最新 离散数学课程教学大纲教案.docx

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最新离散数学课程教学大纲教案

离散数学课程教案

（DiscreteMathematics）

一、课程基本信息

课程编号：

14133409

课程类别：

学科课基础

适用专业：

计算机科学与技术

学分：

4.5学分

总学时：

72学时

先修课程：

高等数学、线性代数

后续课程：

数据结构

课程简介：

离散数学是现代数学的重要分支之一，是计算机科学中基础理论的核心课程。

离散数学是研究离散结构和离散数量关系的数学分支的统称。

一般地离散数学包括以下几个方面的内容：

数理逻辑、集合论、代数系统、组合分析、算法分析、离散概率、图论以及形式语言和有穷自动机理论等几个部分。

本课程所选取的内容包括以下几个方面：

数理逻辑（命题演算和谓词演算），集合论（集合的概念，集合的运算，关系的性质及其运算等），代数系统（代数系统的概念，群、环、域等），图论（图的基本概念，欧拉和哈密尔顿问题，图的着色，树的概念与应用等）。

学习完本课程后，可为计算机专业其它课程打下坚实的基础。

主要教学方法与手段：

针对离散数学存在概念多、理论性强、抽象程度高等特点，离散数学课程教学尽量采用结构化教学、趣味性教学和应用型教学相结合的多元教学方法，期待取得更好的教学效果，提高课程的整体教学质量。

选用教材：

左孝凌、李为鑑、刘永才编.离散数学.上海科学技术文献出版社.2000

必读书目：

[1]耿素云、屈婉玲、张立昂编.离散数学.清华大学出版社.1992

[2]同济大学应用数学系《离散数学》编写组编.离散数学.上海同济大学出版社.2003

选读书目：

[1]孙吉贵、杨凤杰、欧阳丹彤、李占山编著．离散数学．高等教育出版社.2002

[2]KennethH.Rosen著.袁崇义、屈碗玲、王捍贫、刘田译.离散数学及其应用（第四版）.机械工业出版社.2002

二、课程总目标：

通过本课程的学习，学生应能够理解离散数学的基本概念和原理，掌握离散数学的基本原理和方法，运用离散数学的基本原理和方法分析和解决计算机学科中出现的问题。

三、课程教学内容与教学要求

1、教学内容与学时分配

课程总学时：

72其中讲授学时：

72实验（上机）学时：

0

序号

教学章节名称

学时分配

讲课

实验

1

第一章命题逻辑

10

2

第二章谓词逻辑

8

3

第三章集合与关系

18

4

第五章代数结构

18

5

第七章图论

18

合计

72

2、教学要求：

本课程是基础核心课程，教学内容以基本概念、结论、算法、推理与证明方法以及一般应用方法的介绍为主，课程内容以突出简明扼要、体系结构清楚为原则。

本课程主要内容包括数理逻辑、集合论、代数结构与图论等四个方面的内容。

本课程的教学要求：

（1）了解离散数学的主要组成部分，各个部分所涉及的基本内容，及其在计算机科学与技术领域中的应用。

（2）理解离散数学的基本概念、结论、算法、应用方法及适用范围。

（3）掌握离散数学的推理与证明过程、基本算法及应用方法。

第一章命题逻辑（10学时）

教学目标：

（1）理解命题和逻辑联结词的基本概念。

（2）掌握公式分类和真值表构造。

（3）理解命题等值关系式。

（4）掌握公式的析取范式和合取范式。

（5）了解联结词的完备集。

（6）掌握重要的重言蕴涵式。

（7）理解推理的形式结构和自然推理系统P。

教学内容：

第一节　命题及其表示法

一、命题

二、命题的表示方法

第二节联结词

一、否定

二、合取

三、析取

四、条件

五、双条件

第三节命题公式与翻译

一、命题公式的定义

二、命题的翻译

第四节真值表与等价公式

一、真值表

二、等价公式的定义与性质

第五节重言式与蕴含式

一、重言式

二、蕴含式

第六节其他联结词

一、不可兼析取

二、条件否定

三、与非

四、或非

第七节对偶与范式

一、对偶式

二、范式与主范式

第八节推理理论

一、真值表法

二、直接证法

三、间接证法

教学要求：

掌握命题、逻辑联结词等概念，能够将命题符号化，熟练掌握求给定公式真值表的方法，掌握对偶式、析取范式、合取范式、极大项、极小项、主析取范式、主合取范式的概念和性质，掌握求各种范式的方法，在P系统中构造证明的直接证明法、附加前提证明法、归谬法。

重点难点：

命题与5种常用联结词，复合命题的符号化，通过真值表判断命题公式的类型、推理的不同方法，求与已知命题等值的主析取范式和主合取范式，从一种主范式立即写出另一种主范式，掌握推理定律和推理规则并能够灵活运用。

第二章谓词逻辑（8学时）

教学目标：

（1）掌握谓词、全称量词、存在量词等概念，学会使用它们符号化一些命题，并能够构成一些较复杂的命题。

（2）掌握谓词公式的概念，并能够判定给定公式是否为谓词的合式公式。

（3）掌握约束变量、自由变量的概念，并能够正确的使用换名规则。

（4）掌握永真公式、永假公式、可满足公式等概念。

（6）掌握谓词公式的等价、蕴含等概念，熟记基本的等价式、蕴含式，会证明更复杂的等价式、蕴含式。

（7）掌握前束范式的概念，并能够将一谓词公式化成与之等价的前束范式。

（8）掌握谓词演算的推理理论，并能够正确使用推理规则进行有效推理并能够判断一推理过程是否正确。

教学内容：

第一节谓词的概念与表示

一、谓词

二、用谓词表示命题

第二节命题函数与量词

一、简单命题函数

二、复合命题函数

三、量词

第三节谓词公式与翻译

一、谓词公式

二、用谓词公式表示命题

第四节变元的约束

一、全称量词与存在量词

二、换名与代入规则

第五节谓词演算的等价式与蕴涵式

一、谓词演算的等价式

二、谓词演算的蕴涵式

第六节前束范式

一、前束合取范式

二、前束析取范式

第七节谓词演算的推理理论

一、推理规则

二、推理理论

教学要求：

将给定命题符号化，深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们，熟练地使用换名规则、代入规则，准确地求出给定公式的前束范式，对给定的推理，正确地构造出它的证明。

重点难点：

一阶逻辑命题符号化，重要的等值式，前束范式与公式的前束范式，谓词逻辑推理理论。

第三章集合与关系（18学时）

教学目标：

（1）能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系。

（2）熟练掌握关系的三种表示法。

（3）能够判定关系的性质（等价关系或偏序关系）。

（4）掌握含有关系运算的集合等式。

（5）掌握等价关系、等价类、商集、划分、哈斯图、偏序集等概念，给定A上的等价关系R，求所有的等价类和商集A/R，或者求与R相对应的划分，以及给定A的划分，求对应的等价关系。

确定偏序集的极大元、极小元、最大元、最小元、最大下界和最小上界。

教学内容：

第一节集合的概念和表示法

一、外延性原理

二、子集

第二节集合的运算

一、集合的交

二、集合的并

三、集合的补

四、集合的对称差

第三节包含排斥原理

一、包含排斥原理

二、包含排斥原理的证明

第四节序偶与笛卡尔积

一、序偶与笛卡尔积的定义

二、序偶与笛卡尔积的性质

第五节关系及其表示

一、关系的三种表示

二、关系的运算

第六节关系的性质

一、关系的自反性和反自反性

二、关系的对称性和反对称性

三、关系的传递性

第七节复合关系和逆关系

一、关系的复合运算及其性质

二、关系的逆运算及其性质

第八节关系的闭包运算

一、关系的自反闭包

二、关系的对称闭包

三、关系的传递闭包

第九节集合的划分与覆盖

一、集合的划分与性质

二、集合的覆盖与性质

第十节等价关系与等价类

一、等价关系与等价类的定义

二、等价关系与划分之间的关系

第十一节相容关系

一、相容关系与相容类的定义

二、相容关系与覆盖之间的关系

第十二节序关系

一、哈斯图

二、偏序集中的特殊元素

教学要求：

掌握集合、元素、真子集、全集、幂集的概念。

能正确地使用集合表达式、关系矩阵和关系图表示给定的二元关系。

给定A上的等价关系R，求所有的等价类和商集A/R，或者求与R相对应的划分，以及给定A的划分，求对应的等价关系。

确定偏序集的极大元、极小元、最大元、最小元、最大下界和最小上界。

重点难点：

集合的概念与集合的关系，给定A上的偏序关系，画出偏序集的哈斯图；确定偏序集的极大元、极小元、最大元、最小元、最大下界和最小上界。

第五章代数结构（18学时）

教学目标：

（1）掌握半群和独异点的概念及性质；群的定义及性质。

（2）深刻理解子群的概念，子群判定定理；陪集的概念，拉格朗日定理。

（3）掌握群的同态概念，循环群的概念，循环群的性质，应用相关定理，置换群的概念，置换群的性质。

（4）环的概念及性质，域的概念及性质。

判别给定代数系统是否为环、交换环、含幺环、无零因子环、整环和域。

教学内容：

第一节代数系统的引入

一、n元运算

二、代数系统

第二节运算及其性质

一、二元运算的性质

二、幺元、零元和逆元

第三节半群

一、半群的定义

二、半群的性质

第四节群与子群

一、群与子群的定义

二、群的性质

第五节阿贝尔群和循环群

一、阿贝尔群的定义与性质

二、循环群群的定义与性质

第六节置换群与伯恩赛德群

一、置换群的定义与性质

二、伯恩赛德群的定义与性质

第七节陪集与拉格朗日定理

一、陪集的定义

二、拉格朗日定理

第八节同态与同构

一、群的同态与同构的定义与性质

二、群的同态核及其性质

第九节环与域

一、环与域的定义与性质

二、环的同态

教学要求：

判断或者证明给定集合和运算是否构成半群、独异点和群，会运用群的基本性质证明相关的命题，能够证明G的子集构成G的子群，熟悉陪集的定义和性质，熟悉拉格朗日定理及其推论，学习使用该定理解决简单的问题，熟悉群同态映射的定义及其性质，会求循环群的生成元及其子群。

重点难点：

半群和独异点的概念及性质，群的定义及性质，子群的概念，子群判定定理，陪集的概念，拉格朗日定理，群的同态概念，循环群的概念，循环群的性质，置换群的概念，置换群的性质。

环的同态、整环和域。

第七章图论（18学时）

教学目标：

（1）深刻理解图同构、简单图、完全图、子图、补图的概念以及它们的性质及相互之间的关系。

（2）记住通路与回路的定义、分类及表示法。

（3）深刻理解与无向图连通性、连通度有关的诸多概念。

（4）会判别有向图连通性的类型。

（5）熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与回路数的方法，会求可达矩阵。

（6）掌握平面图、平面图的对偶等概念，掌握平面图的性质了解平面图的着色问题。

（7）深刻理解无向树的定义及性质。

（8）准确地求出给定带权连通图的最小生成树。

（9）理解根树及其分类等概念。

教学内容：

第一节图的基本概念

一、图的定义与性质

二、握手定理

第二节路与回路

一、路与回路的定义

二、点割集与点连通度

三、边割集与边连通度

第三节图的矩阵表示

一、图的邻接矩阵

二、图的可达矩阵

三、图的关联矩阵

第四节欧拉图与汉密尔顿图

一、欧拉图的判别与应用

二、汉密尔顿图的判别与应用

第五节平面图

一、欧拉定理

二、库拉托夫斯基定理

第六节对偶图与着色

一、对偶图的定义

二、图的着色方法

第七节树与生成树

一、树的等价定义

二、最小生成树的Kruskal方法

第八节根树及其应用

一、根树的定义与性质

二、根树的应用

教学要求：

掌握无向图、有向图、简单图、完全图、子图、补图、握手定理与推论和图的同构，熟练掌握判定和证明欧拉图的方法，理解哈密尔顿通路、回路和哈密尔顿图的概念，会判断或证明某些图是或不是哈密尔顿图，能够应用欧拉图或者哈密顿图解决实际问题，掌握平面图、平面图的对偶等概念，掌握平面图的性质了解平面图的着色问题，掌握树、生成树的概念以及图是树的几个等价命题。

重点难点：

无向图，顶点的度数和握手定理，图的同构、完全图、子图、补图，欧拉通路、回路和欧拉图的概念，哈密尔顿通路、回路和哈密尔顿图的概念，平面图的性质与相关定理，树及其性质、无向树的等价定义与性质、生成树、最小生成树。

四、课程考核

闭卷考试，平时成绩占30%，期末考试占70%。

姓名

性别

出生年月

身份证号

从业年限

从事

专业

办证专业

工作单位

工作经历

单位

单位

年月日

年月日

年月日

执