高三理科数学第一轮总复习教案3.docx

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高三理科数学第一轮总复习教案3

第九章　圆锥曲线与方程

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考试要求

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命题展望

1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；

3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；

4.了解圆锥曲线的简单应用；

5.理解数形结合的思想；

6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

　　本章重点：

1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.求曲线的方程或曲线的轨迹；4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.

本章难点：

1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用；2.直线与圆锥曲线的位置关系问题；3.曲线与方程的对应关系.

　　圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用；解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.

知识网络

　9.1　椭　圆

典例精析

题型一　求椭圆的标准方程

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和

，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.

【解析】由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，故a＝，

由勾股定理得，（）2－（）2＝4c2，所以c2＝，b2＝a2－c2＝，

故所求方程为＋＝1或＋＝1.

【点拨】

（1）在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：

mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0且m≠n）；

（2）在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（x，y）.由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：

据此，可推断椭圆C1的方程为　　　　　.

【解析】方法一：

先将题目中的点描出来，如图，A（－2,2），B（－，0），C（0，），D（2，－2），E（2，），F（3，－2）.

通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.

显然半焦距b＝，则不妨设椭圆的方程是＋＝1，则将点

A（－2,2）代入可得m＝12，故该椭圆的方程是＋＝1.

方法二：

欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.

不妨设有两点y＝2px1，①y＝2px2，②＝，

则可知B（－，0），C（0，）不是抛物线上的点.

而D（2，－2），F（3，－2）正好符合.

又因为椭圆的交点在x轴上，故B（－，0），C（0，）不可能同时出现.故选用A（－2,2），E（2，）这两个点代入，可得椭圆的方程是＋＝1.

题型二　椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

（1）求椭圆离心率的范围；

（2）求证：

△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【解析】

（1）设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，

由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos60°，

因为m＋n＝2a，所以m2＋n2＝（m＋n）2－2mn＝4a2－2mn，

所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.

又mn≤（）2＝a2（当且仅当m＝n时取等号），

所以4a2－4c2≤3a2，所以≥，

即e≥，所以e的取值范围是[，1）.

（2）由

（1）知mn＝b2，所以＝mnsin60°＝b2，

即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义（或性质）与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤（）2，|PF1|≥a－c.

【变式训练2】已知P是椭圆＋＝1上的一点，Q，R分别是圆（x＋4）2＋y2＝和圆

（x－4）2＋y2＝上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是　　　　.

【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，

则|PQ|＋|PR|≥（|PF1|－）＋（|PF2|－）＝|PF1|＋|PF2|－1＝9.

所以|PQ|＋|PR|的最小值为9.

题型三　有关椭圆的综合问题

【例3】（2010全国新课标）设F1，F2分别是椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

（1）求E的离心率；

（2）设点P（0，－1）满足|PA|＝|PB|，求E的方程.

【解析】

（1）由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.

l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组

化简得（a2＋b2）x2＋2a2cx＋a2（c2－b2）＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，

即a＝，故a2＝2b2，

所以E的离心率e＝＝＝.

（2）设AB的中点为N（x0，y0），由

（1）知x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝.

由|PA|＝|PB|⇒kPN＝－1，即＝－1⇒c＝3.

从而a＝3，b＝3，故E的方程为＋＝1.

【变式训练3】已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若＝e，则e的值是（　　）

A.B.C.D.

【解析】设F1（－c,0），F2（c,0），P（x0，y0），则椭圆左准线x＝－，抛物线准线为x＝

－3c，x0－（－）＝x0－（－3c）⇒＝⇒e＝.故选B.

总结提高

1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上（即定位），还要确定a、b的值（即定量），若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）求解.

2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.

3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.

9.2　双曲线

典例精析

题型一　双曲线的定义与标准方程

【例1】已知动圆E与圆A：

（x＋4）2＋y2＝2外切，与圆B：

（x－4）2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.

【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|＝r＋，|BE|＝r－，

所以|AE|－|BE|＝2，又A（－4,0），B（4,0），所以|AB|＝8,2＜|AB|.

根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.

因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，

故点E的轨迹方程是－＝1（x≥）.

【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.

【变式训练1】P为双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和

（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（　　）

A.6B.7C.8D.9

【解析】选D.

题型二　双曲线几何性质的运用

【例2】双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a,0），若C上存在一点P，使＝0，求此双曲线离心率的取值范围.

【解析】设P（x，y），则由＝0，得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上，

即（x－）2＋y2＝（）2，①

又P在双曲线上，得－＝1，②

由①②消去y，得（a2＋b2）x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，

即[（a2＋b2）x－（2a3－ab2）]（x－a）＝0，

当x＝a时，P与A重合，不符合题意，舍去；

当x＝时，满足题意的点P存在，需x＝＞a，

化简得a2＞2b2，即3a2＞2c2，＜，

所以离心率的取值范围是（1，）.

【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.

【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（　　）

A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1

C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1

【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－＜k＜，即k2＜＝＝e2－1，故选C.

题型三　有关双曲线的综合问题

【例3】（2010广东）已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P（x1，y1），Q（x1，－y1）是双曲线上不同的两个动点.

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；

（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.

【解析】

（1）由题意知|x1|＞，A1（－，0），A2（，0），则有

直线A1P的方程为y＝（x＋），①

直线A2Q的方程为y＝（x－）.②

方法一：

联立①②解得交点坐标为x＝，y＝，即x1＝，y1＝，③

则x≠0，|x|＜.

而点P（x1，y1）在双曲线－y2＝1上，所以－y＝1.

将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±.

方法二：

设点M（x，y）是A1P与A2Q的交点，①×②得y2＝（x2－2）.③

又点P（x1，y1）在双曲线上，因此－y＝1，即y＝－1.

代入③式整理得＋y2＝1.

因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点（0,1）及A2（，0）的直线l的方程为x＋y－＝0.

解方程组得x＝，y＝0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.

故轨迹E不过点（0,1）.同理轨迹E也不过点（0，－1）.

综上分析，轨迹E的方程为＋y2＝1，x≠0且x≠±.

（2）设过点H（0，h）的直线为y＝kx＋h（h＞1），

联立＋y2＝1得（1＋2k2）x2＋4khx＋2h2－2＝0.

令Δ＝16k2h2－4（1＋2k2）（2h2－2）＝0，得h2－1－2k2＝0，

解得k1＝，k2＝－.

由于l1⊥l2，则k1k2＝－＝－1，故h＝.

过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H（0，h），且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由×（－）＝－1，得h＝.

此时，l1，l2的方程分别为y＝x＋与y＝－x＋，

它们与轨迹E分别仅有一个交点（－，）与（，）.

所以，符合条件的h的值为或.

【变式训练3】双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于（　　）

A.1＋2B.3＋2

C.4－2D.5－2

【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.

据题意设|