广东省广州市天河区学年高二上学期期末数学试题.docx

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广东省广州市天河区学年高二上学期期末数学试题

广东省广州市天河区2020-2021学年高二上学期期末数学试

题

一、单选题

1.数列一1,-

学校:

姓名：

班级：

考号：

―,…的一个通项公式是（）

816

B包c.上D.小

tr2"“

2.某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（）

A.5$只B.6$只C.5’只D.只

3.已知命题p与xe凡lnx+x-2=0,命题q：

vxeR,2*2/,则下列命题中为真命

题的是（）

A.pAqB.-ipAqC.pA-»qD.^pA~»q

4.（2017新课标全国/理科）记S〃为等差数列｛qr｝的前〃项和.若出+%=24，

S°=48,则｛4｝的公差为

A.1B.2

C.4D.8

A+C

5.A43c中，角A、3、C的对边分别为。

，。

，c,若asin-=bsinA,则cos3=

（）

A.--B.-C.一五D.正

2222

6.直线卜6互相平行的一个充分条件是（）

A.k都平行于同一个平而B.4,6与同一个平而所成的角相等

C.6平行于所在的平面D.4都垂直于同一个平面

7.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得8处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，

海轮按西偏南15%的方向航行了10分钟后到达C处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30。

的方向，则海轮的速度为（）

D.海里/分

C.6海里/分

8.祖胞是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“事势既同，则积不容易”称为祖相

原理，利用该原理可以得到柱体体枳公式匕七体=5人，其中S是柱体的底而枳，力是柱

体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体枳是（）

9.过抛物线y2=2px（〃>0）的焦点/的直线/交抛物线于A、3两点，交其准线于

点C,^|AF|=4,,\BC\=2\BF\9r\AF\>\BF\9则此抛物线的方程为（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x

10.四而体43co中，A3，BC,3。

两两垂直，且==1,点七是AC的

中点，异而直线AO与g所成角为，，且cos6=®,则该四而体的体积为（）

11.以下几种说法

①命题“3^>0,函数f（x）=ax2+2x-l只有一个零点”为真命题

②命题“已知x,ywR,若x+yw3,则不工2或ywl”是真命题

③“F+2x之ax在x亡口⑵恒成立”等价于“对于xe[1,2],有，+2]%>（加^”

④AABC的内角A，B,C的对边分别为。

，b,ct则是“cos2A

其中说法正确的序号为（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

r2V274

12.已知双曲线二-1=13>0.%>0）的左、右焦点分别为K，F）,过F,且斜率为3a~b~7

的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若（£"+6加•耳4=0,则此双曲线的标准方程可能为（）

2f->），22

A.X---=1B.---=1C.---=1D.---—=1

2434169916

二、填空题

13.双曲线三一二=1的焦点到渐近线的距离为.

412

14.在A45C中，AB=\,AC=应,N8=f,则NC=.

15.已知三棱锥A—BCD每条棱长都为1,点E,G分别是A8,。

。

的中点，则GEAC=.

16.已知数列｛〃”｝满足q=1,加*=（〃+1）%+〃（〃+1）,nwN”,且

%=Heos”,记S“为数列也｝的前〃项和，则S202G=.

三、解答题

17.已知等差数列｛““｝中，%一“2=6,且C"依次成等比数列.

（1）求数列｛凡｝的通项公式；

（2）设么=.数列出｝的前〃项和为S〃，若S〃=不,求〃的值.

18.已知AA3C中，角A、B、C的对边分别为。

，b,c,若〃=〃cosC+csinA.

（1）求4；

（2）若”=2点，求AABC面积的最大值.

19.已知，〃为实数，命题P：

方程』匚=1表示双曲线；

2m一1m一4

命题1:

函数/*）=旭］〃］/一］+„的定义域为/?

（1）若命题〃为真命题，求实数〃？

的取值范闱：

（2）若命题〃与命题q有且只有一个为真命题，求实数〃?

的取值范围.

20.在平而直角坐标系xOy中，动点夕到点尸（1,0）的距离和它到直线x=—l的距离相等，记点尸的轨迹为C.

（1）求。

的方程；

（2）设点A在曲线C上，X轴上一点B（在点F右侧）满足|AF|=\FB\,若平行于AB的直线与曲线C相切于点。

，试判断直线AQ是否过点尸（1,0）?

并说明理由.

21.如图1,在矩形A8CQ中，AB=3邪,BC=2小,点、E、尸分别在线段QC、

8C上，且。

DP=—,现将&4ED沿AE折到A4E。

'的位置，连结C。

’，

BD'，如图2

（1）证明：

AE_LO'尸：

（2）记平而ADZ与平面的交线为，.若二面角8—Af—£>'为:

，求/与平而Q'CE所成角的正弦值.

22.已知椭圆C:

a2+2y2=36.

（1）求椭圆C的短轴长和离心率；

（2）过点（2,0）的直线/与椭圆。

相交于两点“，N,设肠V的中点为了，点尸（4,0）,

判断|次|与|力3|的大小，并证明你的结论.

参考答案

1.B

【分析】

从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式.

【详解】

1/11/I'?

11（11/N1

__=（-l）x—»-=（-l）X—>--=（-1）x—,—=（-1）x—

27214722872316v724

所以其通项公式是：

且匚

故选：

【点睛】

本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.

2.D

【分析】

根据题意得出第，天和第〃-1天蜜蜂只数的关系，得出数列网｝为等比数列，根据通项公式求出即可.

【详解】

设第〃天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂/只，％=6

由题意可得：

%=勺_1+5“,1，即％=6,所以数列｛%｝为等比数列

Cln-\

即《=6"

所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是4=6，

故选：

【点睛】

本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.

3.C

【详解】

试题分析：

由已知可构造函数/'（x）=lnx+x-2,因为〃l）=lnl+l—2=-1<0,

（2）=ln2+2—2=ln2>lnl=0,所以存在式41,2）,使方程In工+工一2=0成立，即

命题〃为真命题：

又因为x=3时，有23=8,3?

=9,此时23<3?

，所以命题4为假命题,

则r为真，故正确答案为C.

考点：

函数零点、常用逻辑用语.

4.C

【解析】

设公差为〃，%+as=%+3d+a}+4d=2a1+7d=24,

6x5

"=6q+15"=48,联立<

[2q+7c/=24

&+9=48'解得〃=4,故选C

点睛:

求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如｛4｝为等

差数列，若m+”=p+q,则=%,+%.

5.B

【分析】

由诱导公式得sin±£=cosO,利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的正弦公式得出22

sin-=-,结合二倍角的余弦公式计算即可.22

【详解】

sin±L£=sinf£_£j2l22）

=cos—2

又asin"°=〃sin4,所以sinAcos0=sin3sinA

BbbBB

*.<0

.sinAW0,则cos—=sin8=cos—=2sin—cos—=sin—=

、BI1

cosB=1-2sirr—=1——=—

222

故选：

【点睛】

本题主要考查了正弦定理的边化角公式，涉及诱导公式，二倍角公式，属于中档题.

6.D

【解析】

由题意下列哪个选项可以推出直线4,互相平行即可，选项A中6与不仅可以平行还可能相交或异而直线：

选项B中4与不仅可以平行还可能相交或异而直线：

选项C中4与/2不仅可以平行还可能异面直线：

故选D

7.D

【分析】

由正弦定理求解即可.

【详解】

由题意可得：

ZBG4=90o-30o-15o=45°,ZB=180°-（45°+105°）=30°

海轮的速度为u史=近海里/分10

故选：

【点睛】

本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题.

8.B

【分析】

本题首先根据三视图，还原得到几何体一棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.

常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.

【详解】

由三视图得该棱柱的高为6,底而可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为

4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为

f2+6个4+6/幺…x3+x3x6=162.

【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体：

二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.

9.C

【分析】

根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质求得NAFM=60。

，利用直角三角形的边角

关系得出4的坐标，代入抛物线方程，即可求出〃.

【详解】

过点A作工轴的垂线，垂足于点过点8作准线的垂线交准线于点N

由抛物线的定义可知：

怛叫=归耳=:

怛。

\BN\1

在直角△CN5中，cosZCB^=1—4=-,则NC8N=60。

\BC\2

所以NARW=60。

又网=4,所以|=|A可sin60°=2/画=|叫cos60°=2

则4（2+2,2我

由2〃，+2=12,解得：

〃=一6（舍），〃=227

即此抛物线的方程为〉*=4x

故选：

【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义，属于中档题.

10.A

【分析】

建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体枳公式求解即可.

【详解】

分别以8C,8A8。

为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设80=。

A（0J0）,8（0,0,0）,E（110）,0（0,0,a）―—11

AO=（0,—l,a）,8E=（—,—,0）22

Tio“・国cos3===

10\ad\.\be\

该四面体的体枳为,xLx1x1x2=」

故选：

【点睛】

本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体枳公式，属于中档题.

11.D

【分析】

由判别式判断①；判断其逆否命题的真.假得出②的真假：

取特殊值。

=2判断③：

由正弦定理的边化角公式，不等式的性质以及二倍角的余弦公式判断④.

【详解】

当。

>0时，则△=4+4。

>0,则①错误：

②的逆否命题”已知X,ywR,若x=2且），=1,则x+y=3”为真命题，则②正确；当4=2时，满足/+2xN以在xe[l,2]恒成立，但是（炉+2”「3〈（奴）3=4所以③错误：

<=>sinA>sinB<=>sin2A>sin2-2sin2Acos2A

则“"h”是"cos2A

故选：

【点睛】

本题主要考查了判断命题的真假以及充分必要条件的证明，属于中档题.

12.D

【分析】

由向量的加减运算和数量积的性质，可得w耳|=|m|=2c,由双曲线的定义可得|向|=2"+2c,再由三角形的余弦定理，可得3c=5a,4r=5Z?

即可得到所求方程.【详解】

因为（鸟G+尼4）・耳4=0,

所以（钛+朝一（一窃+间=0

得到4户二=£月’，

即有|四|=|M|=2c,

由双曲线的定义可得I丽1=2。

+2c,

根据题意，在等腰三角形人写入中，

24tanZAf；F,-7

所以cos乙4"5=-—■>

n|J4c2+V-（2t/+2c）2_7

2x2cx2c25

整理得3c=5。

而〃=\!

c2-a1=*，

所以得到“/=3:

4,即/e=9：

］6,

根据选项可知双曲线的标准方程可能为二-二=1,916

故选：

【点睛】

本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考

查运算能力，属于中档题.

13.2y/3

【分析】

由双曲线的性质得出右焦点坐标以及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求解即可.

【详解】

c=5/4+T2=4

故双曲线的右焦点为/（4,0）

双曲线的渐近线的方程为：

y/3x-y=0

则右焦点到渐近线的距离为：

"=上图,=2

y/3+\

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题.

14.-

【分析】

由正弦定理求解即可.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.

15.——

【分析】

构造一个正方体，三棱锥A-BCZ）放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可.

【详解】

将三棱锥A-BCD放入如下图所示的正方体中，且棱长为立

分别以OC,OD,OB为X,y,Z轴

^,0,0）,G（—，0）工（孚孚，号

222244442

n五、-jt；_四五、

GE=（0,0,——）,AC=（0,——,——）

222

【点睛】

本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.

16.-1

【分析】由题设条件以及等差数列的性质得出，“心进而得出勾=〃3与'利用诱导公式求出、3女.2，,即可求得^2020,【详解】丁/7=（"+1）4〃+〃（〃+1）

「是等差数列，公差与首项都为1

21m

：

.b=ncos

”3

=一；（3攵—2）

%_2=（3攵-2）cos（2k九一当

b3k_】=（3k-1）cos2k7Tb3k=3kcos2k7r=3k

312020

・・・打人-2+&人-1+/«=3，&02U=优向4-2=一5（3x674-2）=-=-1010

乙乙乙

^2020=（"】+。

2+/）+（”4+色+Z?

6）+---+（Z?

201?

+^2018+^2019）+^2020=-X673-1010=--

故答案为：

-三

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.

17.

（1）an=2/1+3

（2）〃=15

【分析】

（1）由%=6求出公差，由等比数列的性质求出％,即可得出数列｛4｝的通项公式;

（2）由

（1）得出数列｛4｝的通项公式，利用裂项求和法求解即可.

【详解】

解：

⑴设数列｛为｝的公差为d,

因为％-叼=6,所以34=6,解得d=2

因为力,“6，町依次成等比数列，所以d=q心,

即8+5x2『=a"%+20x2）,解得q=5

所以％=2〃+3.

（2）由

（1）知％=

（2〃+3）（2〃+5）'

I2〃+3

n_3

由5（2〃+5）一与,

得〃=15

【点睛】

本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.

18.

（1）A=：

（2）25/2+2

【分析】

（1）由正弦定理的边化角公式化简即可得出A：

（2）由余弦定理以及基本不等式得出三角形而积的最大值.

【详解】

解：

（1）由正弦定理可得：

siiiB=sinAcosC+sinCsin/1

丁・sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=siivlcosC+sinCsinA

•/sinCw0,「・cosA=sinA

又A£（O,/r）,/.A=?

（2）,/S=—bcsinA=^-bc

由余弦定理可得，=8=Z?

2+c2-2Z?

ccos—

又川+c?

22bc故儿工、~~、=4（2+JJ）,当且仅当〃=c时，等号成立.

所以5=走/尢＜2四+2所以而积最大为25/1+2.4

【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题.

19.

【分析】

（1）或加>4

（2）〃？

<■或1

⑴由双曲线的方程特点列出不等式求解即可:

⑵将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题q为真时机的取值范围，讨论〃真q假和〃假《真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数，〃的取值范围.

【详解】解⑴若命题〃为真命题,则（2"?

-1）（加-4）＞0,即"I的取值范围是in＜L或加＞4

（2）若命题＜7为真，即机V—x+L〃:

＞0恒成立,4

命题〃、0一真一假.

m<-或机>41

当〃真0假时，2得〃?

〈一

m<\2

当〃假真时，彳2Wl

m>1*

v或1

【点睛】

本题主要考查了根据方程表示双曲线求参数的范围以及根据命题的真假求参数的范国，属于

中档题.

20.

（1）y2=4x

（2）直线A。

过点2LO）,理由见解析

【分析】

⑴由抛物线的定义求出。

的方程；

（2）根据抛物线的定义表示出点48的坐标，根据坐标写出直线A8的斜率，进而得到直线/

的方程，将直线/与抛物线方程联立，结合判别式得出机=），进而得出点D的坐标，求出K

直线AO的斜率，讨论父和攵2=1,得出直线AO的方程，即可判断直线AO是否过点

F（l,0）.

【详解】

解：

（1）根据抛物线的定义得，动点。

的轨迹是以尸（1,0）为焦点，直线1=一1的抛物线.

y2=4x

（2）由题设A。

％,比）,则|4F|=%+1,

X|AF|=|ra|,故5（%+2,0）

由于与+2。

/，则直线A8不与x轴垂直

令平行于AB的直线/：

y=辰+m,则k=kAli=一&,

.A[k2-2k]

将直线/：

>'=履+〃?

代入）3=4x,得（京+6）2=4x,

整理公f+Qkm—4）x+m2=0①，A=（2%〃一4-一4klM=0,

km=1

当心b=0时，直线AB为x轴，此时不存在平行于AB的直线与曲线。

相切于点。

所以①可以化为攵2/一2x+1=0k-

・•・NK

\k-k

：

.AD:

y=<（x-l）,过定点E（l,。

）

l-K

当抬=1时，AO:

x=l也过点E（LO）,故直线A£＞过点/（1,。

）

【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程以及抛物线中直线过定点问题，属于较难题.

21.

（1）证明见解析

（2）史

【分析】

（1）建立坐标系证明AEJLQP，再由线而垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明

AELD'Px

（2）根据公理3得到平面4T石与平而8QT的交线，再根据二而角定义得到二面角8—A石一O'的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求/与平面O'CE所成角的正弦

值.

【详解】

解：

（1）证明：

如图1,线段OP,AE交于点。

在RtAPCZ）中，由OC=A8=3/，DP=y,PC=">P二dW=W

——（3亚

以点A为坐标原点，建立直角坐标系，则”=（6,2石），PD=-36,军<）

3Is

即4后•尸方=—3/x正+=二'2君=0

s.AEVDP^从而有AE_LO。

，AE1OP,

即在图2中有AE_LOQ',AE1OP,ODcOP=O,。

。

',0尸匚平面「0。

’

.•.AE_L平面尸0。

（2）延长AE，8C交于点。

，连接

根据公理3得到直线。

'。

即为/,再根据二面角定义得到/D'OP=—.3

在平面尸O。

'内过点。

作底面垂线，。

为原点，分别以。

4、。

尸、及所作为％轴、）'轴、

Z轴建立空间直角坐标

则。

（0,-1,何，E（-l,0,0）,。

（-11,0,0）,。

（-3,4,0）,

D，Q=（-11,1,-,EC=（-2,4,0）,ED，=（1,-

设平面DEC的一个法向量为n=（%y,z）,

由＜

h-EC=-2x+4y=0

nED9=x-y+y/3z=0

取y=l,得历=2,1,一孝）

|万・£）@后

.l与平而D'CE所成角的正弦值为|cos@D'Q）\=,同=手.

【点睛】本题主要考查了由线面垂直证线线垂直以及利用向量法证明线面角，属于较难题.

22.

（1）短釉长6点，e=—

（2）|™|>|TP|,证明见解析2

【分析】

（1）由椭圆的性质求解即可：

（2）当/为斜率k不存在时，由直线/方程与椭圆方程的交点求得17Ml,|TP|从而判断|研与

17Ml的大小：

当/为斜率〃存在时，由直线/方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得出2+々，再修，再由数量积公式以及圆的性质求解即可.

【详解】

解：

（1）由题意可知，椭圆C:

/+2y2=36可变形为。

：

三十二=1

3618

「.〃=6，b=3>/2>c=3-\/2

故短轴长为6点，“=孝

（2）解：

当/为斜率我不存在时，/为x=2时，代入。

：

/+2），2=36可得'=±4,

此时7（2,0）,

砌=4,阿=2,

・,・画〉研

当/为斜率〃存在时，设/：

y=%（x—2）

代入到C:

x2+2y2=36,得/+222（%-2『=36

.•.（2火2+1*-8攵\+8攵2-36=0

令”（%,%）,%（孙％）

8G-36

此时两=（西一4,,），丽=（巧一4,%），

~PM-7w=（xf-4）（x2-4）+y,y2=9-4）（芍-4）十公&-2）（/-2）

=（X-4）（々-4）+公（xf-2）（x2-2）

=（k2+l）xAx2一（4+2Z2）（X]+xJ+16+4Z2

一（8二一36H2+1）叱（4+2⑹।⑹叱

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