T（n,n）=0;%将矩阵T中所有的元素赋值为0
q=0;%记录加入到树T中的边数
for（s=1:
k）if（q==n）break;end%获得最小生成树T,算法终止
for（i=1:
n-1）for（j=i+1:
n）if（A（i,j）==x（s））T（i,j）=x（s）;T（j,i）=x（s）;%加入边到树T中
TT=T;%临时记录T
while
（1）pd=1;%砍掉TT中所有的树枝
for（y=1:
n）kk=0;
for（z=1:
n）if（TT（y,z）>0）kk=kk+1;zz=z;end;end%寻找TT中的树枝
if（kk==1）TT（y,zz）=0;TT（zz,y）=0;pd=0;end;end%砍掉TT中的树枝
if（pd）break;end;end%已砍掉了TT中所有的树枝
pd=0;%判断TT中是否有圈
for（y=1:
n-1）for（z=y+1:
n）if（TT（y,z）>0）pd=1;break;end;end;end
if（pd）T（i,j）=0;T（j,i）=0;%假如TT中有圈
elseq=q+1;end;end;end;end;end
T%显示近似最小生成树T,程序结束
求二部图G的最大匹配的算法（匈牙利算法）,其基本思想是：
从G的任意匹配M开始,
对X中所有M的非饱和点,寻找M-增广路.若不存在M-增广路,则M为最大匹配;若存
在M-增广路P,则将P中M与非M的边互换得到比M多一边的匹配M1,再对M1重复上
述过程.
设G=（X,Y,E）为二部图,其中X={x1,x2,⋯,xn},Y={y1,y2,⋯,yn}.任取G的一初
始匹配M（如任取e∈E,则M={e}是一个匹配）.
①令S=f,T=f,转向②.
②若M饱和X\S的所有点,则M是二部图G的最大匹配.否则,任取M的非饱和点
u∈X\S,令S=S∪{u},转向③.
③记N（S）={v|u∈S,uv∈E}.若N（S）=T,转向②.否则取y∈N（S）\T.若y是M
的饱和点,转向④,否则转向⑤.
④设xy∈M,则令S=S∪{x},T=T∪{y},转向③.
⑤u-y路是M-增广路,设为P,并令M=M⊕P,转向①.这里M⊕P=M∪P\M∩
P,是对称差.
由于计算M-增广路P比较麻烦,因此将迭代步骤改为：
①将X中M的所有非饱和点（不是M中某条边的端点）都给以标号0和标记*,转向②.
②若X中所有有标号的点都已去掉了标记*,则M是G的最大匹配.否则任取X中一
个既有标号又有标记*的点xi,去掉xi的标记*,转向③.
③找出在G中所有与xi邻接的点yj（即xiyj∈E）,若所有这样的yj都已有标号,则转向
②,否则转向④.
④对与xi邻接且尚未给标号的yj都给定标号i.若所有的yj都是M的饱和点,则转向⑤,
否则逆向返回.即由其中M的任一个非饱和点yj的标号i找到xi,再由xi的标号k找到yk,⋯,
最后由yt的标号s找到标号为0的xs时结束,获得M-增广路xsyt⋯xiyj,记P={xsyt,⋯,
xiyj},重新记M为M⊕P,转向①.
⑤将yj在M中与之邻接的点xk（即xkyj∈M）,给以标号j和标记*,转向②.
例1求图6-9中所示的二部图G的最大匹配.
匈牙利算法的MATLAB程序代码如下：
m=5;n=5;A=[01100
11011
01100
01100
00011];
M（m,n）=0;
for（i=1:
m）for（j=1:
n）if（A（i,j））M（i,j）=1;break;end;end%求初始匹配M
if（M（i,j））break;end;end%获得仅含一条边的初始匹配M
while
（1）
for（i=1:
m）x（i）=0;end%将记录X中点的标号和标记*
for（i=1:
n）y（i）=0;end%将记录Y中点的标号和标记*
for（i=1:
m）pd=1;%寻找X中M的所有非饱和点
for（j=1:
n）if（M（i,j））pd=0;end;end
if（pd）x（i）=-n-1;end;end%将X中M的所有非饱和点都给以标号0和标记*,程序中用n+1表
示0标号,标号为负数时表示标记*
pd=0;
while
（1）xi=0;
for（i=1:
m）if（x（i）<0）xi=i;break;end;end%假如X中存在一个既有标号又有标记*的点,则任
取X中一个既有标号又有标记*的点xi
if（xi==0）pd=1;break;end%假如X中所有有标号的点都已去掉了标记*,算法终止
x（xi）=x（xi）*（-1）;%去掉xi的标记*
k=1;
for（j=1:
n）if（A（xi,j）&y（j）==0）y（j）=xi;yy（k）=j;k=k+1;end;end%对与xi邻接且尚未给标号的yj都
给以标号i
if（k>1）k=k-1;
for（j=1:
k）pdd=1;
for（i=1:
m）if（M（i,yy（j）））x（i）=-yy（j）;pdd=0;break;end;end%将yj在M中与之邻接的
点xk（即xkyj∈M）,给以标号j和标记*
if（pdd）break;end;end
if（pdd）k=1;j=yy（j）;%yj不是M的饱和点
while
（1）P（k,2）=j;P（k,1）=y（j）;j=abs（x（y（j）））;%任取M的一个非饱和点yj,逆向返回
if（j==n+1）break;end%找到X中标号为0的点时结束,获得M-增广路P
k=k+1;end
for（i=1:
k）if（M（P（i,1）,P（i,2）））M（P（i,1）,P（i,2））=0;%将匹配M在增广路P中出现的边
去掉
elseM（P（i,1）,P（i,2））=1;end;end%将增广路P中没有在匹配M中出现的边加入
到匹配M中
break;end;end;end
if（pd）break;end;end%假如X中所有有标号的点都已去掉了标记*,算法终止
M%显示最大匹配M,程序结束
图6-9
利用可行点标记求最佳匹配的算法步骤如下：
设G=（X,Y,E,F）为完备的二部赋权图,L是其一个初始可行点标记,通常取
.
（）0,
（）max{（）|},
yY
xX
Ly
LxFxyyY
∈
∈
⎩⎨⎧
=
=∈
M是GL的一个匹配.
①若X的每个点都是M的饱和点,则M是最佳匹配.否则取M的非饱和点u∈X,令S
={u},T=f,转向②.
②记NL（S）={v|u∈S,uv∈EL}.若NL（S）=T,则GL没有完美匹配,转向③.否则转
向④.
③调整可行点标记,计算
aL=min{L（x）+L（y）-F（xy）|x∈S,y∈Y\T}.
由此得新的可行顶点标记
H（v）=,
（）,
（）,
（）,
vT
vS
Lv
Lva
Lva
L
L
∈
∈
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
-
令L=H,GL=GH,重新给出GL的一个匹配M,转向①.
④取y∈NL（S）\T,若y是M的饱和点,转向⑤.否则,转向⑥.
⑤设xy∈M,则令S=S∪{x},T=T∪{y},转向②.
⑥在GL中的u-y路是M-增广路,记为P,并令M=M⊕P,转向①.
利用可行点标记求最佳匹配算法的MATLAB程序代码如下：
n=4;A=[4551
2246
4233
5021];
for（i=1:
n）L（i,1）=0;L（i,2）=0;end
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（L（i,1）M（i,j）=0;end;end
for（i=1:
n）for（j=1:
n）%生成子图Gl
if（L（i,1）+L（j,2）==A（i,j））Gl（i,j）=1;
elseGl（i,j）=0;end;end;end
ii=0;jj=0;
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（Gl（i,j））ii=i;jj=j;break;end;end
if（ii）break;end;end%获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
M（ii,jj）=1;
for（i=1:
n）S（i）=0;T（i）=0;NlS（i）=0;end
while
（1）
for（i=1:
n）k=1;
否则.
for（j=1:
n）if（M（i,j））k=0;break;end;end
if（k）break;end;end
if（k==0）break;end%获得最佳匹配M,算法终止
S
（1）=i;jss=1;jst=0;%S={xi},T=φ
while
（1）
jsn=0;
for（i=1:
jss）for（j=1:
n）if（Gl（S（i）,j））jsn=jsn+1;NlS（jsn）=j;%NL（S）={v|u∈S,uv∈EL}
for（k=1:
jsn-1）if（NlS（k）==j）jsn=jsn-1;end;end;end;end;end
if（jsn==jst）pd=1;%判断NL（S）=T?
for（j=1:
jsn）if（NlS（j）~=T（j））pd=0;break;end;end;end
if（jsn==jst&pd）al=Inf;%如果NL（S）=T,计算al,Inf为∞
for（i=1:
jss）for（j=1:
n）pd=1;
for（k=1:
jst）if（T（k）==j）pd=0;break;end;end
if（pd&al>L（S（i）,1）+L（j,2）-A（S（i）,j））al=L（S（i）,1）+L（j,2）-A（S（i）,j）;end;end;end
for（i=1:
jss）L（S（i）,1）=L（S（i）,1）-al;end%调整可行点标记
for（j=1:
jst）L（T（j）,2）=L（T（j）,2）+al;end%调整可行点标记
for（i=1:
n）for（j=1:
n）%生成子图GL
if（L（i,1）+L（j,2）==A（i,j））Gl（i,j）=1;
elseGl（i,j）=0;end
M（i,j）=0;k=0;end;end
ii=0;jj=0;
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（Gl（i,j））ii=i;jj=j;break;end;end
if（ii）break;end;end%获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
M（ii,jj）=1;break
else%NL（S）≠T
for（j=1:
jsn）pd=1;%取y∈NL（S）\T
for（k=1:
jst）if（T（k）==NlS（j））pd=0;break;end;end
if（pd）jj=j;break;end;end
pd=0;%判断y是否为M的饱和点
for（i=1:
n）if（M（i,NlS（jj）））pd=1;ii=i;break;end;end
if（pd）jss=jss+1;S（jss）=ii;jst=jst+1;T（jst）=NlS（jj）;%S=S∪{x},T=T∪{y}
else%获得Gl的一条M-增广路,调整匹配M
for（k=1:
jst）M（S（k）,T（k））=1;M（S（k+1）,T（k））=0;end
if（jst==0）k=0;end
M（S（k+1）,NlS（jj））=1;break;end;end;end;end
MaxZjpp=0;
for（i=1:
n）for（j=1:
n）if（M（i,j））MaxZjpp=MaxZjpp+A（i,j）;end;end;end
M%显示最佳匹配M
MaxZjpp%显示最佳匹配M的权,程序结束
从一个可行流f开始,求最大流的Ford--Fulkerson标号算法的基本步骤：
⑴标号过程
①给发点vs以标号（+,+∞）,ds=+∞.
②选择一个已标号的点x,对于x的所有未给标号的邻接点y,按下列规则处理：
当yx∈E,且fyx＞0时,令dy=min{fyx,dx},并给y以标号（x-,dy）.
当xy∈E,且fxy＜Cxy时,令dy=min{Cxy-fxy,dx},并给y以标号（x+,dy）.
③重复②直到收点vt被标号或不再有点可标号时为止.若vt得到标号,说明存在一条
可增广链,转⑵调整过程;若vt未得到标号,标号过程已无法进行时,说明f已经是最大流.
⑵调整过程
④决定调整量d=dvt,令u=vt.
⑤若u点标号为（v+,du）,则以fvu+d代替fvu;若u点标号为（v-,du）,则以fvu-d
代替fvu.
⑥若v=vs,则去掉所有标号转⑴重新标号;否则令u=v,转⑤.
算法终止后,令已有标号的点集为S,则割集（S,Sc）为最小割,从而Wf=C（S,Sc）.
例1求图6-19所示网络的最大流.
利用Ford--Fulkerson标号法求最大流算法的MATLAB程序代码如下：
n=8;C=[05430000
00005300
00000320
00000020
00000004
00000003
00000005
00000000];%弧容量
for（i=1:
n）for（j=1:
n）f（i,j）=0;end;end%取初始可行流f为零流
for（i=1:
n）No（i）=0;d（i）=0;end%No,d记录标号
图6-19
while
（1）
No
（1）=n+1;d
（1）=Inf;%给发点vs标号
while
（1）pd=1;%标号过程
for（i=1:
n）if（No（i））%选择一个已标号的点vi
for（j=1:
n）if（No（j）==0&f（i,j）No（j）=i;d（j）=C（i,j）-f（i,j）;pd=0;
if（d（j）>d（i））d（j）=d（i）;end
elseif（No（j）==0&f（j,i）>0）%对于未给标号的点vj,当vjvi为非零流弧时
No（j）=-i;d（j）=f（j,i）;pd=0;
if（d（j）>d（i））d（j）=d（i）;end;end;end;end;end
if（No（n）|pd）break;end;end%若收点vt得到标号或者无法标号,终止标号过程
if（pd）break;end%vt未得到标号,f已是最大流,算法终止
dvt=d（n）;t=n;%进入调整过程,dvt表示调整量
while
（1）
if（No（t）>0）f（No（t）,t）=f（No（t）,t）+dvt;%前向弧调整
elseif（No（t）<0）f（No（t）,t）=f（No（t）,t）-dvt;end%后向弧调整
if（No（t）==1）for（i=1:
n）No（i）=0;d（i）=0;end;break;end%当t的标号为vs时,终止调整过程
t=No（t）;end;end;%继续调整前一段弧上的流f
wf=0;for（j=1:
n）wf=wf+f（1,j）;end%计算最大流量
f%显示最大流
wf%显示最大流量
No%显示标号,由此可得最小割,程序结束
设网络G=（V,E,C）,取初始可行流f为零流,求解最小费用流问题的迭代步骤：
①构造有向赋权图Gf=（V,Ef,F）,对于任意的vivj∈E,Ef,F的定义如下：
当fij=0时,vivj∈Ef,F（vivj）=bij;
当fij=Cij时,vjvi∈Ef,F（vjvi）=-bij;
当0＜fij＜Cij时,vivj∈Ef,F（vivj）=bij,vjvi∈Ef,F（vjvi）=-bij.
转向②.
②求出有向赋权图Gf=（V,Ef,F）中发点vs到收点vt的最短路m,若最短路m存在转向
③;否则f是所求的最小费用最大流,停止.
③增流.同求最大流的方法一样,重述如下：
令
.
-
+
∈
∈
⎪⎩
⎪⎨⎧
-
=
m
m
d
ij
ij
ij
ijij
ijvv
vv
f
Cf
d=min{dij|vivj∈m},重新定义流f={fij}为
fij=,
-
+
∈
∈
⎪⎩
⎪⎨
⎧
-
+
m
m
d
d
ij
ij
ij
ij
ij
vv
vv
f
f
f
如果Wf大于或等于预定的流量值,则适当减少d值,使Wf等于预定的流量值,那么f是所
求的最小费用流,停止;否则转向①.
求解含有负权的有向赋权图G=（V,E,F）中某一点到其它各点最短路的Ford算法.
当vivj∈E时记wij=F（vivj）,否则取wii=0,wij=+∞（i≠j）.v1到vi的最短路长记为p（i）,
v1到vi的最短路中vi的前一个点记为q（i）.Ford算法的迭代步骤：
①赋初值p
（1）=0,p（i）=+∞,q（i）=i,i=2,3,⋯,n.
②更新p（i）,q（i）.对于i=2,3,⋯,n和j=1,2,⋯,n,如果p（i）＜p（j）+wji,则令
p（i）=p（j）,q（i）=j.
③终止判断：
若所有的p（i）都无变化,停止;否则转向②.
在算法的每一步中,p（i）都是从v1到vi的最短路长度的上界.若不存在负长回路,则从
v1到vi的最短路长度是p（i）的下界,经过n-1次迭代后p（
升级会员 