河北省衡水中学届高三上学期四调考试数学理附答案.docx
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河北省衡水中学届高三上学期四调考试数学理附答案
河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试
数学（理）试题
【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）
【题文】1．已知向量=
【知识点】平面向量的数量积；向量模的运算.F3
【答案】【解析】C解析：
∵，又，
∴，故选C.
【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算.
【题文】2．已知的共轭复数，复数
A．B．c．1D．2
【知识点】复数的基本概念与运算.L4
【答案】【解析】A解析：
∵，
∴，∴.
【思路点拨】化简复数z，根据共轭复数的定义得，进而求得结论.
【题文】3．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有
A．80种B．90种C．120种D．150种
【知识点】排列与组合.J2
【答案】【解析】D解析：
有二类情况：
（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有种，
（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有
种，∴共有150种.故选D.
【思路点拨】先根据分到各学校的教师人数分类，再根据去各学校教师人数将教师分成三组，然后将这三组教师全排列即可.
【题文】4．曲线处的切线方程为
A．B．C．D．
【知识点】导数的几何意义.B11
【答案】【解析】A解析：
∵，∴曲线在点
（-1，-1）处切线的斜率为2，∴所求切线方程为，故选A.
【思路点拨】根据导数的几何意义，得曲线在点（-1，-1）处切线的斜率，然后由点斜式得所求切线方程.
【题文】5．等比数列
A．B．C．D．
【知识点】等比数列；积得导数公式.D3B11
【答案】【解析】D解析：
因为，
又
所以，故选D.
【思路点拨】根据积得导数公式求解.
【题文】6．经过双曲线：
的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B，若AB=4，则这样的直线有几条
A．4条B．3条C．2条D．1条
【知识点】直线与双曲线.H6H8
【答案】【解析】B解析：
因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB为x轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB还有两条，所以满足条件得直线有三条.
【思路点拨】设出过焦点的直线方程，代入双曲线方程，由弦长公式求得满足条件得直线条数.
【题文】7．设函数
，则
A．在单调递增B．在单调递减
C．在单调递增D．在单调递增
【知识点】两角和与差的三角函数；函数的周期性；奇偶性；单调性.C5C4
【答案】【解析】D解析：
，因为，所以，又因为，所以，所以，经检验在单调递增，故选D.
【思路点拨】根据已知条件求得函数，然后逐项检验各选项的正误.
【题文】8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
根据下表可得回归方程中的b=10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为
A．112．1万元B．113．1万元C．111．9万元D．113．9万元
【知识点】变量的相关性；回归直线方程的性质与应用.I4
【答案】【解析】C解析：
把样本中心点（）代入回归方程得，所以广告费用为10万元时销售额为（万元），故选C.
【思路点拨】根据回归方程过样本中心点得a值，从而求得广告费用为10万元时销售额.
【题文】9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是
【知识点】椭圆的性质.H5
【答案】【解析】C解析：
∵∴，由三角形中，两边之和大于第三边得，故选C.
【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论.
【题文】10．已知直三棱柱，的各顶点都在球O的球面上，且
，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于
【知识点】几何体的结构；球的体积公式；柱体的体积公式.G1
【答案】【解析】B解析：
由球的体积公式得球的半径R=，由AB=AC=1，
BC=得△ABC是顶角是120°的等腰三角形，其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为，故选B.
【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离h的二倍，根据此组合体的结构，球半径R，△ABC的外接圆半径r及h构成直角三角形，由此求得结果.
【题文】11．在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足
的点P的个数为
A．4B．6C．8D．12
【知识点】几何体中的距离求法.G11
【答案】【解析】B解析：
若点P在棱AD上，设AP=x，则，
所以，解得，同理点P可以是棱的中点，显然点P不能在另外六条棱上，故选B.
【思路点拨】构建方程，通过方程的解求得点P的个数.
【题文】12．定义在实数集R上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t函数”的结论：
①是常数函数中唯一一个“关于t函数”；
②“关于函数”至少有一个零点；③是一个“关于t函数”.
其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．0
【知识点】函数中的新概念问题；函数的性质及应用.B1
【答案】【解析】A解析：
①不正确，，取t=-1则f（x-1）-f（x）=c-c=0,即
是一个“关于-1函数”；②正确，若f（x）是“关于函数”，则
，取x=0，则，若任意一个为0，则函数f（x）有零点，若均不为0，则异号，由零点存在性定理知在内存在零点；③不正确，若是一个“关于t函数”，则
恒成立，则所以t不存在.故选A.
【思路点拨】举例说明①不正确；由函数零点存在性定理及新定义说明②正确；把代入新定义得t不存在，所以③不正确.
【典例剖析】本小题是新概念问题，解决这类题的关键是准确理解新概念的定义，并正确利用新概念分析问题.
【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）
【题文】二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。
把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
【题文】13．已知圆，若圆C上存在点P，使得，则删的最大值为____．
【知识点】圆的参数方程的应用.H3
【答案】【解析】6解析：
设，则
，因为∠APB=90°，所以
，
，其中，
所以，故m的最大值为6.
【思路点拨】利用圆的参数方程，把问题转化为m关于参数θ的三角函数求解.
【题文】14．抛物线上一点P到直线的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为____．
【知识点】抛物线的定义；三角形的性质.H7
【答案】【解析】解析：
设此抛物线的焦点F（1，0）,则P到准线x=-1的距离等于PF,由PF-PQ≤QF=得所求最大值为.
【思路点拨】根据抛物线定义，结合三角形的性质确定结果.
【题文】15．的展开式中各项系数的和为2．则该展开式中常数项为。
【知识点】二项式定理的应用.J3
【答案】【解析】40解析：
因为的展开式中各项系数的和为2，所以
当x=1时，，所以该展开式中常数项为：
.故填40.
【思路点拨】根据展开式中各项系数的和就是x=1时式子的值，得a=1,而组成展开式中常数项的是：
第一因式的x与第二因式展开式中含的项的积，加上第一因式的与第二因式展开式中含x的项的积.由此得所求结论.
【题文】16．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几
何体的俯视图可能是下列图形中的．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④四边形；⑤扇形；⑥圆.
【知识点】几何体的三视图.G2
【答案】【解析】②解析：
若俯视图是四边形，则此四边形也是边长为1的正方形，即几何体是棱长为1的正方体，其体积为1，不合题意；若俯视图是扇形或圆，则体积值中含π，所以俯视图不会是扇形或圆；若俯视图是锐角三角形或钝角三角形，则在正视图或侧视图正方形中还有一条竖直的实线或虚线，所以俯视图不会是锐角三角形或钝角三角形；若俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，如下图，
则此几何体体积为，且满足正视图和侧视图都是边长为1的正方形.故这个几
何体的俯视图可能是②.
【思路点拨】分析俯视图是某个图形时，是否与已知条件发生矛盾，从而筛选出结果.
三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）
【题文】17．（本小题满分12分）
设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为
（1）求角A的大小；
（2）若的周长的取值范围，
【知识点】正弦定理；两角和与差的三角函数；已知角的范围求三角函数值的范围.C5C7C8
【答案】【解析】
（1）A=；
（2）.解析：
（1）∵
∴
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=-cosAsinC，
∵sinC≠0，∴cosA=-,∵A∈（0，π），∴A=；----4分
（2）由正弦定理得，
=.-----8分
∵,
故△ABC的周长的取值范围为--------12分
【思路点拨】
（1）把正弦定理代入已知等式，再利用两角和与差的三角函数转化从而求得结论；
（2）由
（1）得,代入a+b+c的周长关于角B的函数
，，由此得周长的取值范围.
【题文】18．（本小题满分12分）
已知数列，若和
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列
【知识点】等差数列；已知递推公式求通项；裂项求和法.D1D2D4
【答案】【解析】
（1），；
（2）.
解析：
（1）由题意知数列是公差为2的等差数列，又因为=3，所以，当n=1时，；
当时，，
对不成立.所以数列的通项公式为-----6分
（2）n=1时，，
当时，---8分
所以
-----------10分
n=1仍然适合上式，综上得，-----12分
【思路点拨】
（1）利用等差数列定义、通项公式求；利用求；
（2）利用裂项求和法求数列的前n项和.
【题文】19．（本小题满分12分）
如图，四棱柱面ABCD，AB∥DC，
（1）证明：
；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长．
【知识点】坐标法证明空间位置关系；求空间角；空间距离.G10G11
【答案】【解析】
（1）证明：
见解析；
（2）；（3）.
解析：
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0,0,0）,
B（0,0,2）,C（1,0,1）,.
证明：
易得,
于是，∴-----2分
（2）.设平面的法向量，
则，
消去x得y+2z=0,不妨取z=1，可得一个法向量----4分
由
（1），又,可得平面,故为平面的一个法向量，于是，
从而，------5分
故二面角的正弦值为，------6分
（3），
设,有.
可取为平面的一个法向量，设θ为直线AM与平面所成的角，则
于是舍去），------10分
∴-------12分
【思路点拨】
（1）建立空间直角坐标系，得，由它们的数量积为零的
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