第7讲几何光学应用教师版.docx

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第7讲几何光学应用教师版

1.常见光具原理

2.放大率的概念

知识点拨

1：

重要光学器件简介：

1）望远镜望远镜用于观察大而远的物体，如图，分别表示开普勒望远镜和伽利略望远镜的光路图。

两种望远镜都是用焦距较长的凸透镜做物镜。

远处物体从同点发出的光线可近似为平行光，因此将在物镜的焦平面上成一实像。

开普勒望远镜的目镜也是凸透镜，其焦距较短，物方焦平面和物镜的像方焦平面几乎重合。

结果，以为物，在无穷远处得到虚像。

而伽利略望远镜的目镜则是凹透镜，当它的物方焦平面（在右侧）与物镜的像方焦平面重合时，实像却成了虚物，经凹透镜折射成像于无穷远处。

由图中看出伽利略望远镜观察到的像是正立的，可用于观察地面物体，而开普勒望远镜观察到的像是倒立的，只适合作为天文望远镜。

从图中的几何关系还可看出两种望远镜的视角放大率均为：

2）显微镜是显微镜成像原理图。

被观察物体AB置于物镜焦点外很靠近焦点处，（），成放大实像于目镜焦点内靠近焦点处（），眼睛靠近目镜的光心可观察到位于明视距离的虚像

显微镜的视角放大率：

式中L是镜筒长度。

25是人的明视距离25cm，所以..L单位都带cm。

β1，β2是分别目镜物镜放大率.

【说明】放大率的问题我们在后面的例题中具体予以说明。

不以知识的形式作体统介绍。

例题精讲

【例1】某观察者通过一块薄玻璃板去看凸面镜中他自己的像．他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面镜的焦距为１０cm,眼睛距凸面镜顶点的距离灵40cm,问玻璃板观察者眼睛的距离为多少?

 【解析】根据题意，由凸面镜成像公式得：

  ∴凸透镜物点与像点的距离，  则玻璃距观察者的距离为

【例2】有一种高脚酒杯，如图所示。

杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R＝1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。

在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。

这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。

已知玻璃的折射率n1＝1.56，酒的折射率n2＝1.34。

试通过分析计算与论证解释这一现象.

【解析】1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1。

在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成a角的另一光线PA在A处折射。

设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为q，由折射定律和几何关系可得

n1sini＝n0sinr　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（1）

q＝i+a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

（2）

在△PAC中，由正弦定理，有　　　　　　　 （3）

考虑近轴光线成像，a、i、r都是小角度，则有　　　　 （4）　　　　　（5）

由

（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及cm可得q＝1.31i　　（6）r＝1.56i　 （7）

由（6）、（7）式有r＞q　　　　　　　　　 （8）

由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P¢，P¢即为P点的实像．画面将成实像于P¢处。

在△CAP¢中，由正弦定理有　　（9）

又有　　　 r＝q+b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （10）

考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得　　　　　（11）

又有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12）

由以上各式并代入数据，可得 cm　　　　　　　 （13）

由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处。

已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。

2．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （14）

代入n1和n2的值，可得r＝1.16i　　　（15）与（6）式比较，可知r＜q　　　　（16）

由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P¢，P¢即为P点的虚像。

画面将成虚像于P¢处。

计算可得　　　　　　（17）又有　　　　　（18）

由以上各式并代入数据得 cm　　　　　　　　　 （19）

由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P¢处，距O点13cm．即距杯口21cm。

虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。

【例3】一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后f=48cm处，透镜的折射率n=1.5。

若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置。

【解析】:

平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜，我们可根据平凸透镜平行光汇聚的几何关系求出凸球面的曲率半径R，即求出凹面镜的焦距，根据平面折射成像及凹面镜成像的规律可进一步求出最后所成像的位置。

解:

（1）先求凸球面的曲率求径R。

平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图所示，C点为球面的球心，，由正弦定理可得

由折射定律知

当i、r很小时，，，由以上两式得

所以

（2）凸面镀银后将成为半径R的凹面镜，如图所示令P表示物所在的位置，P点经平面折射成像于，根据折射定律可推出

由于这是一个薄透镜，与凹面镜的距离可认为等于，设反射后成像于，则由球面镜成像公式可得

因此可解得，可知位于平面的左方，对平面折射来说，是一个虚物，经平面折射后，成实像于点。

最后所成实像在透镜左方24cm处。

【例4】凸透镜后面（大于焦距）处有一平面镜，透镜前面有一方格纸．当方格纸前后移动时，在相距的两个位置上均能在纸上看到方格的像．求透镜焦距．

【答案】3cm（注意把物体放到焦点上可以把光变成平行光，成像与无穷远，对下次的成像物距也是无穷）

【例5】有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚3.0cm，折射率n＝1.5。

在其下表面下2.0cm处有一小物S；在玻璃扳上方有一薄凸透镜L，其焦距f＝30cm，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于透镜的主轴上，如题图所示。

若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到S的像就在S处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?

【答案】，其中u=2+3/1.5+xv2+3+x

解得x=1cm

【例6】如图所示，折射率n=1.5的全反射棱镜上方6cm处放置一物体AB，棱镜直角边长为6cm，棱镜右侧10cm处放置一焦距f1=10cm的凸透镜，透镜右侧15cm处再放置一焦距f2=10cm的凹透镜，求该光学系统成的位置和像放大率。

【答案】在凹透镜右侧10cm，实相，放大率2

【例7】空心激光束是一种在传播方向上中心光强为零的圆筒形光束。

由于这一特征，它可以把某些微小粒子约束在激光束的中心部位，作为激光导管，激光镊子、光学扳手等，实现对纳米粒子、生物细胞等微小粒子的精确操控。

空心激光技术目前在生物学、激光加工、原子冷却等方面得到了广泛的应用，正逐渐成为一门新兴的学科分支。

产生空心激光束的基本做法是利用光学系统将一束实心的圆柱形激光转换成为一束空心的激光。

给定如下光学器件：

焦距为的凸透镜，圆锥角为的锥面反射镜，半径为的球面镜（中间有圆孔），如图：

利用上述光学器件设计一光学系统，使得一束很细的实心圆柱入射激光转化成一束空心的出射激光，且空腔为圆柱形，半径为。

请回答如下问题：

1．画出该光学系统的光路图。

2．求该光学系统中锥面镜顶点到球面镜球心的距离。

【解析】光路图如下，指出被球面镜反射的光线汇累于凸透镜的焦点。

2．参照所给光路图，可知，设，有如下几何关系：

，

（1）

（2）

两式联立，可求得。

（3）

即要求

关于放大率：

【例8】光源位于的透镜前40mm处，问屏放在何处能找到光源像？

垂轴放大率等于多少？

若光源及屏位置保持不变，问透镜移到什么位置时，能在屏上重新获得光源像，此时放大率等于多少？

【解析】：

，由高斯公式得

即光源像在透镜后120mm处。

又

由题列出以下方程

=1/30解得

【例9】下面再看天文望远镜的放大率，如果天文望远镜的物镜焦距为，目镜焦距为，试证明天文望远镜的放大率。

【证明】望远镜成像光路如图所示，远处物体AB由物镜Ⅰ成像，然后再由目镜Ⅱ在远处成一虚像（图中未画出），观察者观察的视角即为图中的β，。

若不用望远镜，观察者直接观察距望远镜S远处的物体AB的视角，近似为图中的α

因此望远镜的放大率m为

【例10】有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为=10cm的凸球面。

（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？

（2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角放大率）。

【解析】:

（1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图所示，图中为左端球面的球心。

由正弦定理、折射定律和小角度近似得

①

即②

光线射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心一定在端面顶点B的左方，B等于球面的半径，如图所示。

仿照上面对左端球面上折射的关系可得

③

又有④

由②③④式并代入数值可得

⑤

即右端应为半径等于5cm的向外凸面球面。

（2）设从无限远处物点射入的平行光线用a、b表示，令a过，b过A，如图所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点。

现在求M点的位置。

在中

⑥

又⑦

已知、均为小角度，则有

⑧

与②式比较可知，，即M位于过垂直于主光轴的平面上。

上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线。

容易看出，从M射向的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光些a、b）从玻璃棒射出的平行光线的方向。

此方向与主光轴的夹角即为。

⑨

由②③式可得

则⑩

【例11】薄凸透镜放在空气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。

如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为和，则透镜两侧各有一个焦点（设为和），但、和透镜中心的距离不相等，其值分别为和。

现有一个薄凸透镜，已知此凸透镜对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图所示。

1．试求出此时物距，像距，焦距、四者之间的关系式。

2．若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为，则与之相应的出射线与主轴的夹角多大？

3．，，，四者之间有何关系？

【解析】利用焦点的性质，用作图法可求得小物的像，如下图所示。

（1）用和分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得

（1）　　　即：

简化后即得物像距公式，即，，，之间的关系式　　　　　　　　　　

（2）

（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图所示。

图中为入射角，为与之相应的出射角，为平行板中的光线与法线的夹角。

设透镜的折射率为，则由折射定律得