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［连载］测量仪器示值误差不确定度与最大允许误差
1.测量仪器示值误差
测量仪器示值误差可简称为测量仪器的误差，按技术规范JJF1001-1998定义为:
测量仪器示值与对应输入量的真值之差。
就实物量具（例如:
砝码、量块、量瓶）而言，示值就是它所标出的值，即标称值）。
从这一定义，结合到测量误差的定义，那么，示值误差Δ等于测量仪器的示值x减对应的输入量之值xs（或约定真值）
Δ=x-xs
和测量误差一样，Δ恒具有一个符号，非正即负，而不可能是个误差限，具有正负号（±）。
在JJF1094中，xs被说明为测量标准复现的量值，即约定真值。
对于测量仪器而言，相当多的测量仪器只用相对示值误差δ作为其特性参数并定义
δ=Δ/xs
近似值为 δ≈Δ/x
也还有些测量仪器用引用误差γ作为其特性参数，定义为
γ=Δ/xN
式中:
xN——引用值，也称为特定值，可以是测量仪器的量程或标称范围的上限。
按以上定义，δ与γ的符号与Δ一致。
例如:
用高频电压标准装置检定一台高频电压表，设测量结果得到被检高频电压表在1V时的示值误差Δ=-0.008V，设该表标称范围的上限为10V，则
δ=Δ/x=-8mV/1V
=-8×10-3或-0.8%
γ=Δ/xN=-8mV/10V
=-8×10-4或-0.08%
如果Δ的标准不确定度u（Δ）=0.8mV（主要来源于高频电压标准装置校准值的不确定度与被检高频电压表的重复性标准偏差两者的合成）。
则Δ的相对标准不确定度（Δ不接近零并取绝对值）
urel（Δ）=u（Δ）/Δ
=0.8mV/8mV
=0.1或10%
这时，相对示值误差δ的标准不确定度
u（δ）=u（Δ）/x
=0.8mV/1V
=8×10-4
相对示值误差δ的相对标准不确定度
urel（δ）=u（δ）/δ
=8×10-4/（-8×10-3）
=1×10-1（不确定度只取正值）
由此，可以看出
urel（Δ）=urel（δ）
这是因为:
urel（δ）=u（δ）/δ
=[u（Δ）/x]/[Δ/x]
=u（Δ）/Δ
=urel（Δ）
但是:
urel（Δ）≠u（δ）
即示值误差的相对标准不确定度不等于相对示值误差的标准不确定度。
至于引用误差γ的不确定度u（γ），按其定义
由于u（γ）=u（Δ）/xN
从而urel（γ）=urel（Δ）
2.测量仪器的三种最大允许误差
测量仪器的最大允许误差可简称为最大允许误差，其符号为MPE，其绝对值用MPEV。
按JJF1001-1998定义为:
对给定的测量仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。
有时也称测量仪器的允许误差限。
按测量不确定度定义所给出的概念，上述误差限或误差极限值也是不确定度的一种，无非其概率p接近100%，他所给出的置信区间具有p≈100%，而这种概率在不确定度评定中是不实用的（按《GUM》），而按其分布评定所导致的标准偏差（标准不确定度），按《JJF1059》5.6节，MPEV就是分散区间半宽a，例如按均匀分布计算其标准不确定度u时，乘以转换系数b=0.6（1/≈0.6）即可。
即u（x）=bMPEV=0.6MPEV。
现在的问题是MPE定义中的“误差极限值”可否是相对误差δ极限值?
可否是引用误差γ极限值?
当测量仪器的MPEV用δ极限值和γ极限值给出时，是否乘以0.6就能得到相应的相对标准不确定度urel？
为便于讨论，现将这样的两种MPEV分别用MPEV（δ）和MPEV（γ）两种符号表示，这两种最大允许误差与MPEV之间存在
MPEV（δ）=MPEV/x
MPEV（γ）=MPEV/xN
因此，当给出了MPEV（δ）后，乘以x可得MPEV。
而MPEV（γ）乘以xN亦可得MPEV，但它是适用于全部量程的x（在xN以内的全部）。
3.通过三种最大允许误差绝对值MPEV，MPEV（δ），MPEV（γ）计算标准不确定度问题
在技术规范《JJF1059》5.6节中所给出的规则只是针对MPEV=a得出
u（x）=a/k
=ab=b·MPEV
（转换系数b的概念及值，参见本刊2003年第1期66页，编者注）
是否可通过MPEV（δ）计算urel（x），可通过以下关系明确:
urel（x）=u（x）/x=b·MPEV/x=b·MPEV（δ）
但是，对于MPEV（γ）则不可能通过与b之乘积得出urel（x），因为MPEV（γ）=MPEV/xN。
b·MPEV（γ）=b·MPEV（δ）/xN
=u（x）/xN≠urel（x）
因此，必须把MPEV（γ）计算成MPEV后再作评定。
4.测量仪器示值误差Δ在测量仪器是否符合要求的评定中，对示值误差Δ的扩展不确定度U95（Δ）所规定的极限值
在JJF1094中提出的条件是
U95（Δ）≤（1/3）MPEV
上式中U95是指示值误差Δ的扩展不确定度。
但也适用于包含因子k=2的扩展不确定度U。
技术规范在给出上述式子时，明确:
被评定测量仪器示值误差Δ在其最大允许误差限内时，可判为合格，即
Δ|≤MPEV为合格。
被评定测量仪器的示值误差Δ超出其最大允许误差限时，可判为不合格，即|Δ|>MPEV为不合格（其他有关更详细的叙述，请参阅JJF1094）
根据本文前面的分析，上述条件也可以是:
U95rel（Δ）≤（1/3）MPEV（δ）
或U95rel（δ）≤（1/3）MPEV（δ）
或U95rel（γ）≤（1/3）MPEV（γ）
上述这样的结论，看起来是否有些荒谬，请读者也研究一下，可真是如此?
问题出在哪里?
第一讲测量、计量及计量学
计量讲座：
通用计量术语知识讲座
讲授人：
中国计量科学研究院施昌彦
编者按
为了宣传JJF1001—1998《通用计量术语及定义》国家计量技术规范，统一理解，普及计量知识，促进计量技术交流，加速计量事业发展，《中国计量》杂志拟于2000年第八期至2001年第八期举办《通用计量术语知识讲座》。
讲座由该规范起草人罗振之、施昌彦、金华彰、戴润生、马彦冰等同志分别主写，对有关术语进行解释、讨论，与读者进行交流。
我们初步计划于2001年下半年在《中国计量》杂志上开展一次有关“通用计量术语和测量不确定度知识竞赛”，以活跃基层计量工作，提高业务知识。
欢迎广大计量工作者积极配合，将在实施JJF1001—1998规范中的有关问题或建议及学习心得反馈给我们，让我们共同把这一讲座办好。
一、测量 measurement
以确定量值为目的的一组操作。
注:
（1）操作可以是自动地进行的。
（2）测量有时也称计量。
这个定义包括三层内涵:
（1）测量是操作，至于是什么样的操作，没有做具体规定。
它可能是一项复杂的物理实验，如激光频率的绝对测量、地球至月球的距离测量、纳米测量等；也可能是一个简单的动作，如称体重、量体温、用尺量布等。
这种操作可以是自动进行的，也可以是手动或半自动的。
（2）这里强调的是一组操作或一套操作，意指操作的全过程，直到给出测量结果或报告。
也就是从明确或定义被测量开始，包括选定测量原理和方法、选用测量标准和仪器设备、控制影响量的取值范围、进行实验和计算，一直到获得具有适当不确定度的测量结果。
（3）该组操作的“目的”在于确定量值，这里没有限定测量范围和测量不确定度。
因此，这个定义适用于诸多方面和各种领域。
这个定义与过去曾广泛流行的定义——“测量是将被测量与一个被选作单位的特定同类量比较，得出该量是单位的多少倍的实验过程”相比，显然更为概括。
它们的主要差别在于:
旧定义只适用于狭义的物理量，即那些在理论上已得到充分阐明的、包含在有关物理方程式中的量，不适用于其定义与特定参考标尺相联系的量（如材料的硬度、化学中的pH值、燃油的辛烷值等）；而新定义则可适用于所有可测量的量。
但是，新旧两个定义的中心思想或目标是相同的，即测量的目的是要把所研究的量与一个数值联系起来。
对于物理量，是以一个数值乘以该量的一个单位的形式来建立联系；对于其他可测量的量，则是通过一个数值与一个表示特定参考标尺的符号来建立联系。
这样，通过测量就可将无法直接计数和排序的量，转变为可以计数或排序，从而使人们对物体、物质和自然现象属性的认识和掌握，达到从定性到定量的转化。
（注:
在《通用计量术语及定义》中，把〔可测量的〕量定义为:
现象、物体或物质可定性区别和定量确定的属性。
）
测量起源于遥远的古代，当时被测的量主要限于长度、容积、质量（重量）和土地面积等几个量。
中国古代的“度量衡”，在作动词解释时，度是指长度测量，量是指容积测量，衡是指质量（重量）测量。
随着人类社会进入工业化和信息化时代，国际交往和贸易快速增长，特别是物理学等“精确科学”的发展，不仅使需要测量的量达到数以百计，而且其量值范围不断扩大、不确定度要求不断提高，还出现了对动态测量、实时测量、综合测量及严酷环境下特殊测量的新需求。
在计量学中，测量既是核心概念，又是研究对象。
所以，人们有时也称测量为计量，例如称测量单位为计量单位、称测量标准为计量标准等。
二、计量 metrology
实现单位统一、量值准确可靠的活动。
计量是实现单位统一、量值准确可靠的活动，包括科学技术上的、法律法规上的和行政管理上的活动。
计量在历史上称为度量衡，所用的主要器具是尺、斗、秤。
在英语中尺子和统治者是同一词——ruler，我国古代把砝码称为“权”，至今仍用天平代表法制和法律的公平，这些都表明计量是象征着权力和公正的活动。
确定被测量的量值是测量的目的，最终是为了社会应用。
因此，在不同时间、地点由不同的操作者用不同仪器所确定的同一个被测量的量值，应当具有可比性。
只有当选择测量单位遵循统一的准则，并使所获得的量值具有必要的准确度和可靠性时，才能保证这种可比性。
显然，对测量的这种要求不会自发地得到满足，必须由社会上的有关机构、团体包括政府进行有组织的活动才能达到。
这些活动，大体上包括进行科学研究、发展测量技术、建立基准（标准）与保证测量结果具有溯源性的物质技术基础，以及制定计量法律、法规、条例，开展计量行政管理，才能保证经济而有效地为社会提供计量服务。
实际上，人类为了生存和发展必须认识自然、利用自然和改造自然，而自然界的一切现象、物体或物质，是通过一定的“量”来描述和体现的。
也就是说，“量是现象、物体或物质可定性区别与定量确定的一种属性”。
因此，要认识大千世界和造福人类社会，就必须对各种“量”进行分析和确认，既要区分量的性质，又要确定其量值。
计量正是达到这种目的的重要手段之一。
在这个意义上可以广义地认为，计量是对“量”的定性分析和定量确认的过程。
实际上，人类在科学研究、经济活动和社会发展中，每时每刻都离不开计量，通过计量所获得的测量结果是人类活动最重要的信息源之一。
如果这种信息是错误的，或者没有可重复、可再现及可比较的特性，就无法正确地认识事物、认识自然，也就无法利用自然和改造自然。
有关的文字记载和器物遗存证明，早在数千年前，出于生产、贸易和征收赋税等方面的需要，古埃及、巴比伦、印度和中国等地均已开始进行长度、面积（尤其是土地面积）、容积（主要是为确定粮食的数量）和质量（重量）的测量。
在相当长的历史时期内，计量的对象主要是物理量，后来随着科技进步和社会发展而扩展到工程量、化学量、生理量，甚至心理量。
当前普遍开展和比较成熟或传统的有几何量、温度、力学、电磁、无线电、时间频率、光学、电离辐射、声学和化学等，即所谓十大计量。
同时，在一些高新技术领域如生物、医学、环保、信息、航天和软件等方面的专业计量测试，也正在逐渐形成和不断加强。
例如，在医学和保健方面，不仅需要实验室用的高准确度计量测试仪器，也需要临床实时（甚至在体实时）的计量分析仪器及非采样（非侵入、无损伤）的医用测试分析仪器。
在生物和生命工程方面，人们希望从蛋白质的控制中了解生物学、生理学、生物化学、分子遗传学，并且正在对构成蛋白质生产的核糖核酸的15万个标记进行测试和编排。
同时，以DNA计算机为首的生物计算机，将为解决当前硅芯片集成器件的数量（集成度）接近极限，因而计算机处理能力也接近极限的难题，提供理想的方案。
这里，计量的对象已进入微观领域。
随着科技、经济和社会的发展，计量的内容也在不断地扩展和充实，通常可概括为6个方面:
计量单位与单位制；计量器具（或测量仪器），包括实现或复现计量单位的计量基准、标准与工作计量器具；量值传递与量值溯源，包括检定、校准、测试、检验与检测；物理常量、材料与物质特性的测定；不确定度、数据处理与测量理论及其方法；计量管理，包括计量保证与计量监督等。
其中，计量器具是对量的定性分析和定量确认进行管理的最为常用的直接手段。
实际上，计量器具起着扩展和延伸人类感官和神经系统的作用，增强了人类认识自然的能力，成为认识自然的有力工具；机器则替代和延伸了人类的体力劳动，成为改造自然的有力工具。
而改造自然是以认识自然为前提的，机器配上计量器具才能发挥更大的作用，这正在诸如柔性机床、加工中心等机电一体化的机器中得到体现，并已成为发展趋势。
计量的特点取决于计量所从事的工作，即为实现单位统一、量值准确可靠而进行的科技、法制和管理活动，概括地说，可归纳为准确性、一致性、溯源性及法制性4个方面。
准确性是指测量结果与被测量真值的一致程度。
由于实际上不存在完全准确无误的测量，因此在给出量值的同时，必须给出适应于应用目的或实际需要的不确定度或误差范围。
否则，所进行的测量的质量（品质）就无从判断，量值也就不具备充分的实用价值。
所谓量值的准确，即是在一定的不确定度、误差极限或允许误差范围内的准确。
一致性是指在统一计量单位的基础上，无论在何时、何地，采用何种方法，使用何种计量器具，以及由何人测量，只要符合有关的要求，其测量结果就应在给定的区间内一致。
也就是说，测量结果应是可重复、可再现（复现）、可比较的。
换言之，量值是确实可靠的，计量的核心实质上是对测量结果及其有效性、可靠性的确认，否则，计量就失去其社会意义。
计量的一致性不仅限于国内，也适用于国际，例如国际关键比对和辅助比对结果应在等效区间或协议区间内一致。
溯源性是指任何一个测量结果或计量标准的值，都能通过一条具有规定不确定度的连续比较链，与计量基准联系起来。
这种特性使所有的同种量值，都可以按这条比较链通过校准向测量的源头追溯，也就是溯源到同一个计量基准（国家基准或国际基准），从而使准确性和一致性得到技术保证。
否则，量值出于多源或多头，必然会在技术上和管理上造成混乱。
所谓“量值溯源”，是指自下而上通过不间断的校准而构成溯源体系；而“量值传递”，则是自上而下通过逐级检定而构成检定系统。
法制性来自于计量的社会性，因为量值的准确可靠不仅依赖于科学技术手段，还要有相应的法律、法规和行政管理。
特别是对国计民生有明显影响，涉及公众利益和可持续发展或需要特殊信任的领域，必须由政府主导建立起法制保障。
否则，量值的准确性、一致性及溯源性就不可能实现，计量的作用也难以发挥。
由此可见，计量不同于一般的测量。
测量是为确定量值而进行的全部操作，一般不具备、也不必具备计量的4个特点。
所以，计量属于测量而又严于一般的测量，在这个意义上可以狭义地认为，计量是与测量结果置信度有关的、与不确定度联系在一起的规范化的测量。
实际上，科技、经济和社会愈发展，对单位统一、量值准确可靠的要求愈高，计量的作用也就愈显重要。
三、计量学 metrology
关于测量的科学
注:
（1）计量学涵盖有关测量的理论与实践的各个方面，而不论测量的不确定度如何，也不论测量是在科学技术的哪个领域中进行的。
（2）计量学有时简称计量。
（3）计量学曾称度量衡学和权度学。
从学科发展来看，计量学是物理学的一部分，后来随着领域和内容的扩展而形成了一门研究测量理论与实践的综合性科学。
特别是计量学作为一门科学，它同国家法律、法规和行政管理紧密结合的程度，在其他学科中是少有的。
人们从不同的角度，对计量学进行过不同的分类。
例如:
把涉及计量单位的换算、计量器具基本特性、测量数据处理等共性问题的，称为通用计量学；把涉及长度、温度、硬度等特定量具体应用的，称为应用计量学；把涉及自动测量、在线测量、动态测量等测量技术和测量方法的，称为技术计量学；把涉及量的定义和单位的实现、复现等测量理论的，称为理论计量学；把涉及计量工作中法律、法规和法定要求与法制管理的，称为法制计量学；把涉及计量在国民经济中作用和效益评估的，称为经济计量学或效益计量学；等等。
当前，国际上趋向于把计量学分为科学计量、工程计量和法制计量3类，分别代表计量的基础、应用和政府起主导作用的社会事业3个方面。
这时，计量学通常简称为计量。
科学计量是指基础性、探索性、先行性的计量科学研究，通常用最新的科技成果来精确地定义与实现计量单位，并为最新的科技发展提供可靠的测量基础。
科学计量本身属于精确科学，通常是国家计量研究机构的主要任务，包括计量单位与单位制的研究、计量基准与标准的研制、物理常量与精密测量技术的研究、量值溯源与量值传递系统的研究、量值比对方法与测量不确定度的研究等。
计量学是关于测量的科学，意味着它要求单位的定义建立在最新科技成果的基础上，能以当前最小的不确定度实现或复现，并在过渡到新定义时保持原来的单位尺度或大小不变。
同时，还要求所有单位构成一个简明的、可在各国和各学科中通用的单位体系，即构成一个实用的一贯单位制。
科学家们经过一百多年的努力，在米制基础上建立的国际单位制（SI），就是一种这样的单位制。
在其包含的7个基本单位中，秒的定义建立在铯原子常量的基础上，实现的不确定度约为10-15量级，是全部单位中最好的；米的定义建立在真空光速和秒定义基础上；开尔文的定义建立在水三相点的特定物质常量基础上；摩尔的定义建立在碳原子常量和千克定义基础上；安培的定义建立在真空磁导率和米、千克、秒定义基础上；坎德拉的定义建立在特定单色辐射和米、千克、秒定义基础上；千克的定义则建立在特定宏观物体的脆弱基础上，对其进行修改的要求最为迫切，实现的可能方案尚在探索中。
从对单位定义的理论要求看，基本单位最好仅仅定义在基本物理常量基础上，以便保持单位的尺度恒久不变；从对单位在实际测量中的使用要求看，则希望实现或复现的不确定度越小越好。
计量学家只能在满足实际使用要求的前提下，去追求理论上的完善。
工程计量也称工业计量，是指各种工程、工业、企业中的实用计量，例如有关能源或材料的消耗、工艺流程的监控以及产品质量与性能的测试等。
工程计量涉及面甚广，随着产品技术含量提高和复杂性的增大，为保证经济贸易全球化所必需的一致性和互换性，它已成为生产过程控制不可缺少的环节。
工程计量测试能力，实际上是一个国家工业竞争力的重要组成部分，在以高技术为基础的经济构架中显得尤为重要。
随着微电子工业的迅速发展，纳米计量已成为热门话题，它涉及物体及其表面的特征，1纳米～1微米范围内测量对象的间隔或位移，例如超大规模集成芯片结构的线宽、台阶、膜厚等。
利用纳米技术可以操纵单个原子，从而为制造量子器件或单电子器件以及制造原子密度的数据存储器提供了可能。
如果说三四十年代的核技术是对物质潜在能量的开发，使“单位质量物质”的爆炸能力提升百万倍的话，那么，纳米技术将是对物质潜在信息和结构的开发，将使“单位体积物质”储存和处理信息的能力增加百万倍。
这里，计量型原子力显微境和具有扫描隧道及原子力探头的扫描探针显微境，将为评定纳米测量不确定度的影响因素及统一纳米量值的方法提供有力手段。
法制计量是与法定计量机构工作有关的计量，涉及对计量单位、计量器具、测量方法及测量实验室的法定要求。
法制计量由政府或授权机构根据法制、技术和行政的需要进行强制管理，其目的是用法规或合同方式来规定并保证与贸易结算、安全防护、医疗卫生、环境监测、资源控制、社会管理等有关的测量工作的公正性和可靠性，因为它们涉及到公众利益和国家可持续发展战略。
法制计量的特征除了政府起主导作用，即由政府或代表政府的机构管理外，还有一个明显的特征:
直接传递到公众一端，即直接与最终用户的计量器具及其测量结果有关。
它涉及的不仅是有利益冲突而需要保护，以及测量结果需要公共机构予以特别关注或特殊信任的领域，还包括测量结果违背公众利益的领域，即保护与违背两者常常是并存的。
例如，随着人们对健康日趋关心，先进的医疗设备发展迅速，愈来愈多的测量方法和计量器具被应用于医疗和保健，从而形成了“医疗计量”分支，涉及温度、压力、质量、超声、电离辐射、生物力学、脑电流、血液成分等有关参量的测量、分析及监控。
忽视医疗计量会造成可怕的医疗事故。
例如:
超声波胎心仪的功率超差严重，无异于使胎儿在母腹中承受脑震荡；用伽马刀放射治疗肿瘤，因聚焦偏差过大使正常组织受过高剂量而坏死；用眼球激光治疗仪治疗白内障，因吸收功率而灼伤视网膜，造成不可逆转的失明悲剧。
现代计量科学技术的成就，保证了所用的法制计量器具被控制在最大允许误差范围之内，不仅减少了商贸、医疗、安全等诸多领域的纠纷，而且维护了消费者利益，促进了社会发展，从而给国民经济带来可观的效益。
由此可见，科学计量既为法制计量提供技术保障，或者说法制计量是以科学计量为其行政执法的技术基础，还为工程计量和新技术发展提供测量基础。
正如俄国科学家门捷列夫说过的:
“没有测量，就没有科学”。
另一方面，科学计量本身又必须用最新的科技成果来发展自己，使之始终保持在先行位置，这就决定了它属于精确科学。
正如王大珩院士指出的:
“计量学是提高物理量量化精确性的科学，是物理的基础和前沿”。
因此，计量事业理所当然地属于国家的基础设施事业之一。
第三讲有关不确定度的概念与术语
计量培训：
测量不确定度表述讲座
国家质量技术监督局 李慎安
3.1 实验方差s2（qk）是方差σ2的无偏估计的含义为何？
标准偏差s是否也是总体标准差σ的无偏估计？
在用贝塞尔公式
计算任一次测量结果qk的实验标准偏差s（qk）时，未开方前以及用本讲座2.12问题中给出的式子计算时，未开方前，均称为实验方差s2（qk）。
σ称为总体标准偏差，σ2则称为总体方差或简称方差，在计量学中，特别是测量不确定度评定中，总体是指被测量Y在重复性条件下或复现性条件下无限多次的测量结果。
根据这无限多次测量结果计算出的标准偏差就是σ。
由于实验中，重复的次数n总是有限的，计算出的实验方差s2只是σ2的一个估计值。
n越大，这个估计值越可靠。
所谓无偏估计，可以简单地理解为:
s2比σ2大的概率与s2比σ2小的概率相等，即均为50%。
而且当次数n越大时，差值（s2-σ2）的总和越趋近为零，当n为无穷大时，s2-σ2就等于零。
当s2是σ2的无偏估计时，s就不是σ的无偏估计而是有偏的了，s是σ的偏小估计，即s-σ是负值的概率大于s-σ是正值的概率。
在测量不确定度评定中，可以不去考虑这种偏小，因为随n的增大它们会趋于相等。
3.2 为什么在按贝塞尔公式计算的实验标准偏差时，次数n应充分大（开方后为什么只取正值）复现性条件下的重复
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