四川省成都市龙泉驿区第一中学校届高三二诊模拟考试数学理试题附答案.docx
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四川省成都市龙泉驿区第一中学校届高三二诊模拟考试数学理试题附答案
成都龙泉中学2015级高三下学期“二诊”模拟考试试题
数学（理工类）
（考试用时：
120分全卷满分：
150分）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：
用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的作答：
先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则的子集的个数是：
（）
A．4B．3C．2D．1
2.已知为单位向量，且与垂直，则的夹角为（）
A.B.C.D.
3．若等差数列满足，则的前2016项之和（）
A．1506B．1508C．1510D．1512
4.给出下列四个命题：
“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；
“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是
若命题，则；
命题“，使得”的否定是：
“均有”.
其中不正确的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
5.如图，已知平行四边形中，，，为线段的中点，，则（）
A.B.2C.D.1
6．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0则（ ）
A．f（a）+f（b）≤0B．f（a）+f（b）≥0
C．f（a）﹣f（b）≤0D．f（a）﹣f（b）≥0
7.定义矩阵，若，则（）
A.图象关于中心对称B.图象关于直线对称
C.在区间上单调递增D.周期为的奇函数
8.如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为（）
A．17B．16C．15D．14
9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？
”其意思为：
“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？
”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（）
A.B.C.D.
10.已知函数，若，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
11.已知，，则曲线为椭圆的概率是（）
A.B.C.D.
12.已知定义在上的函数与其导函数满足，若，则点所在区域的面积为（）
A.12B.6C.18D.9
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22～23题为选做题，考生根据要求作答。
二、填空题：
本题共4题，每小题5分，共20分
13.已知抛物线的准线方程为，则实数a的值为.
14.设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最小值为.
15．在区间上随机地取两个数，则事件“”发生的概率为．
16.已知数列与满足，若的前项和为且对一切恒成立，则实数的取值范围是.
三、解答题:
（本题包括6小题，共70分。
要求写出证明过程或演算步骤）
17．（本题满分为12分）
在△ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，，△ABC的面积为．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求cos（B﹣C）的值．
18.（本小题满分12分）
时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过2天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足1天的部分按1天计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过2天还车的概率分别为；2天以上且不超过3天还车的概率分别；两人租车时间都不会超过4天．
（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图1，在矩形ABCD中，，点分别
在边上，且，交于点．现将沿折起，
使得平面平面，得到图2．
（Ⅰ）在图2中，求证：
；
（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为．
20.（本小题满分12分）
椭圆：
的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：
以线段为直径的圆恒过定点．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）若在处取极值，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，若有唯一的零点，求
注表示不超过的最大整数，如
参考数据：
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
作答时请写清题号，本小题满分10分。
22.（本小题满分10分）选修44：
坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；
（Ⅱ）若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标．
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数．
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）在
（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围．
成都龙泉中学2015级高三下学期“二诊”模拟考试试题
数学（理工类）参考答案
1—5ACDCD6—10BCBBA11—12DA
13
14.
15.【解析】在区间上随机地取两个数、构成的区域的面积为1，事件“”发生构成的区域的面积为，所以所求概率为．
16.【解析】依题设，当时，；
当时，，
又∵当时，，∴.∴.
∴等价于，
即，∴对一切恒成立，
令，则
，∴当时，，
当时，，∴当或时，取得最大值，
∴，∴，∴.
17．解：
（Ⅰ）∵，△ABC的面积为=absinC=×sin，解得：
a=5，
∴由余弦定理可得：
c===7…6分
（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：
cosB===，
又∵B∈（0，π），可得：
sinB==，
∴cos（B﹣C）=cosBcos+sinBsin=×+=…12分
18．【答案】
（1）；
（2）分布列见解析，．
【解析】
（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，
当乙租车2天内时，则甲租车3或4天，其概率为；
当乙租车3天时，则甲租车4天，其概率为；
则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为．．．．．．．．．．．．5分
（2）设甲，乙两个所付的费用之和为可为600，700，800，900，1000，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
．．．．．8分
故的分布列为
600
700
800
900
1000
．．．10分
故的期望为．．．12
19.解：
（Ⅰ）∵在矩形中，,,
∴，∴即.
∴在图2中，，.
又∵平面平面，平面平面，
∴平面，∴，
依题意，∥且，∴四边形为平行四边形.
∴∥,∴，又∵，
∴平面，又∵平面，∴.
（Ⅱ）如图1，在中，，，
∵∥，，∴.
如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则
，，，，
∴，，，
∵，∴平面，
∴为平面的法向量.
设，则，
设为平面的法向量，则
即，可取，
依题意，有，
整理得，即，∴，
∴当点在线段的四等分点且时，满足题意．
20．解：
（1）解：
，又，联立解得：
，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）证明：
设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，
联立得．
，
整理得：
，故，
又，（分别为直线PA，PB的斜率），
所以，
所以直线PB的方程为：
，
联立得，
所以以ST为直径的圆的方程为：
，
令，解得：
，
所以以线段ST为直径的圆恒过定点．
21．解：
（1）…………4分
（2）
令，则
由，可得
在上单调递减，在上单调递增
由于，故时，
又，故在上有唯一零点，设为，
从而可知在上单调递减，在上单调递增
由于有唯一零点，故且…………8分
又......
令，可知在上单调递增
由于，，
故方程的唯一零点，故…………12分
22.解：
（Ⅰ）直线l经过定点，----2分
由得，
得曲线的普通方程为，化简得；---5分
（Ⅱ）若，得，的普通方程为，---------6分
则直线的极坐标方程为，-----8分
联立曲线：
．
得，取，得，所以直线l与曲线的交点为．---10分
23.【解析】（Ⅰ）由得，,
∴,即,∴,∴.
（Ⅱ）由
（1）知,令,
则，∴的最小值为，
∴实数的取值范围是.
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