初中数学规律题总结.docx
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初中数学规律题总结
初中数学规律题解题基本方法
（一）数列的找规律初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（此实为等差数列）：
对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：
a+（n-1）b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，（n-1）b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+（n-1）b。
例：
4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：
第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：
4+（n-1）×6＝6n－2
（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：
1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
举例说明：
2、5、10、17……，求第n位数。
分析：
数列的增幅分别为：
3、5、7，增幅以同等幅度增加。
那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：
3+2×（n-2）=2n-1，总增幅为：
[3+（2n-1）]×（n-1）÷2＝（n+1）×（n-1）＝n2-1所以，第n位数是：
2+n2-1=n2+1此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧
（一）标出序列号：
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：
0，3，8，15，24，……。
试按此规律写出的第100个数是。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。
我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：
0，3，8，15，24，……。
序列号：
1，2，3，4，5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。
因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。
（二）公因式法：
每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关。
例如：
1，9，25，49，（），（），的第n为（2n-1）2
（三）看例题：
A：
2、9、28、65增幅是7、19、37，增幅的增幅是12、18答案与3有关且即：
n3+1
B：
2、4、8、16增幅是2、4、8..答案与2的乘方有关即：
2n
（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用
（一）、
（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：
2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：
0、3、8、15、24……，序列号：
1、2、3、4、5分析观察可得，新数列的第n项为：
n2-1，所以题中数列的第n项为：
（n2-1）+2＝n2+1
（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例：
4，16，36，64，？
，144，196，…？
（第一百个数）
同除以4后可得新数列：
1、4、9、16…，很显然是位置数的平方。
（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。
当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。
（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。
三、基本步骤
先看增幅是否相等，如相等，用基本方法
（一）解题。
如不相等，综合运用技巧
（一）、
（二）、（三）找规律如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧
（一）、
（二）、（三）找出新数列的规律
最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法
（二）解题
四、【典型例题】
例1观察下列算式：
31=3,32=9,33=27,34=81,
35=243,36=729,37=2187,38=6561,
用你所发现的规律写出32004的末位数字是观察下列式子：
14+2=6=23；25+2=12=34；36+2=20=45；47+2=30=56……请你将猜想得到的式子用含正整数n的式子表示来。
五、图形找规律小时侯我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年趣事，利用手中的火柴棒搭建一些常见的图形，探索规律。
合作交流，探索规律：
活动一：
探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形
⑴填写下表：
⑵照这样的规律搭建下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
★注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤：
1寻找数量关系；
2用代数式表示规律
3验证规律。
★练习：
四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面？
五棱柱呢？
十棱柱呢？
n棱柱呢？
活动二：
探索具体情景下事物的规律
问题1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？
问题2.若按图2方式摆放桌子和椅子
⑴一张桌子可坐6人，2张桌子可坐人。
⑵按照上图方式继续排列桌子，完成下表：
问题3.如果按图3的方式将桌子拼在一起
⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？
3张呢？
n张呢？
⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐人。
⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐人。
活动三：
探索图表的规律
下面是2000年八月份的日历：
⑴日历中的绿色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
⑵这个关系对其它这样的方框成立吗？
你能用代数式表示这个关系吗？
⑶这个关系对任何一个月的日历都成立吗？
为什么？
⑷你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？
用代数式表示。
⑸你还能提出那些问题？
4图3—4①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图3—4②；再分别连结图3—4②中间的小三角形三边的中点，得到图3—4③，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题。
图形编号
1
2
3
4
5
…
三角形个数
1
5
9
…
（1）将下表填写完整
（2）在第
n个图形
中有
个三角形（用含n的式子表示）。
11
例6．如图，把一个面积为1的正方形分等分成两个面积为2的矩形，接着把面积为2的矩形等分成两
1
1
4
2
1
1
16
8
1
32
利用图形提
个面积为4的正方形，再把面积为4的矩形等分成两个面积为8的矩示的规律计算：
11111111
+++++++=
248163264128256
例7．把棱长为a的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层1个，第二层3个……按这种规律摆
放，第五层的正方体的个数是
2
个数
1
2
3
4
5
6
7…
n
周长
5
8
11
14
…
六、巩固练习题
1．用黑白两颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地面砖块；
（2）第n个图案中有白色地面砖块。
棋子，每个图案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与n之间的关系可以用式子来表示。
n=2n=33．观s察=与4分析下面各列s数=的8排列规律，①5，9，13，17，，。
，174，175。
，144。
，37，9。
②4，5，7，11，19，
③10，20，21，42，43，
44，9，19，34，54，
545，1，43，3，41，5，
66，1，8，3，10，5，12，7，
70，1，1，2，3，5，
8180，155，131，108，
95，15，45，135，
1060，63，68，75，4．你能很快算出19952吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成10•n+5,即求（10n+5）2的值（n为自然数），你试分析n=1,n=2,n=3,这些简单情况，从中控索其规律，并归纳，推测出结论（在下面空格内填上你的控索结果）。
通过计算，控索规律：
152=225可写成1001（1+1）+25
252=625可写成1002（2+1）+25
352=1225可写成1003（3+1）+25
452=2025可写成1004（4+1）+25752=5625可写成
852=7225可写成
从第
（1）的结果，归纳、推测得：
（10n+5）2=
根据上面的归纳、推测，请算出：
19952=
5．观察下列几个算式，找出规律：
1＋2＋1=4
1＋2＋3＋2＋1=9
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1=16
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1=25利用上面规律，请你迅速算出：
①1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1=②据①你会算出1＋2＋3＋…＋100是多少吗？
③据上你能推导出1＋2＋3＋…＋n的计算公式吗？
12．给出下列算式：
32-12=8=81，52-32=16=82，72-52=24=83，92-72=32=84，…，观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？
用代数式表示这个规律是。
6．研究下列算式，你会发现有什么规律？
13+1=4=22；24+1=9=32；35+1=16=42；46+1=25=52
请将你找出的规律用公式表示出来：
。
7．如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，a所表示的数：
。
b所表示的数：
。
8．因为13=111=1，12=11=1，
13+23=1+8=9（1+2）2=32=9
13+23+33=1+8+27=36（1+2+3）2=62=36
13+23+33+43=1+8+27+64=100（1+2+3+4）2=102=100
那么13+23+33+43++993+1003=
11
11
1
9．将1，2，3，
-4，5，
6，…按一定规律排成下表：
1
1
-
1
1
试找出2006在第
行第
个数
-2
3
1
1
1
-4
5
-6
1
1
1
1
7
-8
9
-10
1
1
1
11
11
-12
13
-1415
6
10．如下图：
25
1）10
2461
17
2
9
35
2）
45
24
17
21
36
43
25
31
285
227
466
11．把1到200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的3个数，竖的3个数，这9个数的和是162。
如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的9个数。
当正方形左上角的数是100时，这9个数的和是多少？
当正方形中9个数的和是1557时，最大的数是多少？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
195
196
197
198
199
200
12．将1至1001个数如下图的格式排列。
用一个长方形框入12个数，要使这12个数的和等于
（1）1986；
（2）2529；（3）1989是否办得到？
如果办不到，简单说明理由：
如果办得到，写出长方形框里的最大的数和最小的数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
4
15
16
17
18
19
20
2
1
22
23
24
25
26
27
2
8
995
996
997
998
999
1000
1001
13．（2010年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚
棋子，摆第n个图案需要枚棋子．
关键词】规律
第13题图
14、（2010盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是
【关键词】点的移动
17、（2010年毕节地区）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②，图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要根钢管．
【关键词】找规律
18、（2010年宁波市）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
四面体长方体正八面体正十二面体
1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
7
长方体
8
6
12
正八面体正十二面
20
8
12
体
12
30
你发现顶点数（V）、面数（F）、
棱数（E）
之间存在的关系式是
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是。
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值。
【关键词】规律与探索
19、15．直线上有2010个点,我们进行如下操作：
在每相邻两点间插入1个点,经过3次这样的操作后,直线上共有个点.
【关键词】点
20、（2010年安徽中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：
将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。
对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。
当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和
是…………………………………………（）A）495B）497C）501D）503
【关键词】探索规律21、（2010年浙江省东阳市）阅读材料，寻找共同存在的规律：
有一个运算程序a⊕b=n，可以使：
（a+c）⊕b=n+c，a⊕（b+c）=n－2c，
如果1⊕1=2，那么2010⊕2010=．
【关键词】阅读理解、探究规律
22、（2010重庆市）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）
A．图①B．图②C．图③D．图④
解析：
观察图形，可知每转动4次为一个循环，所以10÷4=2…2，即第10次旋转后得到图形是图②.24.（2010年四川省眉山市）如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有
个正三角形．
关键词】规律与探索25．（2010年福建省晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；...，根据以上
操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（
A.669B.670C.671D.672【关键词】大正方形剪成小正方形、规律与探索
26、（2010江苏泰州，17，3分）观察等式：
①9-1=24，
49-1=68…按照这种规律写出第n个等式：
（2n+1）-1=2n（2n+2）
【关键词】规律归纳猜想
27、（2010山东德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为
【关键词】寻找规律
一、数字规律类：
1、一组按规律排列的数：
2、已知下列等式：
①13＝12；②13＋23＝32；③13＋23＋33＝62；
．第
④13＋23＋33＋43＝102；…………由此规律知，第⑤个等式是
n个等式是
请把你猜想到的规
3、观察下列各式；①、12+1=1×2；②、22+2=2×3；③、32+3=3×4；律用自然数n表示出来。
4、观察下面的几个算式：
①、1+2+1=4；②、1+2+3+2+1=9；③、1+2+3+4+3+2+1=16；……根据你所发现的规律，请你直接写出第n个式子
5、观察下列一组数的排列：
1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是。
6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的
第1行1
7、已知一列数：
1，―2，3，―4，5，―6，7，…将这列数排成如上所示的形式：
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于．
121231
8．有一列数：
223334……，第9个数是.
9．观察下列各式：
12+1=12，22+2=23，32+3=34，42+4=45，……
将上面的规律用含有n的公式表示出来是.
10．观察下列各式：
…，用n（自然数）把这个规律表示出来．
11．观察下列等式9－1＝8，16－4＝12，25－9＝16，36－16＝20，……这些等式反映出自然数间的什么规律呢？
设n表示自然数，请用含有n的等式表示出来。
12计算：
1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．
二、图形规律类：
13、一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为。
14、如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n条“金鱼”需要火柴根.
1条2条3条
15、观察下列球的排列规律（其中•是实心球，○是空心球）：
•○○••○○○○○•○○••○○○○○•○○••○○○○○•…………从第1个球起到第2005个球止，共有实心球个．
16、如图，在图1中，互不重叠的三角形共有4个，在图2中，互不重叠的三角形共有7个，在图3中，
互不重叠的三角形共有10个，……，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个（用
17、已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如上图所示）．
（1）当n=5时，共向外作出了个小等边三角形
（2）当n=k时，共向外作出了个小等边三角形（用含k的式子表示）．
18、观察图形，并完成下列表格：
序号
1
2
3
…
n
图形
…
（此空不填）
的个数
8
24
…
的个数
1
4
…
19.研究下列等式，你会发现什么规律？
1×3+1=4=22
2×4+1=9=32
3×5+1=16=42
4×6+1=25=52设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来.
20．探索规律可写成,可写成
可写成,可写成
1）把这个规律用含有n的式子写出来；
2）计算952．
22.如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地面砖块；
（2）第n个图案中有白色地面砖块．
23，（05青岛）
…，若10+b=102b符合前面式子的规律，则a+b=。
aa
12（13-51）
11
´
24（岳阳04）．观察：
35
11
´=
5711
´=
79
11111111
+++L+计算：
2446681820
二，探索图形规律
25（浙江湖州05）．观察下面图形我们可以发现：
第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14
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