（2
sinTa-3T）-Seos辽兀二CI）-cosa-2sin0-_-1-2tan。
__】
一sinCl-3casCL一tanCL-3
点评:
本题考查诱导公式的合理运用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用.
sin（2兀-a）cos（兀+Ct）cos（）cos（-□）
12•已知：
」—：
：
.
2sin（3兀+□）sin（-TT-a）sin（+a）
1化简f（a）•
…2
2右sino是方程10x+x-3=0的根，且a在第二象限，求f（0）的值.
3若a=…T,求f（a）的值.
4
考点：
三角函数的化
简求值；诱导
公式的作用.
专题：
计算题.
分析：
①把f（a）的分
子最后一项的
角空I-a变
2
为6n-
（匹+a），分
2
母第一项的角
3n+变形为
2n+（n+a，第
二项中的角变
形为一（n+a,
最后一项变形
为4n+
（号+a），然
后各项利用诱
导公式及正
弦、余弦函数
的奇偶性进行
化简，约分后
即可得到最简
结果；
②把已知的方
程分解因式
后，求出方程
的两个解，由
sin是方程
10x+x-3=0的
根，且a在第三
象限，可得出
sin的值，代入
第一问化简后
的式子中，即
可求出f（a）的
值；
③把a的值变形
为-6n-二，
4
代入第一问化
简后的式子
中，利用诱导
公式及正弦函
数的奇偶性化
简，再利用特
殊角的三角函
数值即可求出f
（a的值.
解答:
解：
①
sin（2兀一cos（7T+CL）cos（口）cos（】攀-口）f（a）二Z1
2sin（3K+a）sin（一兀一a）sin（-^-+a）
sin（2兀-a
2sin[27T+
）cos（兀+□）cos（知）cos[6兀-（-a）]（兀+7）bird-（兀+Q）]sin[4兀十（£■+□）]
又a在第三象限，
f（a>=-T
;…（8分）
（3）当
a=
点评:
此题考查了三角函数的恒等变形，涉及的知识有：
正弦、余弦函数的奇偶性，诱导公式，函数的值，以及特殊角的三角函数值，灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
13.
（1）已知sin（K-d）-cos（^+Cl）（2L32
QJTJT
（2）已知^…八但-.，求cosa_sina的值.
842
考点：
运用诱导公式化简求值.
专题：
计算题.
分析：
（1）由题意得
Sina+COSa=
，平方可得
2sinaCOS~a=
7
，代入sina
g
COSa
（sinCl-casCl）2
~2sinCiCOSCl
进行运算.
（2）由题意得
COSasina=^cosCL-gin'l）?
a/1~2sinCicosCi
，把已知条件
代入运算.
解答:
解：
（1）已知
sin（TT-a）-cos（兀+口〉二萼C^■J乙
?
•ISina+COSa=
?
3
9
1+2sinaCOSa=
g
2sinaCOSaa
7
百
•'•SinaCOSa=
W（sinCl-casO~
a/1_2sinacosCi
4
•—
=3，
（2）已知
sinCtcosCl-
，且
2L42
COSaSina=
VcosCL-sin<3-）
-~osCl
=1
=2.
点评：
本题考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式的应用，判断所求式子的符号是解题的关键.
sin（5K+CL）tan2
14.已知f（a==.一•「心〔丄-「口-'■1
（1）化简f（a）；
（2）若a是第三象限角，且COS（匸
=/求f（
a+n的值;
（3）若-…1•，求f（a）的值.
3
考点：
诱导公式的作
用.
-sinCl-cosCl•（-tand）
一sinCl•tanCL
，整理可得结
果.
（2）利用诱导公式求得sina-丄，再利用同
5
角三角函数的基本关系求得
COSa——,
5
再由f（a+n=
-cos（n+a
=COSa求得结果.
（3）利用诱导
公式可得f（a）
=-COS
（670n+）=
/
-COSp，计算
求得它的值.
解答:
解：
（1）f（a）
sin（a-兀）心os（2兀-a）tan（-a-兀）
sin（571+a）tan2（-a-2X）
-sin□-*coscrr*（-tanCL）
=-COSa
（2）若a是第
三象限角，且
7T
cos（一.I）
-
■，
故—sina=,
5
sina-丄，
5
…COSa=
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