北师大版八年级下册数学第一章《证明二》知识点及习题.docx

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北师大版八年级下册数学第一章《证明二》知识点及习题

1等腰三角形

知识点1等腰三角形的性质定理

等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两个底角相等（简述为等边对等角）．

用符号语言表示为：

如图1－1所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

定理的证明：

取BC的中点D，连接AD．

∵

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）．

定理的作用：

证明同一个三角形中的两个内角相等．

拓展等腰三角形还具有其他性质．

（1）等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．

（2）等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．

（3）等腰三角形的三边关系：

设腰长为a，底边长为b，则

＜a．

（4）等腰三角形的三角关系：

设顶角为∠A，底角为∠B，∠C，则∠A＝180°－∠B－∠C＝180°－2∠B＝180°－2∠C．

知识点2等腰三角形的性质定理的推论

推论1：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）．

（1）用符号语言表示为：

如图1－3所示，

①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，∴AD⊥BC．BD＝DC；

②在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，BD＝DC；

③在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠1＝∠2，AD⊥BC．

（2）推论1的证明．

①在△ABC中，∵AB＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，

∴△ABD≌△ACD（SAS）．

∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．

②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）．

∴∠1＝∠2，BD＝CD．

③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.

（3）推论1的作用：

证明角相等、线段相等或垂直.

推论2：

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．

（1）用符号语言表示为：

如图1－4所示，

在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

（2）推论2的证明：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．

∴∠A＝∠B＝∠C．

又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．

知识点3等腰三角形的判定定理

等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（简述为等角对等边）．

用符号语言表示为：

如图1－6所示，在△ABC中，

∵∠B＝∠C，∴AB＝AC

判定定理的证明：

如图1－6所示．

过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．

∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），

∴AB＝AC．

√判定定理的作用：

证明同一个三角形中的边相等．

拓展如图1－6所示，在△ABC中，

（1）如果AD⊥BC，∠1＝∠2，那么AB＝AC；

（2）如果AD⊥BC，BD＝DC，那么AB＝AC；

（3）如果∠1－∠2，BD＝DC，那么AB＝AC．

知识点4等腰三角形的判定定理的推论

推论1．

（1）推论1的内容：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

（2）用符号语言表示为：

如图1－8所示，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°（或∠B＝60°或∠C＝60°），∴AB＝AC＝BC．

（3）推论1的证明：

在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

又∵∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝

＝60°

∴AB＝AC＝BC．

（或∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－2∠B＝60°．∴AB＝AC＝BC．或∵∠C＝60°，∴∠A＝180°－2∠C＝60°．∴AB＝AC＝BC．）

√推论2．

（1）推论2的内容：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

（2）用符号语言表示为：

如图1－8所示，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝AC＝BC．

（3）推论2的证明：

在△ABC中，∵∠A＝∠B，∴BC＝AC（等角对等边）．

又∵∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）．∴AB＝AC＝BC．

（4）推论1和推论2的作用：

证明一个三角形是等边三角形．

拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：

（1）根据等边三角形的定义，证明三条边相等；

（2）根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；

（3）根据推论2，证明三个角都相等．

√推论3．

（1）推论3的内容：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30。

，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

（2）用符号语言表示为：

如图1－9所示，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝

AB．

（3）推论3的作用：

证明一条线段是另一条线段的一半或2倍．

知识点5反证法

先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．

拓展反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：

（1）假设命题不成立；

（2）从假设出发推导出矛盾；

（3）否定假设，从而肯定命题的结论．

规律方法小结

1．转化思想：

在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的．

2．类比思想：

采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习．

3．用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况．

探究交流

想一想：

还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？

解析有，作等腰三角形ABC的顶角平分线AD，如图1－2所示.

∵

∴△ABD≌△ACD（SAS）.

∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）

课堂检测

1、如图1－10所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝

AC，AE＝

AB．求证BD＝CE．

2、如图1－12所示，已知点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证BD＝CE．

3、如图1－13所示，已知∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD∥BC，

求证△ABC是等腰三角形．

4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题．

学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：

已知等腰三角形ABC的∠A等于30°，求其余两角．

同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：

“其余两角是30°和120°．”王华同学说：

“其余两角是75°和75°．”还有一些同学也提出了不同的看法……

假如你也在课堂上，你的意见如何?

为什么?

5、已知等边三角形ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在边BC上，如图1－17

（1）所示，此时h3＝0，可得结论：

h1+h2+h3＝h．

请直接应用上述信息解决下列问题：

点P在△ABC内，如图1－17

（2）所示．点P在△ABC外，如图1－17（3）所示，这两种情况时，上述结论是否还成立?

若成立，请给出证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系?

请写出你的猜想，不需证明．

体验中考

1、已知等腰三角形ABC的周长为10．若设腰长为x，则x的取值范围是．

2、如图1－20所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠1．求证AC＝DF（要求：

写出证明过程中的重要依据）．

2直角三角形

知识概览图

知识点1勾股定理及其逆定理

勾股定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c2＝a2+b2（c为斜边长）．

√勾股定理的作用．

（1）已知直角三角形的两边求第三边．

（2）已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系．

（3）用于证明平方关系的问题．

（4）利用勾股定理作出长为

的线段．

勾股定理的各种表达形式．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c2＝a2+b2，c＝

，a＝

，b＝

．

勾股定理的逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

勾股定理的逆定理的作用：

判定某一三角形是否是直角三角形．

勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理．

直角三角形的判定．

（1）首先确定最大边（如c）．

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系．

若c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形；

若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形．

勾股数．

（1）能够成为直角三角形三边长的三个正整数．称为勾股数或勾股弦数．

（2）勾股数必须是正整数．如3，4，5；5，12，13等．

拓展应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角．

知识点2互逆命题与互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

拓展每个命题都有逆命题．原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题．原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：

真、假；真、真；假、假；假、真．

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题．那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．

拓展每个命题都有逆命题．但不是所有的定理都有逆定理.

知识点3直角三角形全等的判定定理

直角三角形全等的判定定理：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．

√定理的作用：

判定两个直角三角形全等．

√定理的证明：

如图1－30所示，已知Rt△ABC，Rt△A′B′C′，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，求证Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．

证明：

∵在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，

∴BC＝

，B′C′＝

.

∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′．

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SSS）．

知识拓展“HL”是直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立．判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等．与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．

课堂检测

1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假．

2、如图1－31所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50，BC＝30，CD⊥AB于点D，求CD的长．

3、在正方形ABCD中，如图1－32所示，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC＝

BC，求证∠EFA＝90°．

4、试判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n＞0）的三角形是否是直角三角形．

5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得∠MAD＝30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得∠MBD=45°，该货轮到达灯塔M的正东方向的D处时，货轮与灯塔M的距离是多少?

（精确到0．1海里，

≈1．732）

体验中考

1、如图1-41所示，在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，求AD的长度．

2、如图1－45所示，在直角梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE＝AC．

（1）求证BG＝FG；

（2）若AD＝DC＝2，求AB的长．