中考数学复习一元二次方程组专项易错题及详细答案.docx

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中考数学复习一元二次方程组专项易错题及详细答案

中考数学复习一元二次方程组专项易错题及详细答案

一、一元二次方程

1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．

（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？

（假定每年新增汽车数量相同）

【答案】详见解析

【解析】

试题分析：

（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；

（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．

试题解析：

（1）设年平均增长率为x，根据题意得：

10（1+x）2=14.4，

解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，

答：

年平均增长率为20%；

（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：

2009年底汽车数量为14.4×90%+y，

2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，

∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，

∴y≤2．

答：

每年新增汽车数量最多不超过2万辆．

考点：

一元二次方程—增长率的问题

2．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．

（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？

（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？

（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？

【答案】

（1）PQ=6cm；

（2）s或s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．

【解析】

试题分析：

（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；

（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；

（3）分类讨论：

①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．

试题解析：

（1）过点P作PE⊥CD于E．

则根据题意，得

EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；

在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得

PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，

∴PQ=6cm；

∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；

（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．

（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，

∴16-5x=±8，

∴x1=，x2=；

∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；

（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．

①当0≤y≤时，则PB=16-3y，

∴PB•BC=12，即×（16-3y）×6=12，

解得y=4；

②当＜x≤时，

BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则

BP•CQ=（3y-16）×2y=12，

解得y1=6，y2=-（舍去）；

③＜x≤8时，

QP=CQ-PQ=22-y，则

QP•CB=（22-y）×6=12，

解得y=18（舍去）．

综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．

考点：

一元二次方程的应用．

3．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．

（1）求证：

对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）m的值为±，方程的另一个根是5．

【解析】

【分析】

（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；

（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.

【详解】

（1）证明：

∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，

∴x2﹣7x+12﹣m2=0，

∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，

∵m2≥0，

∴△＞0，

∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）解：

∵方程的一个根是2，

∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，

∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，

即m的值为±，方程的另一个根是5．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.

当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

4．已知关于的方程有两个实数根.

（1）求的取值范围；

（2）若方程的两实数根分别为，，且，求的值.

【答案】

（1）

（2）4

【解析】

试题分析：

根据方程的系数结合根的判别式即可得出，解之即可得出结论.

根据韦达定理可得：

，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再由⑴的结论即可确定值.

试题解析：

因为方程有两个实数根，所以，

解得.

根据韦达定理，

因为，所以，将上式代入可得

，整理得，解得

，又因为，所以.

5．观察下列一组方程：

；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．

若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；

请写出第n个方程和它的根．

【答案】

（1）x1＝7，x2＝8.

（2）x1＝n－1，x2＝n.

【解析】

【分析】

（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,

（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.

【详解】

解：

（1）由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则（x－7）·（x－8）＝0，解得x1＝7，x2＝8.

（2）第n个方程为x2－（2n－1）x＋n（n－1）＝0，（x－n）（x－n＋1）＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.

【点睛】

本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.

6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:

若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？

（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?

【答案】

（1）y=-10x+780；

（2）57；（3）当售价为59元时，利润最大，为3610元

【解析】

【分析】

（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,

（2）解一元二次方程即可求解,

（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.

【详解】

解：

（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,

设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,（40≤x≤60）,

（2）依题意得：

（x-40）（-10x+780）=3570,

解得：

x=57,

∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.

（3）设每星期的利润为w，

W=（x-40）（-10x+780）=-10（x-59）2+3610,

∵-100,二次函数向下,函数有最大值,

当x=59时,利润最大，为3610元.

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.

7．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①

（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；

（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．

【答案】

（1）方程的另一根为x=2；

（2）方程总有两个不等的实数根，理由见解析.

【解析】

试题分析：

（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；

（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．

（1）把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1

∴2--2=0．

∴

∴另一根是2；

（2）∵，

∴方程①有两个不相等的实数根．

考点：

本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程

点评：

解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根

8．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

（1）求证：

方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

【答案】

（1）见详解；

（2）4＋或4＋.

【解析】

【分析】

（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论.

（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：

①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.

【详解】

解：

（1）证明：

∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，

∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.

∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根.

（2）∵此方程的一个根是1，

∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，

则方程的另一根为：

m＋2－1=2+1=3.

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1＋3＋=4＋.

9．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九

（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：

（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；

（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：

共有多少名同学参加了研学游活动？

【答案】共有35名同学参加了研学游活动．

【解析】

试题分析：

由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：

（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．

试题解析：

∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．

设九

（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：

x[100﹣2（x﹣30）]=3150，

整理得x2﹣80x+1575