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1、广东省广州市天河区学年高二上学期期末数学试题广东省广州市天河区2020-2021学年高二上学期期末数学试题一、单选题1 .数列一1,-2 4学校:姓名：班级：考号：,的一个通项公式是（）8 16B包 c.上 D.小t r 2“2.某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去 各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有 蜜蜂的数量是（）A. 5$ 只 B. 6$ 只 C. 5只 D. 只3.已知命题p与xe凡lnx + x-2 = 0,命题q：v x e R,2* 2/,则下列命题中为真命题的是（）A. pAq B. -ipAq C.

2、 pA-q D. pAq4.（2017新课标全国/理科）记S为等差数列qr的前项和.若出+%=24，S=48,则4的公差为A. 1 B. 2C. 4 D. 8A + C5.A43c 中，角 A、3、C 的对边分别为。，。，c ,若 a sin - = bsinA ,则 cos 3 =2（）A. - B. - C. 一五 D.正2 2 2 26.直线卜6互相平行的一个充分条件是（）A.k都平行于同一个平而 B. 4, 6与同一个平而所成的角相等C.6平行于所在的平面 D. 4都垂直于同一个平面7.如图所示，一艘海轮从A处出发，测得8处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15%的方向航行

3、了 10分钟后到达C处，此时测得灯塔在海轮的北偏东 30。的方向，则海轮的速度为（）D. 海里/分C.6海里/分8.祖胞是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“事势既同，则积不容易”称为祖相原理，利用该原理可以得到柱体体枳公式匕七体=5人，其中S是柱体的底而枳，力是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体枳是（）9.过抛物线y2 = 2px（0）的焦点/的直线/交抛物线于A、3两点，交其准线于点C, |AF|=4, BC = 2BF9 rAFBF9 则此抛物线的方程为（）A. y2 =x B. y2 = 2x C. y2 = 4x D. y2 = 8x10.四而体43co中，A3，BC

4、, 3。两两垂直，且= = 1,点七是AC的中点，异而直线AO与g所成角为，且cos6 = ,则该四而体的体积为（）1011.以下几种说法命题“30,函数f(x) = ax2 +2x-l只有一个零点”为真命题命题“已知x, ywR,若x+yw3,则不工2或ywl”是真命题“F + 2x之ax在x亡口恒成立”等价于“对于xe1,2,有，+ 2% (加 ”AABC的内角A，B, C的对边分别为。，b, ct则是“cos2A0.%0)的左、右焦点分别为K，F),过F,且斜率为3 a b 7的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若(+6加耳4 = 0,则此双曲线的标准 方程可能为()2 f - ) ，

5、2 2A. X- - = 1 B. - -= 1 C. - -= 1 D. - = 124 3 4 16 9 9 16二、填空题2 213.双曲线三一二=1的焦点到渐近线的距离为.4 1214.在A45C中，AB = , AC =应,N8 = f,则NC =.15.已知三棱锥ABCD每条棱长都为1,点E, G分别是A8,。的中点，则 GEAC=.16.已知数列” 满足q = 1 ,加* = ( +1)% + ( +1), nwN”,且% = Heos”,记S“为数列也的前项和，则S202G =.三、解答题17.已知等差数列“中，%一“2=6,且C依次成等比数列.(1)求数列凡的通项公式；1 3

6、(2)设么= .数列出的前项和为S，若S=不,求的值.18.已知AA3C中，角A、B、C的对边分别为。，b , c ,若 = cosC+csin A . （1）求4；（2）若” =2点，求AABC面积的最大值.2 219.已知，为实数，命题P：方程 匚=1表示双曲线；2m 一 1 m 一 4命题1:函数/*）=旭/一+的定义域为/?.（1）若命题为真命题，求实数？的取值范闱：（2）若命题与命题q有且只有一个为真命题，求实数?的取值范围.20.在平而直角坐标系xOy中，动点夕到点尸（1,0）的距离和它到直线x =l的距离相 等，记点尸的轨迹为C.（1）求。的方程；（2）设点A在曲线C上，X轴上一

7、点B （在点F右侧）满足|AF| = FB,若平行于AB 的直线与曲线C相切于点。，试判断直线AQ是否过点尸（1,0）?并说明理由.21.如图1,在矩形A8CQ中，AB = 3邪,BC = 2小,点、E、尸分别在线段QC、8C上，且。DP = ,现将&4ED沿AE折到A4E。的位置，连结C。，2BD，如图2（1）证明：AE_LO尸：（2）记平而ADZ与平面的交线为，.若二面角8Af为:，求/与平而 QCE所成角的正弦值.22.已知椭圆 C: a2 + 2y2 = 36.（1）求椭圆C的短轴长和离心率；（2）过点（2,0）的直线/与椭圆。相交于两点“，N,设肠V的中点为了，点尸（4,0）,判断|

8、次|与|力3|的大小，并证明你的结论.参考答案1.B【分析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式.【详解】1 / 1 1 / I? 1 1 ( 1 1 / N 1_ = (-l)x - = (-l) X - = (-1) x, = (-1) x 2 7 21 4 7 22 8 7 23 16 v 7 24所以其通项公式是：且匚r故选：B【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.2.D【分析】根据题意得出第，天和第-1天蜜蜂只数的关系，得出数列网为等比数列，根据通项公 式求出即可.【详解】设第天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂/只， = 6由题意可得：%=勺_1+5“,1，

9、即 = 6,所以数列%为等比数列Cln-即 = 6所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是4=6，故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.3.C【详解】试题分析：由已知可构造函数/(x) = lnx+x-2,因为l) = lnl + l 2 = -1lnl=0,所以存在式41,2）,使方程In工+工一2 = 0成立，即命题为真命题：又因为x = 3时，有23 =8, 3?=9,此时23 3?，所以命题4为假命题,则r为真，故正确答案为C.考点：函数零点、常用逻辑用语.4. C【解析】设公差为 ，% + as = % + 3d + a + 4d = 2a1 + 7d =

10、 24 ,6x5=6q+15 = 48,联立2q+7c/ = 24& +9=48解得 =4,故选C点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如4为等差数列，若m + ” = p + q,则=%,+%.5. B【分析】由诱导公式得sin = cosO,利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的正弦公式得出 2 2sin- = -,结合二倍角的余弦公式计算即可. 2 2【详解】sinL = sinf_j 2 l2 2)B= cos 2又asin =sin4 , 所以sin Acos0 = sin3sin A2 2B b b B B*. 0 A 0时，则 = 4+4。0,则错误：的逆否命题

11、”已知X, ywR,若x = 2且），=1,则x+y = 3”为真命题，则正确； 当4 = 2时，满足/+2xN以在xel,2恒成立，但是（炉+2”3（奴）3=4 所以错误：/?sinAsinBsin2 Asin2 -2sin2 Al-2siir Bcos2Acos2B则“h ”是 cos2A n|J 4c2+V-(2t/ + 2c)2 _ 72 x 2c x 2c 25整理得3c = 5。而 =!c2-a1 = *，所以得到“/ = 3:4,即/ e=9：6,2 2根据选项可知双曲线的标准方程可能为二-二=1, 9 16故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质

12、，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题.13.2y/3【分析】由双曲线的性质得出右焦点坐标以及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求解即可.【详解】c = 5/4+T2=4故双曲线的右焦点为/(4,0)双曲线的渐近线的方程为：y/3x-y = 0则右焦点到渐近线的距离为：=上图,=2y/3 + 故答案为：26【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题.14.-6【分析】由正弦定理求解即可.【详解】故答案为：m6【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.115.2【分析】构造一个正方体，三棱锥A-BCZ）放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即

13、可.【详解】将三棱锥A-BCD放入如下图所示的正方体中，且棱长为立2分别以OC,OD,OB为X,y,Z轴,0,0),G(，0)工(孚孚，号2 2 2 2 4 4 4 4 2n 五、-jt； _ 四 五、GE = (0,0,), AC = (0,)2 2 2【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.16.-12【分析】 由题设条件以及等差数列的性质得出，“心进而得出勾=3与利用诱导公式求 出、3女.2，,即可求得2020, 【详解】 丁 /7 =( + 1)4+( + 1)是等差数列，公差与首项都为1, 21m：.b = n cos ” 3=一；（3攵2）%_2 = (3 攵- 2)

14、 cos (2k 九一当b3k_】=(3k -1) cos 2k7T b3k = 3k cos 2k7r = 3k3 1 2020打人-2+&人-1+/ = 3，&02U =优向4-2 =一5(3x674 - 2) = - = -1010乙 乙 乙3 12020 =(】+。2 +/) + (”4 +色 +Z?6) + - + (Z?201? +2018 + 2019 ) +2020 = - X 673 - 1010 =-故答案为：-三2【点睛】 本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.17.(1) an =2/1 + 3 (2) = 15【分析】(1)由%=6求出公差，由

15、等比数列的性质求出,即可得出数列4的通项公式;(2)由(1)得出数列4的通项公式，利用裂项求和法求解即可.【详解】解： 设数列为的公差为d,因为-叼=6,所以34 = 6,解得d = 2因为力, “6，町依次成等比数列，所以d=q心,即8+5x2=a%+20x2),解得q =5所以 =2 + 3.f 1(2)由(1)知= (2 + 3)(2 + 5)r 1I 2 + 3n _ 3由 5(2+5)一与,得 =15【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.18.(1) A = ： (2) 25/2+2【分析】(1)由正弦定理的边化角公式化简即可得出A ：(

16、2)由余弦定理以及基本不等式得出三角形而积的最大值.【详解】解：(1)由正弦定理可得：siiiB = sinAcosC+sinCsin/1丁 sin (A + C) = sinAcosC+cosAsinC = siivlcosC+sinCsinA/ sinC w 0, cosA = sinA又 A(O,/r),/. A = ?(2) ,/ S = bcsin A = -bc2 4由余弦定理可得，=8 = Z?2 + c2 -2Z?ccos 4又川+c?22bc 故儿工、= 4（2 + JJ）,当且仅当 =c时，等号成立.所以5=走/尢2四+2所以而积最大为25/1+2 . 4【点睛】 本题主要

17、考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中 档题.19.2【分析】(1) 或加4 (2) ？或 1/九44由双曲线的方程特点列出不等式求解即可: 将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题q为真时机的取值范围，讨论真q 假和假真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数，的取值范围.【详解】 解若命题为真命题,则（2?-1）（加-4）0, 即I的取值范围是in L或加 42（2）若命题7为真，即机Vx + L:0恒成立, 4命题、0一真一假.m4 1当真0假时， 2 得?一m 2-m 4当假真时，彳2 Wl/n 1 *v 或 1 =履+ ?代入）3 =4x,得

18、（京+6）2 =4x,整理公 f + Qkm 4)x + m2 =0 ，A = (2% 一4- 一4klM = 0 ,km = 1当心b=0时，直线AB为x轴，此时不存在平行于AB的直线与曲线。相切于点。所以可以化为攵2/ 一 2x +1=0 k-NKk- k2k：.AD :y= P二 dW =W （ 3 亚以点A为坐标原点，建立直角坐标系，则”=（6,2石），PD= -36,军 |TP|,证明见解析 2【分析】(1)由椭圆的性质求解即可：(2)当/为斜率k不存在时，由直线/方程与椭圆方程的交点求得17Ml, |TP|从而判断|研与17Ml的大小：当/为斜率存在时，由直线/方程与椭圆方程联立，

19、结合韦达定理得出2+，再修，再 由数量积公式以及圆的性质求解即可.【详解】2 2解：(1)由题意可知，椭圆C:/ + 2y2=36可变形为。：三十二=136 18. =6，b = 3/2 c = 3-/2故短轴长为6点，“=孝(2)解：当/为斜率我不存在时，/为x = 2时，代入。：/+2)，2=36可得 = 4,此时 7(2,0),砌=4,阿=2,画 研当/为斜率存在时，设/：y = %(x 2)代入到C:x2+ 2y2 =36,得/ + 222（%-2=36.（2火2 + 1*-8攵 + 8攵2-36 = 0令”（%,%）, %（孙）8G-36此时两=（西一4,），丽=（巧一4,%），PM - 7w = （xf -4）（x2 -4） + y,y2 =9-4）（芍-4）十公&-2）（/-2）=（X -4）（ -4）+公（xf-2）（x2-2）= （k2 +l）xAx2 一（4 + 2Z2）（X +xJ + 16 + 4Z2一（8二一36H2 + 1）叱（4 + 2 叱2k