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寄宿家庭安排方案建模论文
寄宿家庭安排方案
目录
摘要2
一．问题重述3
二．问题分析3
三．模型假设3
四．符号说明4
五．简单人员分配方案4
5.1以寄宿中心便于管理为目的的模型建立与求解4
5.1.1问题分析及模型建立4
5.1.2模型求解5
5.2以增多团队人员锻炼口语时间为目的的分配方案建立6
六．最优化支出的寄宿方案7
6.1问题分析7
6.2模型建立7
6.3模型求解8
6.4结果修正9
七．10个团队最优支出分配方案10
7.1问题分析10
7.2结果10
八．模型的评价、改进及推广10
8.1模型的评价10
8.2模型的改进及推广11
九．参考文献11
附录12
摘要
通过对问题的分析，基本可以确定该问题为整数规划问题，围绕不同的题设我们建立了不同的目标函数与约束条件，使用lingo编程求解，最后对结果进行改进与微调得到最优分配方案。
对于问题一，题目并没有给出明确的优化方向，结果必然是多种多样的。
我们可以从寄宿中心便于管理方向出发，将寄宿人员分配到更少的家庭。
但如果从寄宿人员要有更多的时间和寄宿家庭交流，锻炼口语，我们又可以将寄宿人员分配到更多的家庭。
于是我们考虑使家庭数最少与最多两个方向建立整数规划模型。
为使模型简化，在分配时暂不考虑性别因素，在床位分配好后再将性别考虑在内，做具体分配。
利用Lingo软件编程求解，得到最少家庭数为20个，最多的家庭数为30个。
在问题二中，首先将所有家庭分为三类：
1）对入住学生性别无要求的；2）要求男生入住的；3）要求女生入住的。
对每类的每个家庭都设立一个相应变量。
我们建立的成本函数包括三个部分：
1）固定的每人100美元寄宿费；2）每使用一个房间上税50美元；3）如果使用的房间有空床则每床支付20美元。
约束条件包括：
1）男女不能混住；2）每个家庭分配的学生数不多于他们所提供的床位数；3）分配给要求男生入住家庭的学生数不大于提供的床位总数与实际男生数两者中的较小者。
女生类也有这一要求，模型的优化目标是成本支出最少。
在求解时我们先不考虑男女问题，得出支出最少方案。
由于此时无论怎么安排支出都不再变化，所以我们可以按照男女不能混住的原则，先安排完明确要求入住学生性别的家庭，后安排对性别无要求的家庭就可以得到合适分配方案，对结果进行修正后得到最优方案。
Lingo得到的最优解为：
8110美元，经过修正后的结果为：
8000美元。
对于问题三，我们建立目标函数与约束函数的原理、形式均与问题二的相似，变量由30个增加到了200个。
最后在得到支出最少的方案约束下安排学生，安排的原则除问题二中的基本原则外，还需注意同一团队的学生应安排到一起。
得到的最少支出为：
64050美元。
由于学生除性别、团队信息外是可以不加区分的，若有两个家庭都提供3个床位，且都要求男生入住，则它们也是可以不加区分的。
所以对于学生、家庭、主办方三者来说都有多种选择方案，但各个方案的成本是相同的，因此在下面的讨论中我们不追求唯一的方案，也不列出所有的可行方案。
对于此次建立的模型，我们提出了一些合理性的假设，使模型简化，所建立的整数规划模型，有明确的优化目标，使用Lingo软件可以很方便的解决。
关键词：
寄宿安排非线性整数规划Lingo成本优化结果修正
一．问题重述
在暑期，北京“常青藤”文化旅行社国际部将与美国HomestayCenter联合开展一个美国文化之旅的夏令营活动，让学生们通过本次夏令营走进美国寄宿家庭，亲身体验美国本土生活，感受美国社会经济文化。
本文需针对寄宿家庭和参加夏令营的人员供求关系做相关的研究工作，从而建立相关优化模型为寄宿中心做出寄宿家庭接收学生的方案，并达到节省资金的目的。
而建立该模型我们要综合各方面的因素才能使模型合理化。
二．问题分析
对于该规划问题，一定数量的学生可以有多种不同的分配方案，按照不同的题设要求可以建立不同的目标函数与约束函数，但其本质都是整数规划问题。
在本题中我们首先构建成本函数，包括三个部分：
1）每个学生固定的寄宿费100美元/人；2）安排有学生的家庭以家庭为单位上缴的税费50美元/户；3）如果住有学生的家庭有空床，则每床收20美元的空床费。
问题二要求总的支出最少，问题三要求费用最少的同时保障同一个团队的学生住到一起，两者都必须避免男女混住。
针对问题二和三的费用目标函数是相同的，在求解问题时，我们可以先把所有家庭按对入住学生的性别要求分为三类，每一类的每一个家庭都设立一个相应变量，求解时先不考虑男女与团队问题，求出费用最少的分配方案。
这时，只要按照以上方案进行分配成本都不再变化，此时我们再考虑男女与团队问题，按照男女不能混住的原则，先安排完明确要求入住学生性别的家庭，后安排对性别无要求的家庭可得到问题二的最优分配方案。
若同时把来自相同团队的学生安排到同一个家庭，就可以得到问题三的分配方案。
由于安排的不同学生所需成本是相同的，则对于学生、家庭、主办方三者来说都有不同的方案。
但各个方案的成本是相同的，因此在下面的讨论中我们不追求唯一的方案，也不列出所有可行方案。
三．模型假设
1、学生除性别、团队信息外不再加以区分，团队除团队号外不加以区分，家庭除ID、床位数、性别要求外不加以区分；
2、不考虑学生、家庭、团队在夏利营活动中的各种变故导致的成本、方案变化；
3、不考虑学生、家庭、团队的特殊要求，如有残疾学生等。
四．符号说明
符号
解释说明
第
家对性别没有要求的家庭拥有的床位数
第
家性别要求为男性的家庭拥有的床位数
第
家性别要求为女性的家庭拥有的床位数
第
家对性别没有要求的家庭入住人数
第
家性别要求为男性的家庭入住人数
第
家性别要求为女性的家庭入住人数
所有性别要求为男性的家庭拥有的总床位数
所有性别要求为女性的家庭拥有的总床位数
该团队总的男性数
该团队总的女性数
该团队总人数
取
和
中的较小者
取
和
中的较小者
五．简单人员分配方案
5.1以寄宿中心便于管理为目的的模型建立与求解
5.1.1问题分析及模型建立
通过统计在ID为1～30的家庭对寄宿学生无性别要求的有16家，要求只住男生的有6家，要求只住女生的有8家，对此我们先对这些不同要求的家庭分类编号（见附录一）。
考虑到要使寄宿中心便于管理，以及减轻日后的回访工作量，我们可以将该团队70人分配到更少的家庭，以此作为模型的优化目标（为表示有多少家庭住人，我们用
/（
+0.0001）表示，即只要
不等于0，则表示该家庭有住人，计数为1，最后只要求和最小，便表示入住家庭最少）。
为使模型简化，在分配时暂不考虑性别因素，在床位分配好后在将性别考虑在内，再做具体分配。
建立模型为：
模型一：
其中:
ai表示第
家对性别没有要求的家庭拥有的床位数；
bj表示第
家性别要求为男性的家庭拥有的床位数；
ck表示第
家性别要求为女性的家庭拥有的床位数；
Ai表示第
家对性别没有要求的家庭入住人数；
Bj表示第
家性别要求为男性的家庭入住人数；
Ck表示第
家性别要求为女性的家庭入住人数；
b表示所有性别要求为男性的家庭拥有的总床位数；
c表示所有性别要求为女性的家庭拥有的总床位数；
M表示该团队总的男性数；
F表示该团队总的女性数；
Z表示该团队总人数；
5.1.2模型求解
使用Lingo软件编程求解（程序见附录四）：
得到结果之后按照男女不能混住的原则，先安排完明确要求男或女入住的家庭，其他人可安排到对性别没有要求的家庭入住分配方案为：
表1以寄宿中心便于管理为目的分配方案表
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
1
3
0
0
16
5
2
5
2
2
3
0
3
1
17
1
2
0
3
4
2
4
2
18
3
0
3
2
4
3
1
3
1
19
3
0
3
2
5
4
1
4
1
20
2
0
0
6
3
1
0
21
4
2
4
2
7
3
2
3
2
22
2
0
0
8
4
1
4
1
23
1
0
0
9
3
0
3
1
24
4
0
4
2
10
3
0
1
2
25
1
0
0
11
4
0
4
1
26
4
1
4
1
12
3
0
3
27
5
1
5
1
13
3
2
3
2
28
4
2
4
2
14
2
2
0
29
3
0
3
2
15
2
0
0
30
1
0
0
入住家庭数为：
20
5.2以增多团队人员锻炼口语时间为目的的分配方案建立
在5.1中，我们是以方便寄宿中心出发，但若从寄宿人员方向出发，为使得团队人员可以得到更多的锻炼口语以及了解美国文化的时间，我们可以将成员分配到更多的家庭，并且保证每个家庭分到的成员尽量少。
通过统计，共有30个家庭提供寄宿服务，该团队共有70人，男生30人，女生40人。
要使成员分配到更多的家庭，便要将这30个家庭全部分配寄宿人员，同时保证每个家庭分到的成员尽量少即可，此方法有很多分配方案，我们给出其中一种，作为参考：
表2以增多团队人员锻炼口语时间为目的的分配方案表
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
1
3
0
2
1
16
5
2
2
3
2
3
0
2
1
17
1
2
1
2
3
4
2
2
3
18
3
0
3
2
4
3
1
2
1
19
3
0
3
2
5
4
1
3
1
20
2
0
2
2
6
3
1
2
1
21
4
2
2
3
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
7
3
2
2
2
22
2
0
2
2
8
4
1
3
1
23
1
0
2
2
9
3
0
2
1
24
4
0
3
2
10
3
0
2
1
25
1
0
2
2
11
4
0
3
1
26
4
1
2
1
12
3
0
2
1
27
5
1
3
1
13
3
2
2
2
28
4
2
2
3
14
2
2
2
2
29
3
0
2
2
15
2
0
2
1
30
1
0
2
2
六．最优化支出的寄宿方案
6.1问题分析
在问题二中，我们的目标是求出成本最少并且满足一定约束的分配方案，由于人是不可分割的整体，所以将该问题归结为非线性整数规划问题。
为了方便讨论，我们将所有家庭分为三类：
要求男生入住的；要求女生入住的；对性别无要求的。
首先不考虑男女性别，建立整数规划模型求出成本最少的分配方案。
然后，由于在以上成本最少的分配方案中无论怎么安排入住人员成本支出都不再变化，所以这时只需考虑男女分配分配就可以了。
按照男女不能混住的原则，先安排完明确要求男或女入住的家庭，其他人可安排到对性别没有要求的家庭入住。
6.2模型建立
将30个家庭分为三类（见附录一）A、B、C，按ID排序。
成本函数中包括固定的每人100美元，共7000美元；每使用一个房间上税50美元；如果使用的房间有空床则每床支付20美元。
约束包括：
每个家庭分配的人数不大于他们所要求的人数；B类家庭分配的总人数不大于他们提供的床位数之和与男生人数中较小的那个；C类家庭分配的总人数不大于他们提供的床位数之和与女生人数中较小的那个。
据此建立模型如下：
模型二：
其中:
ai表示第
家对性别没有要求的家庭拥有的床位数；
bj表示第
家性别要求为男性的家庭拥有的床位数；
ck表示第
家性别要求为女性的家庭拥有的床位数；
Ai表示第
家对性别没有要求的家庭入住人数；
Bj表示第
家性别要求为男性的家庭入住人数；
Ck表示第
家性别要求为女性的家庭入住人数；
b表示所有性别要求为男性的家庭拥有的总床位数；
c表示所有性别要求为女性的家庭拥有的总床位数；
M表示该团队总的男性数；
F表示该团队总的女性数；
Z表示该团队总人数；
6.3模型求解
该问题是一个30变量的非线性整数规划问题，可以使用Lingo来求解（见附录五）。
得到结果之后按照男女不能混住的原则，先安排完明确要求男或女入住的家庭，其他人可安排到对性别没有要求的家庭入住。
结果如下表：
表3最优化支出寄宿方案
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
1
3
0
3
2
16
5
2
0
2
3
0
3
2
17
1
2
0
3
4
2
4
2
18
3
0
3
2
4
3
1
3
1
19
3
0
3
2
5
4
1
4
1
20
2
0
0
6
3
1
3
1
21
4
2
4
2
7
3
2
3
2
22
2
0
0
8
4
1
4
1
23
1
0
0
9
3
0
3
2
24
4
0
4
2
10
3
0
3
1
25
1
0
0
11
4
0
4
1
26
4
1
4
1
12
3
0
3
1
27
5
1
2
1
13
3
2
3
2
28
4
2
4
2
14
2
2
0
29
3
0
3
2
15
2
0
0
30
1
0
0
6.4结果修正
由于软件的求解方法与环境等原因，发现得出的结果还可以进一步改进，比如结果中三个家庭（均有三个床位）都住满了，则可以把9个学生安排到另外两个有4个和5个床位的家庭中，这样就可以节省50美元；又比如原来住可以5个人的却只住了2个人的家庭，可以把另一个住三个人的家庭中的学生分配过来，这样既节省了空床费又可以少缴税。
研究表格我们发现这种情况在Lingo得出的结果中是比较少见的，改进分配方案可以使成本从8110美元下降到8000美元，具体分配方案见下表：
表4改进后的寄宿方案
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
1
3
0
3
2
16
5
2
0
2
3
0
3
2
17
1
2
0
3
4
2
4
2
18
3
0
3
2
4
3
1
3
1
19
3
0
3
2
5
4
1
4
1
20
2
0
0
6
3
1
3
1
21
4
2
4
2
7
3
2
3
2
22
2
0
0
8
4
1
4
1
23
1
0
0
9
3
0
3
2
24
4
0
4
2
10
3
0
3
1
25
1
0
0
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
ID号
床位数
性别要求
安排人数
入住性别
11
4
0
4
1
26
4
1
4
1
12
3
0
0
1
27
5
1
5
1
13
3
2
3
2
28
4
2
4
2
14
2
2
0
29
3
0
3
2
15
2
0
0
30
1
0
0
七．10个团队最优支出分配方案
7.1问题分析
对于10个团队，我们可以暂不考虑团队因素，将其看作一个整体，同样按照第一问与第二问，将数据分类编号（见附录二），再按照模型一得出支出最少的最优分配。
利用lingo软件求解后，再考虑团队因素，将同一团队人员分配在同一家庭，以此得到最优分配方案。
7.2结果
利用lingo软件求解（程序见附录六），得出结果后，考虑团队因素，将同一团队人员分配在同一家庭。
得出寄宿人员分配表（附录三），最少支出为：
64050美元。
八．模型的评价、改进及推广
8.1模型的评价
对于模型一，我们是在不考虑寄宿中心花费，以方便寄宿中心管理为目标建立的。
对于这一整数规划模型，可以很方便的用lingo软件求解。
对于模型二，我们在模型一的基础上加以改进，建立了以最少花费为目的的整数规划模型，该模型简单，便于理解。
但求出的最优结果与实际有少许偏差，但经过数据修正后，结果比较理想。
这两个模型解决了简单的人员分配问题以及最优支出分配方案的问题，经过改进后，可以很方便的解决一些类似实际问题。
8.2模型的改进及推广
我们所建立的模型只能解决寄宿中心花费最少的问题，但是没有考虑到寄宿人员的一些实际问题，比如：
寄宿人员之间有互相认识的，希望住在一起。
还有一些特殊人员的安排，比如残疾人、心脏病患者等。
同时还要考虑到一些家庭对寄宿人员的一些特殊要求。
从这几个方面出发，对模型加以改进，模型将会更加完善，将会更好的解决实际问题。
九．参考文献
[1]刘琼荪，数学实验，北京：
高等教育出版社，2004年。
[2]谢金星、薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，清华大学出版社，2005年
[3]赖炎连，贺国平，最优化方法，北京：
清华大学出版社，2008年。
[4]郭科，理工数学实验，北京：
高等教育出版社，2003年
[5]施光燕，董加礼，最优化方法，高等教育出版社1999年
[6]姜启源，数学模型（第3版），北京：
高等教育出版社,1999年
[7]叶其孝，数学建模（1-4），北京：
高等教育出版社,2000年
附录
附录一（家庭分类编号表1）：
编号
ID
床位数
性别要求
编号
ID
床位数
性别要求
a1
1
3
0
a16
30
1
0
a2
2
3
0
b1
4
3
1
a3
9
3
0
b2
5
4
1
a4
10
3
0
b3
6
3
1
a5
11
4
0
b4
8
4
1
a6
12
3
0
b5
26
4
1
a7
15
2
0
b6
27
5
1
a8
18
3
0
c1
3
4
2
a9
19
3
0
c2
7
3
2
a10
20
2
0
c3
13
3
2
a11
22
2
0
c4
14
2
2
a12
23
1
0
c5
16
5
2
a13
24
4
0
c6
17
1
2
a14
25
1
0
c7
21
4
2
a15
29
3
0
c8
28
4
2
附录二（家庭分类编号表2）：
编号
ID
床位数
性别要求
编号
ID
床位数
性别要求
编号
ID
床位数
性别要求
a1
1
3
0
b1
4
3
1
c1
3
4
2
a2
2
3
0
b2
5
4
1
c2
7
3
2
a3
9
3
0
b3
6
3
1
c3
13
3
2
a4
10
3
0
b4
8
4
1
c4
14
2
2
a5
11
4
0
b5
26
4
1
c5
16
5
2
a6
12
3
0
b6
27
5
1
c6
17
1
2
a7
15
2
0
b7
31
2
1
c7
21
4
2
a8
18
3
0
b8
37
3
1
c8
28
4
2
a9
19
3
0
b9
39
3
1
c9
32
3
2
a10
20
2
0
b10
40
5
1
c10
34
4
2
a11
22
2
0
b11
44
2
1
c11
35
3
2
a12
23
1
0
b12
47
3
1
c12
42
3
2
a13
24
4
0
b13
50
5
1
c13
46
4
2
a14
25
1
0
b14
53
1
1
c14
48
3
2
a15
29
3
0
b15
54
2
1
c15
49
3
2
a16
30
1
0
b16
57
2
1
c16
51
3
2
a17
33
2
0
b17
60
3
1
c17
52
5
2
a18
36
5
0
b18
61
1
1
c18
55
2
2
编号
ID
床位数
性别要求
编号
ID
床位数
性别要求
编号
ID
床位数
性别要求
a19
38
3
0
b19
62
4
1
c19
56
3
2
a20
41
5
0
b20
67
4
1
c20
58
5
2
a21
43
5
0
b21
70
3
1
c21
59
2
2
a22
45
3
0
b22
71
3
1
c22
63
2
2
a23
65
2
0
b23
76
4
1
c23
64
2
2
a24
66
2
0
b24
81
5
1
c24
73
1
2
a25
68
4
0
b25
84
3
1
c25
75
5
2
a26
69
2
0
b26
86
5
1
c26
78
5
2
a27
72
5
0
b27
91
2
1
c27
79
1
2
a28
74
5
0
b28
94
1
1
c28
80
4
2
a29
77
1
0
b29
100
1
1
c29
89
2
2
a30
82
3
0
b30
103
3
1
c30
90
1
2
a31
83
4
0
b31
104
3
1
c31
96
3
2
a32
85
2
0
b32
107
2
1
c32
98
5
2
a33
87
4
0
b33
111
2
1
c33
99
4
2
a34
88
3
0
b34
112
4
1
c34
102
5
2
a35
92
3
0
b35
119
3
升级会员 