北师版七下数学 相交线与平行线单元过关.docx

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北师版七下数学相交线与平行线单元过关

相交线与平行线单元过关

【相交、平行定义概念】

1.下列说法，其中错误的有（）

①相等的两个角是对顶角；

②同一平面内，两条直线的位置关系有：

相交、平行和垂直；

③同位角相等；

④垂线段最短；

⑤若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角；

⑥过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.下列语句中：

①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线：

④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点最多可画6条直线．其中错误的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3.给出下列说法：

（1）在同一平面内，若直线a∥直线b，直线b⊥直线c，则a⊥c；

（2）不相等的两个角不是同位角；

（3）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；

（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做该点到直线的距离；

（5）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条．

其中正确的有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

4.如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（）

A．∠1与∠4是同位角B．∠2与∠3是内错角

C．∠3与∠4是同旁内角D．∠2与∠4是同旁内角

【平行、垂直基本事实】

1.在灌溉农田时，要把河（直线l表示一条河）中的水引到农田P处要开挖水渠，如果按照图示开挖会又快又省，这其中包含了什么几何原理（）

A．两点之间，线段最短

B．垂线段最短

C．两点确定一条直线

D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

2.如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（）

A．两直线相交只有一个交点

B．两点确定一条直线

C．经过一点有无数条直线

D．两点之间，线段最短

3.如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a于B，PA⊥PC，则下列语句错误的是（）

A．线段PB的长是点P到直线a的距离

B．PA，PB，PC三条线段中，PB最短

C．线段AC的长是点A到直线PC的距离

D．线段PC的长是点C到直线PA的距离

【角度计算】

1.∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）

A．直角B．锐角

C．钝角D．以上三种都有可能

2.一个角的补角比它的余角的2倍大40度，则这个角的度数为_______．

3.若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠A=_____．

4.如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥OF，OC平分∠AOE，且∠BOF=2∠BOE，则∠BOD=______．

5.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OF平分∠BOD，∠EOF=90°．若

∠1+∠2=60°，则∠3的度数为___________．

6.如图，直线AC和直线BD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠1+∠2=80°，则∠3的度数为（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

【平行线的性质与判定定理】

1.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：

①∠2=∠3；②∠3=∠4；③∠2+∠4=90°；④∠5-∠2=90°，其中正确结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.如图，下列列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）

A．∠1=∠3B．∠2=∠3

C．∠4=∠5D．∠2+∠4=180°

3.如图，下列判断中错误的是（）

A．由∠A+∠ADC=180°得到AB∥CD

B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C=180°

C．由∠1=∠2得到AD∥BC

D．由AD∥BC得到∠3=∠4

4.学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小敏画平行线的依据可以是______．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行．

5.以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）

A．如图1，展开后测得∠1=∠2

B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4

C．如图3，展开后测得∠1=∠2

D．如图4，展开后测得∠1+∠2=180°

图1图2图3图4

【平行推理及证明】

1.如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是（）

A．50°B．70°C．80°D．110°

2.如图所示，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点，则∠ABC等于_________度．

3.如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC边上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥CD，则∠B=___________．

4.把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB=32°，则下列结论正确的有（）

①∠C′EF=32°；②∠AEC=148°；③∠BGE=64°；④∠BFD=116°．

A．1个B．2个C．3个D．4个

5.将一副学生用三角板按如图所示的方式放置，若AE∥BC，则∠AFD的度数是________．

6.如图所示，将一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠α=43°，则∠β的度数是（）

A．43°B．47°C．30°D．60°

7.

（1）①如图1所示，已知AB∥CD，∠ABC=60°，根据

___________________________，可得∠BCD=_________；

②如图2所示，在①的条件下，若CM平分∠BCD，则∠BCM=______；

③如图3所示，在①②的条件下，若CN⊥CM，则∠BCN=__________．

（2）尝试解决下面的问题：

如图4所示，AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．

8.已知：

如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD，点E，F分别在AD，AB上，连接DF，且满足∠DFE=∠C，∠1+∠2=180°．求证：

∠CAB=∠DFB．

证明：

如图，

∵∠1+∠2=180°（已知），

∠DEF+∠2=180°（________________________），

∴∠1=∠DEF（________________________）．

∴FE∥BC（________________________）．

∴∠DFE=_______（________________________）．

又∵∠DFE=∠C（已知），

∴_______=_______．

∴DF∥AC．

∴∠CAB=∠DFB（________________________）．

9.完成下面推理过程：

如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，可推得AB∥CD．理由如下：

∵∠1=∠2（已知），

且∠1=∠CGD（________________________），

∴∠2=∠CGD（等量代换）．

∴CE∥BF（________________________）．

∴∠_______=∠C（________________________）．

又∵∠B=∠C（已知），

∴∠_______=∠B（等量代换）．

∴AB∥CD（________________________）．

10.如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：

CD⊥AB．

11.如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG=180°．

（1）AD与EF平行吗？

请说明理由；

（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH=∠C，则∠F与∠H相等吗，请说明理由．

【平行有关的辅助线】

1.如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）

A．25°B．20°C．15°D．无法确定

2.如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1=______．

3.如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的直角三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数为_________．

4.如图，∠1=70°，直线a平移后得到直线b，则∠2-∠3等于（）

A．70°B．80°C．90°D．110°

5.如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E=140°，则

∠BFD的度数为________．

6.如图，AB∥CD，点P，P1，P2分别在两条平行线之间，∠P=40°，∠P2=130°，若∠PAP1=

∠PAP2，∠PCP1=

∠PCP2，则∠P1的度数为（）

A．60°B．65°C．70°D．80°

【平行几何综合题（类比探究）】

1.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形探索这两个角之间的关系，并说明理由．

（1）如图1，AB∥CD，BE∥DF，猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；

（2）如图2，AB∥CD，BE∥DF，猜想∠1与∠2的关系，并说明理由；

（3）由

（1）

（2），我们可以得出结论：

一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________；

（4）应用：

两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求出这两个角的度数分别是多少度？

2.如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）①∠ABN的度数是___________；

②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠____________．

（2）求∠CBD的度数．

（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？

若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

（4）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是________．

3.课上课上教师呈现一个问题：

已知：

如图1，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数．

甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图：

甲同学辅助线的做法和分析思路如下：

辅助线：

过点F作MN∥CD．

分析思路：

①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数之和；

②由辅助线作图可知，∠2=∠1，从而由已知∠1的度数可得∠2的度数；

③由AB∥CD，MN∥CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；

④由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；

⑤从而可求∠EFG的度数．

（1）请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出相应的分析思路．

（2）请你根据丙同学所画的图形，求∠EFG的度数．

4.课题学习：

平行线的“等角转化”功能．阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程．

解：

过点A作ED∥BC，所以∠B=∠EAB，∠C=________．

又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°．

所以∠B+∠BAC+∠C=180°．

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：

过点C作CF∥AB）

深化拓展：

（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=70°，点B在点A的左侧，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．求∠BED的度数．

5.已知直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点E，F．

（1）如图1，若∠1=60°，求∠2，∠3的度数．

（2）若点P是平面内的一个动点，连接PE，PF，探索∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系．

①当点P在图2的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD．请阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）．

证明：

如图2，过点P作MN∥AB

则∠EPM=∠PEB（_________________________）

∵AB∥CD（已知）

MN∥AB（已作）

∴MN∥CD（_________________________）

∴∠MPF=∠PFD（_________________________）

∴_______________=∠PEB+∠PFD（等式的性质）

即∠EPF=∠PEB+∠PFD

②拓展应用：

当点P在图3的位置时，此时∠EPF=80°，∠PEB=156°，则

∠PFD=__________．

③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF，∠PEB，∠PFD三个角之间的关系．

6.问题情境：

如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC度数．小明的思路是：

如图2，过P作PE平行AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．

问题迁移：

（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？

请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系．

7.如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB=30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．

（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，

∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？

并说明理由．

（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE=140°．

①当旋转时间t=_____秒时，边AB所在的直线与OC平行．

②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？

若存在，请求出所有满足题意的t的取值；若不存在，请说明理由．

③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求

∠AOC-∠BOE的值．