力学#形心与静矩试题学习.docx

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力学#形心与静矩试题学习

B.1截面的形心和静矩Centroidandstaticmomentofsection

   在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力无关，称它们为截面的几何性质

   截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首先应明确截面几何性质的定义，并熟练地掌握其计算方法。

1.形心与静矩

图B.1-1

   图示任一截面，选任一参考坐标系yoz，设截面形心C的坐标为yc和zc，取微截面积dA，由合力矩定理可知，均质厚度薄板中面的形心、或该板的重心在yoz坐标系中的坐标为

，

（B.1-1）

式中:

，

，分别定义为截面对z轴和y轴的静矩。

由公式（B.1-1）可知，当y轴和z轴通过截面形心时（即yc=zc=0），则Sz=Sy=0；反之，当静矩Sz=0时，说明z轴通过截面形心；而当静矩Sy=0时，说明y轴通过截面形心。

此概念在确定梁的中性轴时十分有用。

2.组合截面的形心与静矩

图B.1-2

   在工程实际中，经常遇到形状较为复杂的截面，它们由若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图B.1-2）。

当确定它们的形心时，可将其分割成n个部分，形心坐标为

，

（B.1-2）

式中Ai为分割后的各面积，yi和zi为Ai的形心在参考系中的坐标。

式中

；

，称为组合截面的静矩。

B.2极惯性矩Polarmometofinertia

1.定义

图B.2-1

   任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为

处取一微面积dA，定义截面对原点O的极惯性矩为

（B.2-1）

极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm4），它恒为正。

2.圆截面的极惯性矩

图B.2-2

   图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即

（图B.2-2），

读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图B.2-3）的极惯性矩分别为：

（B.2-2）

（B.2-3）

（B.2-4）