高一物理学案步步高必修2全书学案第四章 5 课时1.docx
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高一物理学案步步高必修2全书学案第四章5课时1
5 机械能守恒定律
课时1 机械能守恒定律
[学习目标] 1.知道机械能的概念，理解物体的动能和势能是可以相互转化的.2.会推导机械能守恒定律.3.理解机械能守恒定律的内容和守恒条件.4.会用机械能守恒定律解决问题．
一、动能和势能的转化
1．机械能：
重力势能、弹性势能和动能的总称．
2．动能和势能的转化
物体从高处向低处运动（如自行车在没有蹬车的情况下下坡）时，重力势能减少，动能增加．物体的重力势能转化为动能．
物体从低处向高处运动（如自行车在没有蹬车的情况下上坡）时，重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能．
二、机械能守恒定律
1．内容：
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．表达式：
Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2.
1．判断下列说法的正误．
（1）通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化．（√）
（2）弹性势能发生了改变，一定有弹力做功．（√）
（3）机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用．（×）
（4）合力为零，物体的机械能一定守恒．（×）
（5）合力做功为零，物体的机械能保持不变．（×）
（6）只有重力做功时，物体的机械能一定守恒．（√）
2.如图1所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高为H处自由落下，不计空气阻力，重力加速度为g，设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为________．
图1
答案 mgH
一、动能与势能的相互转化
1.如图2所示，物体沿光滑斜面下滑，物体的重力势能如何变化，动能如何变化？
当物体以某一初速度沿着光滑斜面上滑时，物体的重力势能如何变化，动能如何变化？
图2
答案 下滑时，物体的高度降低了，重力势能减少．物体的速度增大了，即物体的动能增加；上滑时，物体的重力势能增加，动能减少．
2.如图3所示，在光滑水平面上，被压缩的弹簧恢复原来形状的过程，弹性势能如何变化？
物体的动能如何变化？
当物体以某一初速度压缩弹簧时，弹性势能如何变化，物体的动能如何变化？
图3
答案 被压缩的弹簧恢复原来形状的过程，弹性势能减少，物体的动能增加；当物体压缩弹簧时，弹性势能增加，物体的动能减少．
1．重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能，若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能．
2．弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能．
例1
如图4所示，小球自a点由静止自由下落，到b点时与竖直弹簧接触，到c点时弹簧压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，弹簧始终在弹性限度内，在小球由a→b→c的过程中（ ）
图4
A．小球在b点时动能最大
B．小球的重力势能随时间均匀减少
C．小球减少的重力势能全部转化为小球的动能
D．到c点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
答案 D
解析 小球下落到与弹簧接触后，受重力和向上的弹力作用，然后是弹力等于重力，最后是弹力大于重力，故小球从b到c的过程中，动能先增大后减小，故A错误．小球从a到c的过程中，重力势能一直减少，但不随时间均匀减少，故B错误．小球在a点和c点时动能为零，故小球从a到c的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，故C错误，D正确．
针对训练1 （多选）如图5所示是我们常用弹簧门的一角，依靠弹簧形变后储存的弹性势能自动将打开的门关闭，下列说法正确的是（ ）
图5
A．当我们把门打开时，人对门做的功转化为弹簧的弹性势能
B．当我们把门打开时，弹簧的弹性势能转化为门的动能
C．当我们放手后，弹簧的弹性势能转化为门的动能
D．当我们放手后，门的动能转化为弹簧的弹性势能
答案 AC
解析 当我们把门打开时，人对门做的功转化为弹簧的弹性势能；当我们放手后，弹簧的弹性势能转化为门的动能，故选项A、C正确，B、D错误．
二、机械能守恒定律
如图6所示，质量为m的物体自由下落的过程中，下落到高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面．
图6
（1）求物体在A、B处的机械能EA、EB；
（2）比较物体在A、B处的机械能的大小．
答案
（1）物体在A处的机械能EA＝mgh1＋
mv12
物体在B处的机械能EB＝mgh2＋
mv22
（2）根据动能定理WG＝
mv22－
mv12
下落过程中重力对物体做功，重力做的功等于物体重力势能的减少量，则
WG＝mgh1－mgh2
由以上两式可得：
mv22－
mv12＝mgh1－mgh2
移项得
mv12＋mgh1＝
mv22＋mgh2
由此可知物体在A、B两处的机械能相等．
1．对机械能守恒条件的理解
（1）物体只受重力，只发生动能和重力势能的相互转化，如自由落体运动、抛体运动等．
（2）只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
（3）重力和弹力都做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化，如自由下落的物体落到竖直的弹簧上和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒．
（4）除受重力或弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零．如物体在沿斜面的拉力F的作用下沿斜面运动，若拉力与摩擦力的大小相等，方向相反，则在此运动过程中，物体的机械能守恒．
2．判断机械能是否守恒的方法
（1）利用机械能的定义判断（直接判断）：
若物体动能、势能均不变，机械能不变．若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械能一定变化．
（2）用做功判断：
若物体或系统只有重力（或弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
（3）用能量转化来判断：
若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
例2
（多选）如图7所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）
图7
A．甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体机械能守恒
B．乙图中，物体在大小等于摩擦力的拉力F作用下沿斜面下滑时，物体机械能守恒
C．丙图中，物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体机械能守恒
D．丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒
答案 BD
解析 弄清楚机械能守恒的条件是分析此问题的关键．表解如下：
选项
结论
分析
A
×
物体压缩弹簧的过程中，物体所受重力和弹簧的弹力都对其做功，所以物体机械能不守恒
B
√
物体沿斜面下滑过程中，除重力做功外，其他力做功的代数和始终为零，所以物体机械能守恒
C
×
物体沿斜面匀速下滑的过程中动能不变，重力势能减小，所以物体机械能不守恒
D
√
物体沿斜面下滑过程中，只有重力对其做功，所以物体机械能守恒
【考点】机械能守恒条件的判断
【题点】单物体和地球系统的机械能守恒条件的判断
针对训练2 （多选）如图8所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中（ ）
图8
A．重物的机械能减少
B．重物与弹簧组成的系统的机械能不变
C．重物与弹簧组成的系统的机械能增加
D．重物与弹簧组成的系统的机械能减少
答案 AB
解析 重物自由摆下的过程中，弹簧拉力对重物做负功，重物的机械能减少，选项A正确；对重物与弹簧组成的系统而言，除重力、弹力外，无其他外力做功，故系统的机械能守恒，选项B正确．
【考点】机械能守恒条件的判断
【题点】多物体系统的机械能守恒的判断
三、机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
表达式
物理意义
从不同状态看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2.应用机械能守恒定律的解题步骤
（1）选取研究对象（物体或系统）．
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
（3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
（4）选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解．
例3
如图9所示为某游乐场的过山车的简化模型，竖直圆形轨道的半径为R.现有一节车厢（可视为质点），从高处由静止滑下，不计摩擦和空气阻力．
图9
（1）要使车厢通过圆形轨道的最高点，车厢开始下滑时的高度至少应多高？
（2）若车厢的质量为m，重力加速度为g，则车厢在轨道最低处时对轨道的压力是多少？
答案
（1）
R
（2）6mg
解析
（1）设车厢的质量为m，开始下滑时的高度为h，运动到圆形轨道最高点时的最小速度为v，要使车厢通过圆形轨道的最高点，应有mg≤
车厢在下滑过程中，只有重力做功，故机械能守恒，选取轨道最低点所在平面为零势能参考平面，由机械能守恒定律得
mv2＋mg·2R＝mgh
联立以上两式解得h≥
R
（2）设车厢到达轨道最低点时的速度为v′，受到的支持力为F，则由机械能守恒定律得
mv′2＝mgh
再由牛顿第二定律得F－mg＝
由以上两式解得F＝
mg＝（
＋1）mg＝6mg
由牛顿第三定律知，车厢对轨道的压力F′＝F＝6mg
【考点】单个物体机械能守恒定律的应用
【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用
针对训练3 如图10所示，质量m＝50kg的跳水运动员从距水面高h＝10m的跳台上以v0＝5m/s的速度斜向上起跳，最终落入水，若忽略运动员的身高，取g＝10m/s2.求：
图10
（1）运动员在跳台上时具有的重力势能（以水面为零势能参考平面）；
（2）运动员起跳时的动能；
（3）运动员入水时的速度大小．
答案
（1）5000J
（2）625J （3）15m/s
解析
（1）以水面为零势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为
Ep＝mgh＝5000J.
（2）运动员起跳时的速度为v0＝5m/s，
则运动员起跳时的动能为
Ek＝
mv02＝625J.
（3）解法一：
应用机械能守恒定律
运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则
mgh＋
mv02＝
mv2，
即v＝15m/s.
解法二：
应用动能定理
运动员从起跳到入水过程中，其他力不做功，只有重力做功，故合外力做的功为W合＝mgh，根据动能定理可得，mgh＝
mv2－
mv02，则v＝15m/s.
【考点】单个物体机械能守恒定律的应用
【题点】机械能守恒定律在抛体运动中的应用
1．（机械能是否守恒的判断）关于机械能守恒，下列说法正确的是（ ）
A．做自由落体运动的物体，机械能一定守恒
B．人乘电梯加速上升的过程，机械能守恒
C．物体必须在只受重力作用的情况下，机械能才守恒
D．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
答案 A
解析 做自由落体运动的物体，只受重力作用，机械能守恒，A正确；人乘电梯加速上升的过程，电梯对人的支持力做功，故人的机械能不守恒，B错误；物体只有重力做功时，其他力也可存在，当它们不做功或做功之和为0，机械能也守恒，故C错误；合外力对物体做功为零，物体的动能不变，机械能不一定守恒，D错误．
【考点】机械能守恒条件的判断
【题点】单物体和地球系统的机械能守恒条件的判断
2．（机械能守恒定律的应用）以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面（足够长）上滑，如图11所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则（ ）
图11
A．h1＝h2＞h3B．h1＝h2＜h3
C．h1＝h3＜h2D．h1＝h3＞h2
答案 D
解析 竖直上抛的物体和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒得mgh＝
mv02，所以h＝
；斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝
mv02－
mv12，所以h2＜h1＝h3，D正确．
【考点】单个物体机械能守恒定律的应用
【题点】机械能守恒定律的简单应用
3.（机械能守恒定律的应用）如图12所示，由距离地面h2＝1m的高度处以v0＝4m/s的速度斜向上抛出质量为m＝1kg的物体，当其上升的高度为h1＝0.4m时到达最高点，最终落在水平地面上，现以过抛出点的水平面为零势能面，重力加速度g＝10m/s2.不计空气阻力，则（ ）
图12
A．物体在最大高度处的重力势能为14J
B．物体在最大高度处的机械能为16J
C．物体在地面处的机械能为8J
D．物体在地面处的动能为8J
答案 C
解析 物体在最高点时具有的重力势能Ep＝mgh1＝1×10×0.4J＝4J，A错误；物体在最高点时具有的机械能等于刚抛出时的动能，即8J，B错误；物体在下落过程中，机械能守恒，任意位置的机械能都等于8J，C正确；物体落地时的动能Ek＝E－Ep＝E－mgh2＝8J－1×10×（－1）J＝18J，D错误．
【考点】单个物体机械能守恒定律的应用
【题点】机械能守恒定律的简单应用
4．（机械能守恒定律的应用）如图13所示，在竖直平面内有由
圆弧AB和
圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为
.一小球在A点正上方与A相距
处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
图13
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
答案
（1）5
（2）能
解析
（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg
①
设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg
②
由①②式得
＝5.③
（2）若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0④
设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有
N＋mg＝m
⑤
由④⑤式得：
vC应满足mg≤m
⑥
由机械能守恒定律得mg
＝
mvC2⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．
【考点】单个物体机械能守恒定律的应用
【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用
一、选择题
考点一 机械能守恒的判断
1．如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（ ）
图1
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中，A、B两小车被弹开的过程中，两小车组成的系统机械能守恒
答案 C
解析 题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，由于有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒，A错误．题图乙中拉力F做功，机械能不守恒，B错误．题图丙中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒，C正确．题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒，D错误．
2.木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起摆到一定高度，如图2所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是（ ）
图2
A．子弹的机械能守恒
B．木块的机械能守恒
C．子弹和木块的总机械能守恒
D．以上说法都不对
答案 D
解析 子弹打入木块的过程中，子弹克服摩擦力做功产生热能，故系统机械能不守恒，子弹的机械能不守恒，木块的机械能不守恒．故选D.
【考点】机械能守恒条件的判断
【题点】多物体系统的机械能守恒的判断
3．（多选）竖直放置的轻弹簧下连接一个小球，用手托起小球，使弹簧处于压缩状态，如图3所示．则迅速放手后（不计空气阻力）（ ）
图3
A．放手瞬间小球的加速度等于重力加速度
B．小球、弹簧与地球组成的系统机械能守恒
C．小球的机械能守恒
D．小球向下运动过程中，小球动能与弹簧弹性势能之和不断增大
答案 BD
解析 放手瞬间小球的加速度大于重力加速度，A错；整个系统（包括地球）的机械能守恒，但小球的机械能不守恒，B对，C错；向下运动过程中，由于重力势能减小，所以小球的动能与弹簧弹性势能之和不断增大，D正确．
【考点】机械能守恒条件的判断
【题点】多物体系统的机械能守恒的判断
考点二 机械能守恒定律的应用
4．（多选）把质量为m的石块从高h的山崖上沿与水平方向成θ角的斜向上的方向抛出（如图4所示），抛出的初速度为v0，石块落地时的速度大小与下面哪些量无关（不计空气阻力，重力加速度为g）（ ）
图4
A．石块的质量
B．石块初速度的大小
C．石块初速度的方向
D．石块抛出时的高度
答案 AC
解析 以地面为参考平面，石块运动过程中机械能守恒，则mgh＋
mv02＝
mv2
即v2＝2gh＋v02，所以v＝
由此可知，v与石块的初速度大小v0和高度h有关，而与石块的质量和初速度的方向无关．故选A、C.
【考点】单个物体机械能守恒定律的应用
【题点】机械能守恒定律在抛体运动中的应用
5．如图5所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施．管道除D点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑．若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失地连续滑入第一个、第二个圆管形管道A、B内部（管道A比管道B高）．某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过管道A内部最高点时，对管壁恰好无压力．则这名挑战者（ ）
图5
A．经过管道A最高点时的机械能大于经过管道B最低点时的机械能
B．经过管道A最高点时的动能大于经过管道B最低点时的动能
C．经过管道B最高点时对管外侧壁有压力
D．不能经过管道B的最高点
答案 C
【考点】单个物体机械能守恒定律的应用
【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用
6.如图6所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中（ ）
图6
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了
mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和始终保持不变
答案 B
解析 圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒．圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度h＝
＝
L，所以圆环重力势能减少了
mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了
mgL.故选B.
【考点】系统机械能守恒的应用
【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用
7．（多选）图7是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小，某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B处时，下列表述正确的有（ ）
图7
A．N小于滑块重力B．N大于滑块重力
C．N越大表明h越大D．N越大表明h越小
答案 BC
解析 设滑块在B点的速度大小为v，选B处所在平面为零势能面，从开始下滑到B处，由机械能守恒定律得mgh＝
mv2，在B处由牛顿第二定律得N′－mg＝m
，又根据牛顿第三定律N＝N′，因而选B、C.
【考点】单个物体机械能守恒定律的应用
【题点】机械能守恒定律的简单应用
8.如图8所示，在高1.5m的光滑平台上有一个质量为2kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为（g取10m/s2，不计空气阻力）（ ）
图8
A．10JB．15J
C．20JD．25J
答案 A
解析 由vy2－0＝2gh得：
vy＝
＝
m/s，落地时，tan60°＝
可得：
v0＝
＝
m/s，由机械能守恒定律得Ep＝
mv02，可求得：
Ep＝10J，故A正确．
9.如图9所示，用长为L的细线，一端系于悬点A，另一端拴住一质量为m的小球，先将小球拉至水平位置并使细线绷直，在悬点A的正下方O点钉有一光滑小钉子，今将小球由静止释放，要使小球能在竖直平面内做完整圆周运动，OA的最小距离是（ ）
图9
A.
B.
C.
LD.
L
答案 D
解析 设小球做完整圆周运动的轨道半径为R，小球刚好过最高点的条件为mg＝
解得v0＝
小球由静止释放到运动至圆周最高点的过程中，只有重力做功，因而机械能守恒，由机械能守恒定律得
mv02＝mg（L－2R）
解得R＝
L
所以OA的最小距离为L－R＝
L，故D正确．
【考点】单个物体机械能守恒定律的应用
【题点】机械能守恒定律在圆周运动中的应用
10.（多选）如图10所示，高为H的光滑斜面P固定在小车上，斜面底端与车厢有一光滑圆弧连接．一小球在斜面底端，与小车一起以速度v向右匀速运动．若小车遇到障碍物而突然停止运动，小球将冲上斜面．关于小球上升的最大高度，可能正确的是（ ）
图10
A．等于
B．大于
C．小于
D．等于H
答案 ACD
解析 小球冲上斜面后，有两种可能的情况：
一是斜面足够长，滑到最高点时小球速度为0，此时由机械能守恒定律有：
mv2＝mgh，解得最大高度h＝
，h也可能等于H.另一可能是斜面不足够长，小球滑出斜面做斜抛运动，到最高点还有水平分速度，则此时小球所能达到的最大高度要小于
，故A、C、D正确，B错误．
二、非选择题
11．（机械能守恒定律的应用）如图11所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好摆到最低点B位置时摆线被拉断．设摆线长l＝1.6m，O点离地高H＝5.8m，不计摆线断时的机械能损失，不计空气阻力，g取10m/s2，求：
图11
（1）摆球刚到达B点时的速度大小；
（2）落到地面D点时摆球的速度大小．
答案
（1）4m/s
（2）10m/s
解析
（1）摆球由A到B的过程中只有重力做功，故机械能守恒．
根据机械能守恒定律得
mg（1－sin30°）l＝
mvB2，
解得vB＝
＝4m/s.
（2）摆球由B到D过程中只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒定律得
mvD2＝
mvB2＋mg（H－l）
解得vD＝
＝10m/s.
【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用
【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题
12．（机械能守恒定律的应用）如图
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