概率论课后作业及答案.docx

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概率论课后作业及答案

1.写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点：

1）将一枚均匀硬币连续掷两次，记事件

A=｛第一次出现正面｝,B=｛两次出现同一面｝,C=｛至少有一次正面出现｝.

2）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球.记事件

A=｛球的最小号码为1｝.

3）10件产品中有一件废品，从中任取两件，记事件A=｛得一件废品｝.

4）两个口袋各装一个白球与一个黑球，从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,

搅均后再

从第二袋中任取一球•记事件A=｛两次取出的球有相同颜色｝.

5）掷两颗骰子，记事件

A二｛出现点数之和为奇数，且其中恰好有一个1点｝,

B=｛出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点｝.

答案:

1）门-｛（H,H）,（H,T）,仃，H）,仃,T）｝,其中H:

正面出现；T:

反面出现•

A=｛（H,H）,（H,T）｝；

B=｛（H,H）,（T,T）｝;

C讯（H,H）,（H,T）,（T,H）｝.

2）由题意，可只考虑组合,则

G=!

（1,2,3）,（1,2,4）,（1,2,5）,（1,3,4）,（1,3,5）,]

一-、（1,4,5）,（2,3,4）,（2,3,5）,（2,4,5）,（3,4,5）「

A=「（1,2,3）,（1,2,4）,（1,2,5）,（1,3,4）,（1,3,5）,（1,4,5）：

f.

3）用1,2，…,9号表示正品,10号表示废品.则

”（1,2）,（1,3）,（1,4）,…，（1,10厂

（2,3）,（2,4）,…,（2,10）

Q=•:

＞；

匕（8,10）

I（9,10）J

A—（1,10）,（2,10）,,（9,10）\

4）记第一袋中的球为（W1,th）,第二袋中的球为（W2,b2）,则

l；1='（W6,W2）,（W1,b2）,（W,W）,（b,W2）,（b,b2）,（b,b）f;

A，（w1,w2）,（w1,w）,（bi,b2）,（b,b）二

（1,1）,（1,2）,…,（1,6）、

（2,1）,（2,2）,…，（2,6）

-；

I''-

.（6,1）,（6,2）,,（6,6）

A」（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,1）,（4,1）,（6,1）?

;

[（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（4,2）,（4,4）,（4,6）,（5,3）,（5,5）,（6,2）,（6,4）,（6,6）

注：

也可如下表示：

'（1,1）,（1,2）,…，（1,6厂

（2,2）,…，（2,6）

（6,6）

A=「（1,2）,（1,4）,（1,6）?

;

B=「（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（4,4）,（4,6）,（5,5）,（6,6）/.

2.一个工人生产了n个零件，以事件A表示“他生产的第i个零件是正品”（1兰i兰n）.

试用A1,A,…,An表示下列事件：

1）没有一个零件是次品；2）

3）只有一个零件是次品；4）

n

答案：

1）A;2）

i壬

nn

3）[A'（Aj）];4）

i吕jd

j-i

至少有一个零件是次品；至少有两个零件不是次品

n

A；（亦即：

全部为正品的对立事件）

id

nnn

（M2[U（A*A））]・

idi=1jd

j-i

3.设A、BC为三个事件，用A、BC的运算关系表示下列各事件

1）A发生；

2）只有A发生；

3）A与B发生而C不发生；

4）三个事件都发生；

5）三个事件中至少有一个发生；

6）三个事件中至少有两个发生；

7）三个事件中恰好发生一个；

8）三个事件中恰好发生两个；

9）三个事件都不发生；

10）三个事件中不多于两个发生；

11）三个事件中不多于一个发生•

解:

1）A;2）ABC;3）ABC;4）ABC;5）ABC;

6）ABC1-ABC1.ABC1-ABC

（=ABBCAC=BC一AC一AB）（等价说法：

至少有两个不发生的对立事

件）;

7）ABC一ABC一ABC;8）ABC一ABC一ABC;

9）ABC（=A--^/C）;

10）ABC（=AB一C）（等价说法：

至少有一个不发生.）;

11）ABCABC_ABCABC（=BCACAB）（即：

至少有两个不发生）•

4.试把事件AA?

一…An表示成n个两两互不相容事件之并•

答案：

AuAA2QAAA3u"""

7.一栋10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客,电梯在每层都停，乘客从第二层起离开

电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的•求没有2位乘客在同一层离开的概率•

A7

解：

所有可能情况为97种,则所求概率为p9•

97

9.设甲袋中有a只白球b只黑球，乙袋中有e只白球d只黑球•在两袋中各任取一只球求所得两球颜色不同的概率•

adbe

所有可能情况有（a-b）（ed）种，则所求概率为p二

（a+b）（c+d）

11.

1）

2）

3）

从n双尺码不同的鞋子中任取2r（2r:

:

:

n）只，求下列事件的概率：

所取2r只鞋子中没有两只成对；

所取2r只鞋子中只有两只成对；

样本空间可考虑有

2ni种可能结果，古典概型，则所求概率分别为

1）

n

2r.

2r

n22r

2r2

2r

所取2r只鞋子恰好配成r对•

2）

P2-

■n^'Q（n-0/2J八2八2―2丿

2；—n

2n

2「

口丨2】

3）

r[2]

2r

12.

设有n个人，每人都被等可能地分配到

N（N

-n）个房间中的任一间.求下列事件的

概率:

1）

2）

解:

1）n!

a；

1）B市市

2）

P2=

nJ

n；

指定的n间房里各住一人；恰有n间房，其中各住一人.

所有可能情况为Nn种,则所求概率分别为

13.甲乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先摸，不放回，直至有

一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.

解：

甲先摸到白球，则可能结果如下（注：

至多有限次摸球）：

甲W，

甲B乙B甲W，

甲B乙B甲B乙B甲W，

甲b乙B甲B乙B甲B乙B甲W，

a

①当b为偶数时，则所求概率为

a丄bb—1a

p甲二"

a+ba+ba+bTa+b-2

+bb—1b—2b-3a

abab-1ab-2ab-3ab-4

+…+bb-1…21a

a+ba+bTa+2a+1a

=亠口+b（bT）+…+]

ab（ab-1）（ab-2）（ab—1）（ab—2厂（a1）a

②当b为奇数时，则所求概率为

ab

p甲=

a+b丄

ab

b-1

abab-1ab-2b-1b—2

b-3

ab-1ab-2b

ab-4

b-1

ab-1a2

b（b-1）

+'

（ab-1）（ab-2）

b!

（ab—1）（ab—2）（a1）].

17.口袋中有2n-1只白球，2n只黑球，一次取出n只球，发现都是同色球，问这种颜色是黑色的概率为多少？

解：

记事件A=｛所取n个球为同一种颜色｝，B=｛所取n个球全为黑球｝，

■‘2nn

⑴Jvn丿

要求P（B|A）=?

nttP（AB）

则P（B|A）:

P（A）

勾］（2n）!

=ln丿=nXn!

=2

「2n-12n-（2n-1）!

（2n）!

「3.

.nnn!

（n-1）!

n!

n!

18.设M件产品中有m件废品，从中任取两件.

1）在这两件中有一件是废品的条件下，求另一件也是废品的概率

2）在这两件中有一件是正品的条件下，求另一件是废品的概率

解:

1）记事件A=｛任取两件，有废品｝,B=｛任取两件，均为废品｝,则所求概率为

P1二P（B|A）二

P（AB）

P（A）

P（B）

P（A）

mMm

222_m-1

M-mMMM-m2M「m「1.222一.2

2）记事件C=｛任取两件，有正品｝,D珂任取两件，有一正品一件废品｝,贝V所求

概率为

P2=P（D|C）品）P（D）

P（C）

M-mmM

.112

1一：

鸟

22

2m

m（M-m）

M_mMm-1

2-2

19.袋中有黑、白球各一个，一次次从中摸球，如果摸到白球，则放回白球，且再加入一个白球,直至摸到黑球为止.求摸了n次都没有摸到黑球的概率.

解：

记事件A：

第i次摸到白球，i=1,2,…，n,要求：

P（AA2…An）二？

由计算概率的乘法定理，则所求概率为

P（AA…An）=P（A）P（A|A）P^IAA）…P（An|A…AU

=123...

21.某射击小组有20名射手，其中一级射手4人，二级8人，三级7人，四级1人各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,02求任选一名射手能通过选拔进入比赛

的概率.

解：

记事件B=｛所选射手能进入比赛｝,

A=｛所选射手为第i级｝,i=1,234.

4

已知心20

P（A2“280

PT

1

卩（小20

P（B|A）=0.9,P（B|A2）=0.7,P（B|A3）=0.5,P（B|A4）=0.2.

用全概率公式，则所求概率为

4

P（B）八P（Ai）P（B|Ai）

im

4871

0.90.70.50.2=0.645.

20202020

23.甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中废品各占5%,4%,2%从它们的产品中任取一个恰好是废品，问此废品是甲、乙、丙生产的概率各为多少？

解：

记事件A1,A2,A3表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产；

事件B=｛所取产品是废品｝.要求：

P（A|B）=?

（i=1,2,3）

P（B|A）=0.05,P（B|A）=0.04,P（B|A3）=0.02.

3

则P（B）='P（AJP（B|A）

i1

=0.250.050.350.040.40.02=0.0345.

由贝叶斯公式，则所求概率分别为

着°.3623,

P（A|B）P（AB）P（A）P（B|AJ0.250.05

-P（B）一P（B）-0.0345

P（A|B）=P^BLA^28,0.4058,P（B）69

P（A|B）』A3）P（B|阳』7.2319.

P（B）69

24.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,04如

果他乘火车、轮船、汽车，则迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12;而乘飞机不会迟到.可他迟到

了，问他是乘火车来的概率为多少？

解：

记事件A1,A2,A3,A分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来

事件B=｛朋友迟到

}.要求:

P（A|B）二?

已知P（A）=0.3,

P（A）=0.2,P（A）=0.1,P（^）=0.4,

1

P（B|A）,

4

11

P（B|A2）,P（B|Ac）,P（B|A）=0.

312

4

贝yP（B）=»P（A）P（B|Ai）

i=1

111

=0.3—0.2—0.10.40=0.15.

4312

由贝叶斯公式，则所求概率为

P（A1IB）二

P（AQP（B|A,）

P（B）

0.15

-0.5.

25.装有m（m_3）个白球和n个黑球的罐子中丢失一球，但不知其颜色.现随机地从罐

中摸取两个球，结果都是白球，求丢失的是白球的概率.

解：

记事件A=｛丢失白球｝,B=｛任取两个球都是白球｝.要求：

P（A|B）=?

P（A|B）

P（AB）

P（B）

P（A）P（B|A）

P（A）P（B|A）P（A）P（B|A）

已知P（A）=^^,P（A）=^^

P（B|A）

m+nm+n

（m_1）（m_2）

（mn-1）（mn-2）

m

P（B|A）2m（m"）

i'm+n-1!

（m+n-1）（m+n—2）

2

则所求概率为

m（m-1）（m-2）

P（A|B）=mn（mn-1）（mn-2）

m（m—1）（m—2）+n二m（m-1）

mn（mn_1）（mn_2）mn（mn_1）（mn_2）

m—2

mn-2

27.一架轰炸机袭击1号目标，另一架袭击2号目标，击中1号目标的概率为0.8,击中2号目标的概率为0.5,求至少击中一个目标的概率.

解：

记事件A=｛击中i号目标｝,i=1,2.要求：

P（AuA）=?

方法一：

P（A・A2）=P（A）+P（A0—P（AA0

二P（A）P（A2）-P（A）P（AO

=0.80.5-0.80.5=0.90.

方法二：

p（a・A2）=1—p（A^TA2）=1—p（AAz）

=1-P（A）P（A2）

=1_（1_0.8）（1-0.5）=0.90.

29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击，甲、乙命中的概率分别为p1,p2,甲先

射，谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少？

解：

记事件A=｛第i轮甲命中目标｝,Bi=｛第i轮乙命中目标｝,i=12….则

｛甲获胜｝=Ai-A国A一AB1A2耳As一,

所以P｛甲获胜｝=P（AiA1B1AAB1A2B2A_.）

二P（Ai）P（AiBiA2）P（AiB1A2B2AS）■-

二P（Ai）P（A1厂P（Bl）P（A2）P（Ai）卩（B）P（A2）P（B2）P（As）

二p（1-pi）（1-P2）pi[（1-pi）（1-P2）]pi

P1P1

1-（1-pj（1-P2）P1P2-piP2

由于｛乙获胜｝=Ab一A1B1A2B2一A^A^AsBs—,

所以p｛乙获胜｝=p（Ab_A1B1A2B2一_.）

=p（瓦B）+p（AB1瓦B2）+p（瓦氏瓦目2入^3）+…

二（1-P1）P2（1-P1）2（1-P2）P2（1-P1）（1-P2）2P2

（1-P1）卩2_（1-Pl）P2

（1-P1）P2

P1P2一PlP2

1-（1-P1）（1-P2）P1P2-PlP2

或:

P｛乙获胜｝=1-P｛甲获胜｝-1-

P1+P2-P1'P2解：

（1）由题设知，随机变量X的可能取值为：

1,2，…，且事件（X=n）（n=1,2，…）表示一共进行了n次试验，且前n-1次均是失败，而第n次成功。

所以有

P（X=n）=（1—p）n'p,n=1,2,.

（2）由题设知，随机变量X的可能取值为：

k,k1,k2,，且事件

（X=n）（n=k,k1,k•2,…）表示一共进行了n次试验，且前n-1次中成功了k-1次，而第n次也成功。

所以有

P（X二n）=C：

；（1-p）n±pk,n二k,k1,k2,.

5.设随机变量X服从泊松分布，求k使P（X二k）达到最大。

解：

假设有

P（x=k）=maxP（X=丨）

则有：

]P（X=k）3P（X=k-1）

[p（X=k）KP（X=k+1）

[r.knkd.

——ef

_』k!

（k-1）!

二仁krk卅

ie兰e

Ik!

（k+1）!

「k"

占丸一1

所以当，为整数时，k=%-1或k二，时，P（X=k）的值最大；

当•不是整数时，k=[•]（[x]表示不超过x的最大整数）时，P（X=k）的值最大。

6.设某商店销售某商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初进货多少才能保证当月

不脱销的概率为0.999。

解：

假设在月初进货量为

x时，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

则由题意有

P（X沁）=0.999

即

x5k7

P（X^x）e_=0.999

k=ok!

由此得到x=16。

7.有一汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在每天的某段时间内出事故的概率为

0.0001。

在某天的该段时间内有1000量汽车通过。

问出事故的次数不小于2的概率是多少?

（利用泊松定理计算）

解：

假设某天该段时间内出事故的次数为X，有题设知X~b（1000,0.0001），所以有

P（X_2）=1-P（X:

:

2）=1-P（X=0）-P（X=1）

=1-G0o0（O.OOO1）0（O.999）1000-C11000（0.0001）1（0.999）9"

■-1

0!

（0.1）1a

e

1!

=1-1.1eE：

.0.0047

8.设随机变量X具有对称的密度函数f（x），即f（x）二f（-x），证明对任意的a0，有

（1）

1a

F（-ar1-F（a）s-0f（x）dx；

（2）

P（|X|：

：

：

a）=2F（a）-1；

（3）

P（|X|a）=2[1-F（a）]。

_aaaoo

证明：

（1）F（-a）二f（x）dx=■-f（-u）du=f（u）duf（u）du二F（a）

-_：

1-a

aa

F（a）-F（-a）二」（x）dx=2of（x）dx

a——1a

1-2F（-a）=20f（x）dx二F（-a）二-0f（x）dx

（2）因为P（|X|：

：

：

a）=P（_a：

：

X:

：

:

a）=P（X:

：

:

a）_P（X乞_a）=F（a）_F（_a）

所以由

（1）知，有P（|X卜:

a）=2F（a）-1

（3）因为P（|X|•a）=1—P（|X|^a）=1—P（|X卜：

a）

所以由

（2）知，有P（|X|a）=2[1-F（a）]

9.设Fdx）,F2（x）都是一元分布函数，a,b0,a5=1，证明aF|（x）■bF2（x）也是分布函

数。

证明：

令F（x）二aF/x）bF2（x），要证F（x）是分布函数，只要证F（x）满足以下性质既可：

（1）F（x）非降函数;

（2）F（：

J=1,F（_：

J=0;

（3）F（x）是右连续函数。

因为F1（x）,F2（x）都是一元分布函数，所以F1（x）,F2（x）满足上面的性质，又因为

a,b0,a^1，所以有

F（x）=aFj（x）bF2（x）是非降函数

F（：

：

）=aF|（：

：

）bF2（：

：

）=ab=1

F（-：

：

）=aFi（-：

：

）bF2（-：

：

）=a0b0=0

F（x）=limF（y）=lim[aR（y）bF2（y）]=aR（x）bF2（x）=F（x）yT，y声y_^,y泮

即F（x）是分布函数

11.设随机变量X的密度函数为

rx

丄小x>0

f（x）=^e'X〉0（日=0）

0,x$0

1

求c,使得P（Xc）：

2

c

解：

因为P（X・c）二e-，所以有

P（Xc）

，它

14.某城市每天用电量不超过百万度，以X表示每天的耗电量（即用电量除以百万度）

具有密度函数

f（x」12x（_x）2,

I0,

0：

x：

1,

others

若该城市每天的供电量仅80万度，求供电量不够需要的概率是多少？

如果每天供电量

万度呢？

解：

若该城市每天的供电量仅80万度，则供电量不够需要的概率是：

112

P（X0.8）=08f（x）dx=“12x（1-x）2dx=0.0272

若该城市每天供电量为90万度，则供电量不够需要的概率是：

112

P（X0.9）f（x）dx12x（1-x）2dx=0.0037

15.设随机变量X服从正态分布N（108,9）,

（1）求P（101.1:

:

：

X<117.6）;

（2）求常数a,使P（X:

:

:

a）=0.90;

（3）求常数a,使P（|X-a|.a）=0.01。

X_108

解：

因为X:

N（108,9），所以X~108:

N（0,1），则有

3

（1）

P（101.1：

：

X：

：

117.6）=pF01：

"08

X-108

<

3

117.6-108

3

）=P（-2.3:

:

:

X-108

3

:

:

:

3.2）

=「（3.2）-：

：

」（-2.3）=0.9993129-（1-0.98928）=0.9885929

（2）P（X:

:

:

a）二P（

X-108

3

a-108

3

a-108

3

又因为

G（1.285）=0.9，所以有

X-1082a-108

=P（）P（

3f

A“2a—108

=1-：

：

」（

3

不0—108c）7（c）33

又因为

"（2.325）=0.99，所以

^=2.325二

3

a二57.4875

a_108=1.285二111.855

3

（3）

P（|X-a|a）二P（X-aa）P（X-a：

：

-a）二P（X2a）P（X:

:

0）X-1080-108

）

（2a-108）

3

16.设随机变量X的分布函数为F（x），求下列随机变量的分布函数：

1

（1）aXb（a，b为常数）

（2）（设P（X=0）=0）

X

（3）,|X|（4）eX

解：

由分布函数的定义有：

（1）F1（x^P（aXb^x）=P（aX—b），

所以当a:

:

:

0时，aX-b的分布函数为：

x—bx—bx—b

R（x）=P（aX-x_b）=P（X）=1_P（X）=1_F（