微积分.docx

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微积分

摘要：

积分是大学数学中的重要内容，其思想方法和基本理论有着广泛的应用，不仅是大学数学解决问题的一个很好的工具，而且可以当作工具去解决中学数学中的一些复杂问题。

本文重点讲述积分在大学数学中的一些基本应用，进而阐述积分在中学数学应用。

例如：

积分在判定函数的单调性、极值，讨论方程的根，证明不等式和恒等式，求切线方程，作函数图象，求平面区域的面积等方面的应用．

关键词：

：

积分大学数学中学数学应用

引言：

积分学的主要内容包括：

定积分．不定积分等。

微积分是与应

用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。

此后．微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学，生物学、工程学、经济学等自然科学．社会科学及应用科学各个分支中的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用。

积分是高等数学的重要内容，也是数学的基础。

积分应用于初等数学，使一些证明更严谨、更简单，并为许多问题提供新的解决途径；同时积分知识运用知识技巧性强，它有利于优化学生认知知识结构，开阔思路，从而能够使学生形成良好的创新型思维和创新意识是培养学生能力和科学素养的理想素材。

随着社会的发展，中学要学的知识也越来越广阔，为了培养学生的思维能力我们可以把我们在大学里学到的积分知识去扩展他们的思维。

因此作为即将成为中学教师的我,除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外,还应善于用高等数学方法解决中学数学问题,特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁,而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧,提高教师专业水平,促进中学数学教学.

1微积分在大学数学中的应用

一、在几何中的应用

（一）微分学在几何中的应用

（1）求曲线切线的斜率

由导数的几何意义可知，曲线y=（x）在点

处的切线等于过该点切线的斜率。

即

，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。

例如：

求曲线

在点（1，1）处的切线方程和法线方程。

分析：

由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：

，所以，所求切线的方程为y-l=2（x一1），化解得切线方程为2x-y-1=0。

又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方程为

，化解得法线方程为2y+x-3=0。

（2）求函数值增量的近似值

由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。

例如：

计算

的近似值。

分析：

令f（x）=sin（x），则f（x）=cosx，取

，

，则由微分的定义可知

（二）定积分在几何中的应用

（1）求平面图形的面积

由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f（x）在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f（x），x=a，x=b和轴所围成的图形的面积的代数和。

由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如：

求曲线

和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。

分析：

由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。

所以该曲边梯形的面积为

（2）求旋转体的体积

（I）由连续曲线y=f（x）与直线x=a、x=b（a

。

（Ⅱ）由连续曲线y=g（y）与直线y=c、y=d（c

。

（III）由连续曲线y=f（x）（

）与直线x=a、x=b（

。

例如：

求椭圆

所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋转体的体积。

分析：

椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆

，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆

所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为

椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆

，与y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆

所围成的图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为

（3）求平面曲线的弧长

（I）、设曲线弧由参数方程

给出其中

在

上连续，则该曲线弧的长度为

。

（Ⅲ）设曲线弧的极坐标方程为

，其中

在

上连续，则该曲线弧的长度为

。

例如：

求曲线

从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。

解：

，于是弧长微元为

，

。

所以，所求弧长为：

。

_参考文献_

华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京:

人民教育出版社,1982:

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（1）.

Michael2．tiyah，Mathematicsinthe20thCentury，AdvancedinMathematics[J]，2004，33

（1）：

26～40，

致谢

本论文是在指导教师刘育兴教授的悉心指导下完成的，刘育兴教授从论文选题、课题进行直到论文成稿等都倾注了大量的心血。

刘育兴教授严谨的治学精神和对学术的追求，是本人应在今后的学习和工作中要努力学习的。

在这里，谨表示我对导师刘育兴教授深深的谢意。

此外，本论文最终得到胜利完成，也是与我们学院的老师们、我的同学们的帮助是分不开的，虽然他们没有直接参与我的毕业论文的指导，但是他们在我完成本论文中给我提供了不少的资料和意见。

也正是由于学院老师的严谨监督指导和同学们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑。

在此，我向所有指导过我的老师、帮助过我的老师、同学们和一直关心支持着我的家人，对他们表示最真诚的感谢。

最后，我再次向我百忙之中评阅本论文的答辩委员会的各位老师致以最诚挚的谢意！