初中数学规律题总结.docx

1、初中数学规律题总结初中数学规律题解题基本方法（一）数列的找规律 初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第 n 个数 可以表示为：a+（n-1）b，其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅，（n-1）b 为第一位数到第 n 位的总增幅。 然后再简化代数式 a+（n-1）b。例：4、10、16、22、28，求第 n 位数。 分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加 6，增幅相都是 6，所以，第 n 位数是：4+（n-1）66n 2（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅

2、度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增 幅分别为 3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n 位的数也有一种通用求法。 基本思路是：1、求出数列的第 n-1位到第 n位的增幅；2、求出第 1位到第第 n位的总增幅；3、数列的第 1位数加上总增幅即是第 n位数。 举例说明：2、5、10、17，求第 n 位数。 分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1 位到第n 位的增幅是： 3+2（n-2）=2n-1，总增幅为：3+（2n-1）（n-1）2（n+1）（n-1）n2-1 所以，第 n 位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦，但

3、是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方 法就简单的多了。（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此类题大概没有通用解法， 只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找 出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现 其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第 100 个数是 。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规

4、律，计算出第100 个数。我们把有关的量放在一起加 以比较：给出的数：0，3，8，15，24，。序列号： 1，2，3， 4， 5，。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与 n2、n3,或 2n、3n,或 2n、 3n 有关。例如：1，9，25，49，（），（），的第 n 为（2n-1）2（三）看例题：A： 2、9、28、65 增幅是7、19、37 ，增幅的增幅是12、18 答案与3 有关且 即：n3+1B：2、4、8、16 增幅是 2、4、8. 答案与 2 的乘

5、方有关 即：2n（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧 找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。 例：2、5、10、17、26，同时减去 2 后得到新数列：0 、 3 、 8 、 15 、 24 ， 序列号：1、2、3、4、5 分析观察可得，新数列的第 n项为：n2-1，所以题中数列的第 n项为：（n2-1）+2n2+1（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢 复到原来。例 ： 4 ， 16 ， 36 ， 64 ，？， 144 ， 196 ， ？（第一百个数）同除

6、以 4后可得新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方。（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为 1、2、3）。 当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。三、基本步骤先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数 列的规律最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题四、【典型例题】例 1 观

7、察下列算式：31 =3,32 =9,33 = 27,34 =81,35 = 243,36 = 729,37 = 2187,38 = 6561,用你所发现的规律写出32004的末位数字是 观察下列式子：1 4+2=6=2 3；2 5+2=12=3 4；3 6+2=20=4 5；4 7+2=30=5 6 请你将猜想得到的式子用含正整数 n 的式子表示来 。五、图形找规律 小时侯我们都玩过搭积木的游戏，今天我们不妨重拾童年趣事，利用手中的火柴棒搭建一些常见的图形， 探索规律。合作交流，探索规律：活动一：探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形填写下表：照这样的规律搭建下去，搭 n 个这样的三

8、角形需要多少根火柴棒？注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤：1寻找数量关系；2用代数式表示规律3验证规律。练习：四棱柱有几个顶点、几条棱、几个面？五棱柱呢？十棱柱呢？n 棱柱呢？ 活动二：探索具体情景下事物的规律问题 1.若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？问题 2.若按图2 方式摆放桌子和椅子一张桌子可坐 6人，2 张桌子可坐 人。按照上图方式继续排列桌子，完成下表：问题 3.如果按图3 的方式将桌子拼在一起2 张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n 张呢？教室有 40张这样的桌子，按上图方式每 5张拼成 1张大桌子，则 40张桌子可拼成 8张大桌子，共可 坐 人

9、。在中，改成每 8张桌子拼成 1张大桌子，则共可坐 人。活动三：探索图表的规律下面是 2000年八月份的日历：日历中的绿色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ 这个关系对其它这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？ 这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？用代数式表示。 你还能提出那些问题？4 图 3 4 是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，得到图 3 4 ；再分别连结图 3 4 中 间的小三角形三边的中点，得到图 34，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律， 完成下列问题。图形编号12345三角

10、形个 数159（1）将下表填写完整（2）在第n 个图形中有 个三角形（用含 n的式子表示）。11例 6 如图，把一个面积为 1 的正方形分等分成两个面积为 2 的矩形，接着把面积为 2 的矩形等分成两114211168132利用图形提个面积为4 的正方形，再把面积为4 的矩形等分成两个面积为8的矩 示的规律计算：1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + =2 4 8 16 32 64 128 256例 7把棱长为a的正方体摆成如图的形状，从上向下数，第一层 1 个，第二层 3 个按这种规律摆放，第五层的正方体的个数是2个数1234567n周长581114六、巩固练习题1用黑白两

11、颜色的正六边形地面砖按如图所示规律，拼成若干个图案： （1）第 4个图案中有白色地面砖 块；（2）第n 个图案中有白色地面砖 块。棋子，每个图案棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S 与n之间的关系可以用式子 来表示。n = 2 n = 3 3观s察=与4分析下面各列s数=的8排 列规律， 5，9，13，17， ， 。， 174 ， 175 。 ，144。， 37 ， 9 。4，5，7，11，19，10，20，21，42，43，44，9，19，34，54，545，1，43，3，41，5，66，1，8，3，10，5，12，7，70，1，1，2，3，5，8180，155，131，108，95，15

12、，45，135，1060，63，68，75， 4你能很快算出19952吗？ 为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5 的自然数的平方，任意一个个位数为 5的自然数可写成 10 n+5,即求(10n+5)2的值(n为自然数)，你试分析n=1,n=2,n=3, 这些简单情况，从中控索其规律， 并归纳，推测出结论(在下面空格内填上你的控索结果)。通过计算，控索规律：152 = 225可写成100 1(1+1) + 25252 = 625可写成100 2(2 +1) + 25352 =1225可写成100 3(3+1) + 25452 = 2025可写成100 4(4 +1) + 25 752 = 5

13、625可写成852 = 7225可写成从第(1)的结果，归纳、推测得：(10n +5)2 =根据上面的归纳、推测，请算出：19952 =5观察下列几个算式，找出规律：121=412321=91234321=16123454321=25 利用上面规律，请你迅速算出： 1239910099321= 据你会算出 123100 是多少吗？据上你能推导出 123 n 的计算公式吗？12给出下列算式：32 -12 =8=8 1，52 -32 =16=8 2，72 -52 =24=8 3，92 -72 = 32 = 8 4， 观察上面的一系列等式，你能发现什么规律？用代数式表示这个规律 是 。6研究下列算式

14、，你会发现有什么规律？1 3+1=4=22；2 4+1=9=32；3 5+1=16=42；4 6+1=25=52请将你找出的规律用公式表示出来： 。7如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形， a 所表示的数： 。b 所表示的数： 。8因为13 =1 1 1 =1，12 =1 1 =1，13 +23 =1+8=9 (1+2)2 =32 =913 +23 +33 =1+8+27=36 (1+2+3)2 =62 =3613+23+33+43 =1+8+27+64=100 (1+2+3+4)2 =102 =100那么13 +23 +33 +43 + +993 +1003 =1111

15、19将 1， 2 ，3 ，-4，5，6 ，按一定规律排成下表：11-11试找出 2006在第行第个数-23111-45-611117-89- 101111111- 1213- 14 15610如下图：251)1024611729352）452417213643253128522746611把1到 200的数像下表那样排列，用正方形框子围住横的 3个数，竖的 3个数，这 9个数的和是 162。 如果在表的另外的地方，也用正方形围住另外的 9个数。当正方形左上角的数是 100时，这 9个数的和是多少？ 当正方形中 9个数的和是 1557时，最大的数是多少？123456789101112131415

16、16171819202122232425262728 19519619719819920012将1至 1001个数如下图的格式排列。用一个长方形框入 12个数，要使这 12个数的和等于（1）1986； （2）2529；（ 3）1989 是否办得到？如果办不到，简单说明理由：如果办得到，写出长方形框里的最大 的数和最小的数。12345678910111213141516171819202122232425262728 9959969979989991000100113（ 2010 年山东省青岛市）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1 个图案需要7 枚棋子，摆第2 个图案 需要 19枚棋子，摆第3 个

17、图案需要37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6 个图案需要 枚棋子，摆第 n个图案需要 枚棋子关键词】规律第 13 题图14、（ 2010 盐城）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是【关键词】点的移动17、（ 2010年毕节地区）搭建如图的单顶帐篷需要17 根钢管，这样的帐篷按图，图的方式串起来 搭建，则串 7顶这样的帐篷需要 根钢管【关键词】找规律18、（ 2010 年宁波市）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E） 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：四面体 长方体

18、 正八面体 正十二面体1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：多面体顶点数（V）面数（F）棱数（ E ）四面体47长方体8612正八面体 正十二面20812体1230你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是（2）一个多面体的面数比顶点数大 8，且有30 条棱，则这个多面体的面数是 。（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有 24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x + y 的值。【关键词】规律与探索19、15直线上有 2010 个点,我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1

19、 个点,经过3 次这样的操作后, 直线上共有 个点.【关键词】点20、 （2010 年安徽中考）下面两个多位数 1248624、6248624，都是按照如下方法得到的： 将第一位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2 位。 对第 2位数字再进行如上操作得到第 3位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作 得到的。当第 1位数字是 3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100位的所有数字之和是（ ） A）495 B）497 C）501 D）503【关键词】探索规律 21、（ 2010 年浙江省东阳市）阅读材料，寻找共同存在的规律

20、：有一个运算程序ab = n， 可以使：（a+c）b= n+c，a（b+c）=n2c，如果 11=2，那么 20102010 = 【关键词】阅读理解、探究规律22、（2010 重庆市）有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆 时针方向进行旋转，每次均旋转 45，第 1 次旋转后得到图，第 2 次旋转后得到图，则第 10 次旋转后得到的图形与图中相同的是（）A图 B图 C图 D图解析：观察图形，可知每转动 4 次为一个循环，所以 104=22，即第 10 次旋转后得到图形是图. 24.（2010 年四川省眉山市）如图，将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点

21、进行分割，得到 第二个图（图）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图）； 再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第五个图中，共有 个正三角形关键词】规律与探索 25（ 2010 年福建省晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到 4 个小正方形，称为第 一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 7 个小正方形，称为第二次操作； 再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 10 个小正方形，称为第三次操作；.，根据以上操作，若要得到 2011 个小正方形，则需要操作的次数是（A. 669 B. 670 C

22、.671 D. 672 【关键词】大正方形剪成小正方形、规律与探索26、 （2010 江苏泰州，17，3 分）观察等式：9-1=2 4，49 -1 = 6 8 按照这种规律写出第 n 个等式：（2n +1） -1= 2n（2n + 2）【关键词】规律归纳猜想27、（ 2010 山东德州）电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC，AB=AC=BC=6如果跳蚤开始时在 BC 边的 P0 处，BP0=2跳蚤第一步从 P0 跳到 AC 边的 P1（第 1 次落点）处，且 CP1= CP0；第二步从 P1 跳到 AB 边 的 P2（第 2 次落点）处，且 AP2= AP1 ；第三步从 P2 跳到 BC 边的 P

23、3（第 3 次落点）处，且 BP3= BP2 ； 跳蚤按照上述规则一直跳下去，第 n 次落点为 Pn（n 为正整数），则点 P2009 与点 P2010 之间的距离为【关键词】寻找规律一、数字规律类：1、一组按规律排列的数： 2、已知下列等式： 1312； 132332； 13233362；第 13 23 33 43 102 ；由此规律知，第个等式是n 个等式是请把你猜想到的规3、观察下列各式；、1 2 +1=12 ；、22 +2=23； 、32 +3=34 ； 律用自然数 n表示出来 。4、观察下面的几个算式：、 1+2+1=4； 、1+2+3+2+1=9； 、1+2+3+4+3+2+1=1

24、6；根据你所 发现的规律，请你直接写出第 n个式子5、观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、，那么第 2005 个数是 。6、把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、，中间用虚线围的第 1行 17、已知一列数：1，2，3，4，5，6，7， 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下 去，那么第 10行从左边数第 5个数等于 1212318 有一列数： 2 2 3 3 3 4 ，第 9 个数是 .9观察下列各式：12 +1=1 2，22 +2=2 3，32 +3=3 4，42 +4=4 5，将上面的规律用含有 n 的公式表示出来是

25、.10观察下列各式： ，用 n（自然数）把这个规律表示出来11观察下列等式 918，16412，25916，361620， 这些等式反映出自然数间的什么规律呢？设 n 表示自然数，请用含有 n 的等式表示出来。12 计算：12345678910111219931994199519961997二、图形规律类：13、一质点 P 从距原点 1 个单位的 A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 OA 的中点 A1处，第二次从 A1 点跳动到 O A1的中点A2处，第三次从A2点跳动到O A2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动 后，该质点到原点 O的距离为 。14、如下图是小明用火柴搭的 1条

26、、2 条、3条“金鱼”，则搭 n条“金鱼”需要火柴 根.1 条 2 条 3 条15、观察下列球的排列规律（其中是实心球，是空心球）： 从第 1 个球起到第 2005 个球止，共有实心球 个16、如图，在图 1中，互不重叠的三角形共有4 个，在图2 中，互不重叠的三角形共有7 个，在图3 中，互不重叠的三角形共有 10个，则在第n个图形中，互不重叠的三角 形共有 个（用17、已知一个面积为 S 的等边三角形，现将其各边 n（n 为大于 2 的整数）等分，并以相邻等分点为顶 点向外作小等边三角形（如上图所示）（1）当 n = 5 时，共向外作出了 个小等边三角形（2）当 n = k时，共向外作出了

27、 个小等边三角形（用含 k的式子表示）18、观察图形，并完成下列表格：序号123n图形（此空不填）的 个数824的个数1419.研究下列等式，你会发现什么规律？13+1=4=2224+1=9=3235+1=16=4246+1=25=52 设 n 为正整数，请用 n 表示出规律性的公式来 .20探索规律 可写成 , 可写成可写成 , 可写成1）把这个规律用含有 n的式子写出来；2）计算 95222. 如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：（ 1 ）第 4 个图案中有白色地面砖 块；（ 2 ）第 n 个图案中有白色地面砖 块23，（ 05 青岛），若10 + b = 102 b 符合前面式子的规律，则a + b = 。aa12(13-51)1124(岳阳 04)观 察： 3 511=57 11=791 1 1 1 1 1 1 1 + + + L + 计算： 2 4 4 6 6 8 18 20二，探索图形规律25（浙江湖州 05）观察下面图形我们可以发现：第1 个图中有1 个正方形，第 2个图中共有 5个正方形， 第 3 个图中共有 14