统计与概率知识点与习题.docx
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统计与概率知识点与习题
统计初步与概率初步
考点一、统计学中的几个基本概念
1、全面调查：
考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2、抽样调查：
抽样调查是，一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象作出估计和推断的一种调查方法。
显然，抽样调查虽然是非全面调查，但它的目的却在于取得反映总体情况的信息资料，因而，也可起到全面调查的作用。
3、分层调查：
像这样将总体单位按其属性特征分成若干类型或不同层次后，再在每个类型或每一层次中随机抽取样本的方法，称为分层抽样调查
4、总体
所有考察对象的全体叫做总体。
5、个体
总体中每一个考察对象叫做个体。
6、样本
从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
7、样本容量
样本中个体的数目叫做样本容量。
8、样本平均数
样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
9、总体平均数
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
考点五、频率分布
1、频率分布的意义
在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
2、频数分布直方图
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
①计算极差（最大值与最小值的差）
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念
①极差：
最大值与最小值的差
②频数：
落在各个小组内的数据的个数
③频率：
每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。
④组数和组距：
在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。
（3）列频数分布表的注意事项
运用频数分布直方图进行数据分析的时候，一般先列出它的分布表，其中有几个常用的公式：
各组频数之和等于抽样数据总数；各组频率之和等于1；数据总数×各组的频率=相应组的频数。
画频数分布直方图的目的，是为了将频数分布表中的结果直观、形象地表示出来，其中组距、组数起关键作用，分组过少，数据就非常集中；分组过多，数据就非常分散，这就掩盖了分布的特征，当数据在100以内时，一般分5~12组。
（4）直方图的特点
通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比（因为比是一个常数，为了画图和看图方便，通常直接用高表示频数），这样的统计图称为频数分布直方图。
它能：
①清楚显示各组频数分布情况；②易于显示各组之间频数的差别。
一、填空题
1．某部门要了解一批药品的质量情况，应该采用的调查方式是_______调查．
2．学校要了解初一年级学生吃早饭的情况，调查了一个班45名同学吃早饭的情况，在做这次统计调查中，样本是____________．
3．某班女生人数与男生人数之比是7∶5，把男女学生人数分布情况制成扇形统计图，则表示女生人数的扇形圆心角的度数是__________°．
4．已知数据总数是30，在样本频数分布直方图（如下图）中，各小长方形的高之比为AE∶BF∶CG∶DH＝2∶4∶3∶1，第二小组的频数为_________．
5．某图书室藏书15000册，各类书所占比例如图所示：
（1）请你根据图示完成表格：
类别
文艺类
科技类
教辅类
其他
册数
（2）______类书收藏量最大，它比科技类多______册．
6．某校为了举办“庆祝新中国成立60周年”的活动，调查了本校所有学生，调查的结果如图所示，根据图中给出的信息，这所学校赞成举办演讲比赛的学生有______人．
二、选择题
7．调查下面的问题，应该进行全面调查的是（）．
（A）市场上某种食品的色素是否符合国家标准
（B）一个村子所有家庭的收入
（C）一个城市的空气质量
（D）某品牌电视机显像管的寿命
8．想了解北京市初二学生的视力状况，想抽出2000名学生进行测试，应该（）．
（A）从不戴眼镜的同学中抽取样本
（B）抽取某个学校的初二学生
（C）中午的时候，测试一些从事体育运动的初二学生
（D）到几所中学，在学校放学后，对出校门的初二学生随机测试
9．为了了解某市2007年中考6万余名考生的考试情况，从中抽取500名考生的成绩进行质量分析．在这个问题中，下列说法中正确的个数是（）．
①500名考生是一个个体；②500名考生是样本容量；
③6万余名考生的成绩是总体
（A）3个（B）2个（C）1个（D）无
10．如图是广州市某一天内的气温变化图，下列说法中错误的是（）．
（A）最高气温是24℃
（B）最高气温与最低气温的差为16℃
（C）2时至14时之间的气温在逐渐升高
（D）只有14时至24时之间的气温在逐渐降低
三、解答题
11．某商场儿童玩具专柜“六·一”儿童节这天的营业额为3万元，商场就按这一天为样本算出儿童专柜每月应完成营业额90万元，你认为这样的估计合理吗?
为什么?
12．在“首届中国西部（银川）房·车生活文化节”期间，某经销商推出A、B、C、D四种型号的小轿车共1000辆进行展销．C型号轿车销售的成交率为50％，其他型号轿车的销售情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图中．
图1图2
（1）参加展销的D型号轿车有多少辆?
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好?
13．某中学为了解毕业年级800名学生每学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级60名学生每学期参加社会实践活动的时间（单位：
天）进行了统计（统计数据取整数），整理后分成5组，绘制成频数分布表和频数分布直方图（部分）如图．
（1）补全频数分布表和频数分布直方图；
时间（天）
频数
3.5≤x<5.5
6
5.5≤x<7.5
11
7.5≤x<9.5
9.5≤x<11.5
11.5≤x<13.5
7
合计
60
（2）请你估算这所学校该年级的学生中，每学期参加社会实践活动的时间大于7天的约有多少人?
14．2008年国际金融危机使我国的电子产品出口受到严重影响，在这种情况下有两个电子仪器厂仍然保持着良好的增长势头．
（1）下面的两幅统计图，反映了一厂、二厂各类人员数量及工业产值情况，根据统计图填空．
①一厂、二厂的技术员占厂内总人数的百分比分别是_______和_______；（结果精确到1％）
②一厂、二厂2008年的产值比2007年的产值分别增长了_______万元和_______万元．
（2）下面是一厂、二厂在2008年的销售产品数量占当年产品总数量的百分率统计表，根据此表，画出表示一厂销售情况的扇形统计图．
国内销售
国外销售
本地
外地
一厂（％）
20
30
50
二厂（％）
50
20
30
（3）从以上情况分析，你认为哪个厂生产经营得好?
为什么?
考点二、平均数
1、平均数的概念
（1）平均数：
一般地，如果有n个数
那么，
叫做这n个数的平均数，
读作“x拔”。
（2）加权平均数：
如果n个数中，
出现
次，
出现
次，…，
出现
次（这里
），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为
，这样求得的平均数
叫做加权平均数，其中
叫做权。
2、平均数的计算方法
（1）定义法
当所给数据
比较分散时，一般选用定义公式：
（2）加权平均数法：
当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：
，其中
。
考点三、众数、中位数
1、众数
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
2、中位数
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
考点四、方差
1、方差的概念
在一组数据
中，各数据与它们的平均数
的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。
通常用“
”表示，即
2、方差的计算
（1）基本公式：
此公式的记忆方法是：
方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
3、标准差
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
数据的分析全章测试
一、填空题
1．从一组数据中取出m个x1，n个x2，p个x3组成一个数据样本，则这个样本的平均数为______．
2．数据1，x，2，5的中位数是3，则x＝______．
3．甲、乙两人在相同情况下各射靶10次，环数的方差分别是
＝1.4，
＝1.2，则射击稳定性高的是______．
4．某中学举行一次演讲比赛，分段统计参赛学生的成绩如下表（分数为整数，满分为100分），
分数段（分）
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
人数（人）
2
8
6
4
则这次比赛的平均成绩为______分．
5．若x1、x2、x3的方差为4，则2x1＋3，2x2＋3，2x3＋3的方差为______．
二、选择题
6．若x，y，z的平均数是6，则5x＋3，5y－2，5z＋5的平均数是（）．
（A）6（B）30（C）33（D）32
7．从某市5000名初一学生中，随机地抽取100名学生，测得他们的身高数据，得到一个样本，则这个样本数据的平均数、中位数、众数、方差四个统计量中，服装厂最感兴趣的是（）．
（A）平均数（B）中位数（C）众数（D）方差
8．小明对本班同学每天花多少零用钱进行了调查，计算出平均数为3，中位数为3，众数为2，极差为8，假如老师随机问一名同学每天花多少零用钱，最有可能得到的回答是（）．
（A）3（B）2（C）8（D）不能确定
9．已知x1，x2，…，x10的平均数是a；x11，x12，…，x30的平均数是b，则x1，x2，…，x30的平均数是（）．
（A）
（B）
（C）
（D）
10．甲乙两人在跳远练习中，6次成绩分别为（单位：
米）：
甲：
3.83.83.93.944；
乙：
3.83.93.93.93.94．
则这次跳远练习中，甲乙两人成绩方差的大小关系是（）．
（A）
＞
（B）
＜
（C）
＝
（D）无法确定
三、解答题
11．某农户在山上种了脐橙果树44株，现进入第三年收获期，收获时，先随意采摘5株果树上的脐橙，称得每株树上的脐橙重量如下（单位：
千克）：
35，35，34，39，37．若市场上的脐橙售价为每千克5元，估计这年该农户卖脐橙的收入为多少元?
12．如图，是某单位职工年龄的频数分布直方图，根据图形提供的信息，回答下列问题：
（1）该单位职工的平均年龄为多少?
（2）该单位职工在哪个年龄段的人数最多?
（3）该单位职工年龄的中位数在哪个年龄段内?
13．学期末，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、学习委员和团支部书记的得分情况：
班长
学习委员
团支部书记
思想表现
24
28
26
学习成绩
26
26
24
工作能力
28
24
26
假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3∶3∶4，通过计算说明谁应当选为优秀学生干部．
14．如图是甲、乙二人在八年级下学期的9次数学考试成绩：
（1）填写下表：
分类
平均数
方差
中位数
甲
乙
（2）请从不同的角度对两人的考试成绩进行分析．（至少写出三条）
15．为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表（单位：
秒）：
编号
类型
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
甲种电子钟
1
－3
－4
4
2
－2
2
－1
－1
2
乙种电子钟
4
－3
－1
2
－2
1
－2
2
－2
1
（1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；
（2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；
（3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优，若两种类型的电子钟价格相同，
请问：
你买哪种电子钟?
为什么?
16．为了迎接新中国成立六十周年，某中学九年级组织了《祖国在我心》征文比赛，共收到一班、二班、三班、四班参赛学生的文章共100篇（参赛学生每人只交一篇），下面扇形统计图描述了各班参赛学生占总人数的百分比情况（尚不完整）．比赛一、二等奖若干，结果全年级25人获奖，其中三班参赛学生的获奖率为20％，一、二、三、四班获奖人数的比为6∶7∶a∶5．
（1）填空：
①四班有______人参赛，α＝______°．
②a＝______，各班获奖学生数的众数是______．
（2）获一等奖、二等奖的学生每人分别得到价值100元、60元的学习用品，购买这批奖品共用去1900元，问一等奖、二等奖的学生人数分别是多少?
考点六、确定事件和随机事件
1、确定事件
必然发生的事件：
在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：
有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：
在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
考点七、随机事件发生的可能性
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。
要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。
所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
考点八、概率的意义与表示方法
1、概率的意义
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率
会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
2、事件和概率的表示方法
一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P
考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系
1、确定事件概率
（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1
（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系
事件发生的可能性越来越小
01概率的值
不可能发生必然发生
事件发生的可能性越来越大
考点十、古典概型
1、古典概型的定义
某个试验若具有：
①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
2、古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=
考点十一、列表法求概率
1、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
2、列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
考点十二、树状图法求概率
1、树状图法
就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
2、运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
考点十三、利用频率估计概率
1、利用频率估计概率
在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3、随机数
在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数。
概率初步全章测试
一、选择题
1．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（）．
A．让比赛更富有情趣B．让比赛更具有神秘色彩
C．体现比赛的公平性D．让比赛更有挑战性
2．小张掷一枚硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是（）．
A．0B．1C．0.5D．不能确定
3．关于频率与概率的关系，下列说法正确的是（）．
A．频率等于概率
B．当试验次数很多时，频率会稳定在概率附近
C．当试验次数很多时，概率会稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
4．下列说法正确的是（）．
A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点
B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖
C．天气预报说明天下雨的概率是50％．所以明天将有一半时间在下雨
D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
5．下列说法正确的是（）．
A．抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1
B．“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生都完成了作业
C．一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1％，所以从袋中取至少100次后必定可以取到红球（每次取后放回，并搅匀）
D．抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50％，所以投掷硬币两次，那么一次出现正面，一次出现反面
6．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（）．
A．
B．
C．
D．
7．在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类、速度类和力量类．其中必测项目为耐力类，抽测项目为：
速度类有50m、100m、50m×2往返跑三项，力量类有原地掷实心球、立定跳远、引体向上（男）或仰卧起坐（女）三项．市中考领导小组要从速度类和力量类中各随机抽取一项进行测试，请问同时抽中50m×2往返跑、引体向上（男）或仰卧起坐（女）两项的概率是（）．
A．
B．
C．
D．
8．元旦游园晚会上，有一个闯关活动：
将20个大小、重量完全一样的乒乓球放入一个袋中，其中8个白色的，5个黄色的，5个绿色的，2个红色的．如果任意摸出一个乒乓球是红色，就可以过关，那么一次过关的概率为（）．
A．
B．
C．
D．
9．下面4个说法中，正确的个数为（）．
（1）“从袋中取出一只红球的概率是99％”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，因为概率已经很大
（2）袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红球没有把握，所以小张说：
“从袋中取出一只红球的概率是50％”
（3）小李说，这次考试我得90分以上的概率是200％
（4）“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小
A．3B．2C．1D．0
10．下列说法正确的是（）．
A．可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生
B．可能性很小的事件在一次试验中一定发生
C．可能性很小的事件在一次试验中有可能发生
D．不可能事件在一次试验中也可能发生
二、填空题
11．在一个不透明的箱子里放有除颜色外，其余都相同的4个小球，其中红球3个、白球1个．搅匀后，从中同时摸出2个小球，请你写出这个实验中的一个可能事件：
_______
__________．
12．掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是______，7点向上的概率是______．
13．设盒子中有8个小球，其中红球3个，黄球4个，蓝球1个，若从中随机地取出1个球，记事件A为“取出的是红球”，事件B为“取出的是黄球”，事件C为“取出的是蓝球”，则P（A）＝______，P（B）＝______，P（C）＝______．
14．有大小、形状、颜色完全相同的5个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3，4，5中的一个，将这5个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是______．
15．下面图形：
四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为______．
16．从下面的6张牌中，一次任意抽取两张，则其点数和是奇数的概率为______．
17．在一个袋子中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是______．
18．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．
若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为
，则n＝______．
三、解答题
19．某出版社对其发行的杂志的质量进行了5次“读者调查问卷”，结果如下：
被调查人数n
1001
1000
1004
1003
1000
满意人数m
999
998
1002
1002
1000
满意频率
（1）计算表中各个频率；
（2）读者对该杂志满意的概率约是多少?
（3）从中你能说明频率与概率的关系吗?
20．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．你认为这个游戏公平吗?
请用列表法或画树形图法说明理由．
21．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
（1）请估计：
当n很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0．1）
（2）假如摸一次，你到白球的概率P（白球）＝______；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只?
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