广东省化州市届高三上学期第一次模拟考试数学理试题+扫描版含答案.docx
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广东省化州市届高三上学期第一次模拟考试数学理试题+扫描版含答案
化州市2019年第一次高考模拟考试
数学试卷（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）（2
答案
B
D
C
C
A
B
D
D
C
B
A
C
（12）解析∵在上恒成立等价于在上恒成立，∴在上恒成立，令，，∴，
当时，,单调递减；当时，，单调递增．
故当时，取得最小值，且最小值为．
∴．故实数的取值范围是．选C．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）（14）20（15）①③④（16）
（16）解析:
由函数可以得到,
数列为等比数列，,,所以,所以有
，，等等，所以有，
等等，故
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（一）必考题：
共60分.
（17）（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由及正弦定理，
可得，………………1分
即，………………2分
由可得，
所以，………………4分
因为，所以，………………5分
因为，所以.………………6分
（Ⅱ）因为，所以的面积，………………7分
把，代入得，………………9分
由得，………………11分
所以，解得.………………12分
（18）（本小题满分12分）
解:
（1）若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，
所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.………………2分
由于AB=1,AD=BC=,AC=
由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC2
所以12＋a2＝（）2⇒a＝1………………4分
所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1………5分
（2）要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，
所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.………………6分
过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，
以O为原点建立空间直角坐标系（如图），
则易知A，C，D
显然，面BCD的法向量为＝.………………8分
设面ACD的法向量为n＝（x，y，z）．
因为＝，＝，
所以令y＝，得n＝（1，，2），………………………………10分
故二面角A－CD－B的余弦值即为
|cos〈，n〉|＝＝……………………………….12分
（另用传统法求二面角的余弦值也可.）
（19）（本小题满分12分）
1、解：
（Ⅰ）由题意得:
……………………………………………….1分
解得，……………………………………………………3分
所以所求椭圆方程为………………………………4分
（Ⅱ）方法一：
当直线与轴垂直时，，
此时不符合题意故舍掉；…………………………………..5分
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
由消去得：
………6分
设，则，………………….…..7分
∴
………………………………………….…………9分
原点到直线的距离，…………………………..…10分
∴三角形的面积．
由得，故．………………………………..11分
∴直线的方程为，或．
即，或…………………………….12分
方法二：
由题意知直线的斜率不为，可设其方程为．………….5分
由消去得．…………………….6分
设，则，．…….7分
∴．…………….….8分
又，所以．…………………….……..9分
∴．解得．………………..…….….11分
∴直线的方程为，或，
即：
，或．………………………..12分
（20）（本小题满分12分）
解：
（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有人，经济损失超过4000元的有100-70=30人，…………………………1分
则表格数据如下
经济损失不超过4000元
经济损失超过4000元
合计
捐款超过500元
60
20
80
捐款不超过500元
10
10
20
合计
70
30
100
…………………………2分
…………………………3分
由于，
所以有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．
……………………………………………………………………………………4分
（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.
由题意知的取值可能有，………………………………………………5分
经济损失不超过
4000元
经济损失超过
4000元
合计
捐款超过
500元
30
捐款不超
过500元
6
合计
（图2）
经济损失不超过
4000元
经济损失超过
4000元
合计
捐款超过
500元
30
捐款不超
过500元
6
合计
（图2）
经济损失不超过
4000元
经济损失超过
4000元
合计
捐款超过
500元
30
捐款不超
过500元
6
合计
（图2）
，
，……………………………………6分
，……………………………………7分
，……………………………………8分
，……………………………………9分
从而的分布列为
………………………10分
，……………………………………………11分
………………………………12分
（21）（本小题满分12分）解：
（1）当时，函数
其定义域为…………………………1分
，…………………………2分
令
所以，
故函数的单调增区间为…………………………3分
（2），…………………………4分
是上的增函数等价于恒成立.
由得，令（）.
所以只需…………………………5分
求导得，
令，，是上的减函数，
又，故1是的唯一零点，
当，，，递增；
当，，，递减；
故当时，取得极大值且为最大值，
所以，即的取值范围是.…………………………7分
（Ⅱ）.…………………………8分
令（），以下证明当时，的最小值大于0.
求导得.…………………………9分
①当时，，；
②当时，，令，
则，又，
取且使，即，
则，
因为，故存在唯一零点，
即有唯一的极值点且为极小值点，又，
且，即，故，
因为，故是上的减函数.
所以，所以.
综上，当时，总有.…………………………12分
（22）（本小题满分10分）解：
（Ⅰ）由，，
可得．-------1分
所以曲线C的普通方程为）．--------------3分
从而曲线C的参数方程为为参数）----------------------5分
（Ⅱ）法一：
因为直线的参数方程为（为参数），
消去得直线的普通方程为．……………………6分
过圆心C作，则直线，-----------7分
代入圆C：
得---------9分
所以点D的直角坐标为-----------------10分
法二：
利用圆C的参数方程求点D直角坐标。
如图，
直线的倾斜角为120°，
过圆心C作x轴的平行线，
易知点D在参数方程中对应的角，
所以，，
从而点D的直角坐标为-----------------10分
法三：
利用圆C的极坐标求点D直角坐标。
如图，
连接，则易求得点D对应的极角
所以，
从而点D的直角坐标为-----------------10分
23．（本小题满分10分）
解：
（1）由三角不等式得
当且仅当时，等式成立．-----------------5分
（2）则，
当且仅当时取，等号成立．-----------------10分
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