多项式的加法与乘法.docx
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多项式的加法与乘法
多项式的加法与乘法
1、课题内容和要求
给定两个多项式，用程序实现这两个多项式的相加和相乘。
（可以利用单链表法实现）
例如给定多项式x+3x2-4x3+5x4和多项式x2+3x3-4x4。
2、需求分析
整个程序中有两个大类，项结点的Term类和多项式的polynominal的类。
Term类用以存放项结点，polynominal类用以构建多项式的每一项。
而在进行多项式的加法和乘法时要进行多次的插入和删除操作，因此采用线性表的链接存储。
主要的实现函数有多项式类的输入输出函数，多项式的相加函数，多项式的相乘函数，几个友元函数。
而多项式类的构造函数和析构函数也是必不可少的。
最后加上主函数即能完成课题内容和要求。
3、概要设计
先定义链表类型结点和一元多项式，然后申明各个功能函数，并编写功能函数的算法，然后定义一个主函数，用于调用各个功能函数。
其中输入输出函数由链表进行存储。
其系统结构如图所示：
一元多项式的创建流程图如下：
N
Y
（1）一元多项式的创建流程图
（2）多项式相加流程图
（3）多项式的相乘流程图
四、详细设计
在定义多项式类polynominal之前，首先构建一个项结点的c++类Term，用以存放系数coef和指数exp。
具体实现代码如下：
classTerm
{public:
Term（intc,inte）;
Term（intc,inte,Term*nxt）;
Term*InsertAfter（intc,inte）;//在this指针指示的结点后插入新结点
private:
intcoef;
intexp;
Term*link;
friendostream&operator<<（ostream&,constTerm&）;//重载"<<"，输出多项式的一项
friendclassPolynominal;
};
Term:
:
Term（intc,inte）:
coef（c）,exp（e）
{link=0;
}
Term:
:
Term（intc,inte,Term*nxt）:
coef（c）,exp（e）
{link=nxt;
}
Term*Term:
:
InsertAfter（intc,inte）
{link=newTerm（c,e,link）;//为新项申请结点的存储单元，并用Term函数将
returnlink;//c,e和this->link的值填入新结点的相应域
}
其中公有成员函数InsertAfter的功能是建立一个新的项结点，系数为c,指数为e，并将新结点插入调用该函数项结点及其后继结点之间。
执行过程如下：
在图a所示的链表中，调用q1->InsertAfter（3,14）。
函数InsertAfter将执行第一条语句link=newTerm（c,e,link）。
该语句中有两处link没有明确指定是哪个结点的link域，那么他们就是this指针指向的link域。
由于是q1调用的InsertAfter，按c++语法，this就是q1,link域就是q1指向的结点的link域，因此可以将语句link=newTerm（c,e,link）看成是q1->link=newTerm（c,e,q1->link）。
先将执行该语句赋值号右边newTerm（c,e,q1->link），即先申请新项结点的存储单元（如图b所示），然后调用Term类的三个参数的构造函数Term（intc,inte,Term*next）,将c、e和q1->link的值分别赋给新相结点的coef、exp和link域（如图c所示），最后执行赋值，即将新项结点的地址赋值给q1的link域，最终结果（如图d所示）。
qx
-
此时通过重载运算符“<<”实现一个项结点的输出。
输出时，用coefX^exp形式表示coefxexp
例如，用-4x^2表示-4x2
下面还要构建多项式的c++类。
具体代码如下：
classPolynominal
{public:
Polynominal（）;
Polynominal&operator=（Polynominal&）;
voidAddTerms（istream&in）;//输入多项式的各项，构造多项式链表
voidOutput（ostream&out）const;//将多项式送输出流
voidPolyAdd（Polynominal&r）;//多项式相加
voidPolyMul（Polynominal&r1,Term*r2）;
voidPolyMul（Polynominal&r1,Polynominal&r2）;//多项式相乘
private:
Term*theList;//单循环链表的表头指针
voidClear（）;
friendostream&operator<<（ostream&,constPolynominal&）;
friendistream&operator>>（istream&,Polynominal&）;
friendPolynominal&operator+（Polynominal&,Polynominal&）;
friendPolynominaloperator*（Polynominal&,Polynominal&）;
};
上述程序中给出了多项式类Polynominal的定义，其中包括3个公有函数成员：
AddTerm、Output和PolyAdd。
AddTerms函数通过输入流in，输入多项式的各项构造一个多项式的单循环链表；Output函数将多项式按降幂方式送输出流；PolyAdd函数将多项式r加到指针this指示的多项式上。
可以通过重载运算符“<<”,”>>”和“+”，并将它们定义为多项式类的友元函数的方法，使之更符合输入输出和多项式运算的书写习惯。
既然已经有了我们需要的两大类，现在就可以编写相应的具体实现函数，来实现我们需要的功能。
当然首先需要的是多项式类的构造和析构函数。
具体代码如下：
Polynominal:
:
Polynominal（）//创建多项式的空的单循环链表
{theList=newTerm（0,-1）;//分配表头结点的存储单元
theList->link=theList;//构成循环链表
}
voidPolynominal:
:
Clear（）//撤销多项式的单循环链表
{
Term*p=theList->link;
while（p!
=theList）
{theList->link=p->link;//删除p结点
deletep;//释放p之存储空间
p=theList->link;//p指向下1个待删除结点
}
}
有了上述条件现在就可以建立多项式的输入输出函数，具体代码如下：
voidPolynominal:
:
AddTerms（istream&in）//按降幂输入各项，构造单循环链表
{Term*q=theList;
intc,e;
for（;;）
{cout<<"按降幂输入多项式的系数和指数（exp，coef）以（0，0）结尾。
"<cin>>c>>e;
if（c==0&&e==0）break;//当输入的指数小于0时，构造过程结束
q=q->InsertAfter（c,e）;//将c,e插入表尾结点q之后
}
}
voidPolynominal:
:
Output（ostream&out）const
{intfirst=1;Term*p=theList->link;
for（;p!
=theList;p=p->link）
{if（!
first&&（p->coef>0））out<<"+";//在非第一项的正系数前输出+号
first=0;
out<<*p;//调用Term类上重载的"<<"操作
}
cout<}
AddTerms函数从输入流in按降幂输入各项（c,e）来构造多项式的单循环链表，当输入（0，1）时构造结束。
Output函数遍历单循环链表将多项式按降幂方式送输出流，它调用项类Term上重载的“<<”操作符实现按项输出。
当上述所有的基础功能模块都完成时，我们就可以着手开始编写最重要的函数代码，多项式的相加和相乘函数了。
首先来分析下多项式相加的算法。
设有多项式p（x）和q（x）,分别用单循环链表表示。
现将两个多项式相加，结果仍称为q（x）,p（x）不变，即实现q（x）<-q（x）+p（x）。
设p和q分别指向多项式p（x）,q（x）的当前正进行比较的项结点，初始时分别指向两多项式中最高次幂的项结点。
q1指向q的前驱结点。
对p（x）进行遍历，根据指针p,q的exp域的大小情况做相应处理实现加法运算。
多项式相加的算法步骤如下：
（1）若p->expexp，则q指示的项应该成为结果多项式中的一项，所以q1和q向右移一项，指针p不动。
（2）若p->exp==q->exp，则系数相加，即q->coef=q->coef+p->coef。
如果q->coef不为零，则指针q1和q均右移一个节点，否则从q（x）中删除q指示的结点，指针p右移一项。
（3）若p->exp>q->exp,则复制p指向的结点，并将其插入在q1之后，指针p右移一项。
重复上述处理，直到p（x）中全部结点都处理完。
下面给出多项式的相加函数：
//程序2.10多项式相加函数
voidPolynominal:
:
PolyAdd（Polynominal&r）
{//将多项式r加到多项式this上
Term*q,*q1=theList,*p;//q1指向表头结点
p=r.theList->link;//p指向第一个要处理的结点
q=q1->link;//q1是q的前驱，p和q就指向两个当前进行比较的项
while（p->exp>=0）//对r的单循环链表遍历,直到全部结点都处理完
{while（p->expexp）//跳过q->exp大的项
{q1=q;q=q->link;
}
if（p->exp==q->exp）//当指数相等时，系数相加
{q->coef=q->coef+p->coef;
if（q->coef==0）//若相加后系数为0，则删除q
{q1->link=q->link;delete（q）;
q=q1->link;//重置q指针
}
else
{q1=q;q=q->link;//若相加后系数不为0，则移动q1和q
}
}
else//p->exp>q->exp的情况
q1=q1->InsertAfter（p->coef,p->exp）;//以p的系数和指数生成新结点，插入q1
p=p->link;
}
}
voidPolynominal:
:
PolyMul（Polynominal&r1,Term*r2）
{Term*p=r1.theList->link,*q=theList;
while（p->exp>=0）
{q=q->InsertAfter（p->coef*r2->coef,p->exp+r2->exp）;
p=p->link;
}
}
voidPolynominal:
:
PolyMul（Polynominal&r1,Polynominal&r2）
{Polynominalpoly;
Term*p=r2.theList->link;
while（p->exp>=0）
{poly.PolyMul（r1,p）;
PolyAdd（poly）;
poly.Clear（）;
p=p->link;
}
}
多项式相加函数完成后，我们来看看多项式相乘函数：
voidPolynominal:
:
PolyMul（Polynominal&r1,Term*r2）
{Term*p=r1.theList->link,*q=theList;
while（p->exp>=0）
{q=q->InsertAfter（p->coef*r2->coef,p->exp+r2->exp）;
p=p->link;
}
}
voidPolynominal:
:
PolyMul（Polynominal&r1,Polynominal&r2）
{Polynominalpoly;
Term*p=r2.theList->link;
while（p->exp>=0）
{poly.PolyMul（r1,p）;
PolyAdd（poly）;
poly.Clear（）;
p=p->link;
}
}
然后给出几个友元函数：
//程序2.11多项式C++类的几个友员函数。
ostream&operator<<（ostream&out,constPolynominal&x）
{x.Output（out）;
returnout;
}
istream&operator>>（istream&in,Polynominal&x）
{x.AddTerms（in）;
returnin;
}
Polynominal&operator+（Polynominal&a,Polynominal&b）
{a.PolyAdd（b）;
returna;
}
Polynominaloperator*（Polynominal&a,Polynominal&b）
{Polynominalr;
r.PolyMul（a,b）;
returnr;
}
最后给出主函数：
voidmain（）
{
Polynominalp,q,q1;
cin>>p;cout<<"p="<cin>>q;cout<<"q="<q1=q;
q=q+p;
cout<<"q2=p+q="<q1=q1*p;
cout<<"q1=q1*p="<}
5、测试数据及其结果分析
测试用例为：
多项式x+3x2-4x3+5x4和多项式x2+3x3-4x4
图示为输入第一个多项式p：
x+3x2-4x3+5x4
图示为输入第二个多项式并计算出结果。
六、调试过程中的问题
出现的问题有很多，现在只截取一个简单的且具有代表性的问题如图所示：
这个问题是众多小问题的一个代表，告诫我，以后要在编程中细心，不仅需要注意算法，同时也要注意细节。
七、程序设计总结
虽然多项式的加法和乘法运算这个程序不是很难，尤其在自己已经刚刚学过了数据结构单链表部分后，但在两个星期的编程中自己仍碰到了不少问题，暴漏了自己在编程中的不足，导致很多问题都要求助网络或同学。
由此坚定了我以后要踏踏实实学好编程，注重算法，更注重细节的准则。
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