二次函数综合专题.docx

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二次函数综合专题

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1．把函数C1：

y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．

（1）填空：

t的值为　　（用含m的代数式表示）

（2）若a＝﹣1，当

≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；

（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

①

2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．

（1）用含a的代数式表示点C的坐标．

（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若

＝

，求a的值．

3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON＝

，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．

（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．

②

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣

x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣

x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求点N的坐标．

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝

时，求点F的坐标．

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤

），请直接写出S与t的函数关系式．

5．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．

①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．

②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

③

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值．

（3）当PH＝2时，求点P的坐标．

7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．

（1）求这个抛物线的函数表达式．

（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．

（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：

在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

④

8．在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标．

（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH．请直接写出线段BH的最小值．

9．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF＝

BF时，求sin∠EBA的值．

（3）点N是抛物线对称轴上一点，在

（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒

个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当

＝

时，求t的值；

（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．

11．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．

（1）求抛物线解析式；

（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？

最大值是多少？

（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线DE和抛物线的表达式；

（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2

，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

13．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣

x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．

（1）求抛物线的函数表达式

（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？

若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．

14．抛物线y＝﹣

x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；

（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

压轴题（二十）

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是BC边上一个动点，过点P作PQ∥BD交CD于Q，现将△PCQ沿直线PQ折叠，使得C落在C′处，以PC′为直径作⊙O，若⊙O与矩形的边相切时，CP的长度为　　．

2．如图，在边长为5的菱形ABCD中，cos∠BAD＝

，点E是射线AB上的点，作EF⊥AB，交AC于点F．

（1）求菱形ABCD的面积；

（2）求证：

AE＝2EF；

（3）如图2，作△BEF的外接圆⊙O，连接DF，若⊙O与△CDF的边所在直线相切，求所有满足条件的AE的长度．

3、如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于A（6，0），B（0，8），点P的坐标为（m，0）（m＜6），过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，点Q为射线BO上一动点，且满足BQ＝2OP，连结CQ，PQ．

（1）当m＝3时，求四边形OPCQ的面积；

（2）当0＜m＜6时，求tan∠BQC的值；

（3）如图2，作△PCQ的外接圆⊙M．

①当⊙M与坐标轴相切时，求m的值；

②若⊙M过OP的中点，请直接写出此时点P的坐标为　　．