数学建模程序必用.docx

1、数学建模程序必用图论算法及其MATLAB 程序代码求赋权图 G = (V, E , F )中任意两点间的最短路的Warshall-Floyd 算法：设 A = (aij )nn 为赋权图G = (V, E , F )的矩阵, 当vivjE 时aij = F (vivj), 否则取aii =0, aij= +(ij ), dij 表示从vi 到vj 点的距离, rij 表示从vi 到vj 点的最短路中一个点的编号. 赋初值. 对所有i, j, dij = aij, rij = j. k = 1. 转向 更新 dij, rij . 对所有i, j, 若dik + dk jdij, 则令dij =

2、dik + dk j, rij = k, 转向. 终止判断. 若dii0, 则存在一条含有顶点vi 的负回路, 终止; 或者k = n 终止; 否则令k = k + 1, 转向.最短路线可由 rij 得到.例 1 求图 6-4 中任意两点间的最短路. 解：用Warshall-Floyd 算法, MATLAB 程序代码如下：n=8;A=0 2 8 1 Inf Inf Inf Inf2 0 6 Inf 1 Inf Inf Inf8 6 0 7 5 1 2 Inf1 Inf 7 0 Inf Inf 9 InfInf 1 5 Inf 0 3 Inf 8Inf Inf 1 Inf 3 0 4 6Inf

3、Inf 2 9 Inf 4 0 3Inf Inf Inf Inf 8 6 3 0; % MATLAB 中, Inf 表示D=A; %赋初值for(i=1:n)for(j=1:n)R(i,j)=j;end;end %赋路径初值for(k=1:n)for(i=1:n)for(j=1:n)if(D(i,k)+D(k,j)D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); %更新dijR(i,j)=k;end;end;end %更新rijk %显示迭代步数D %显示每步迭代后的路长R %显示每步迭代后的路径pd=0;for i=1:n %含有负权时if(D(i,i)0)x(k)=A(i,j); %

4、数组x 记录A中不同的正数kk=1; %临时变量for(s=1:k-1)if(x(k)=x(s)kk=0;break;end;end %排除相同的正数k=k+kk;end;end;endk=k-1 %显示A中所有不同正数的个数for(i=1:k-1)for(j=i+1:k) %将x 中不同的正数从小到大排序if(x(j)0)kk=kk+1;zz=z;end;end %寻找TT 中的树枝if(kk=1)TT(y,zz)=0;TT(zz,y)=0;pd=0;end;end %砍掉TT 中的树枝if(pd)break;end;end %已砍掉了TT 中所有的树枝pd=0; %判断TT 中是否有圈fo

5、r(y=1:n-1)for(z=y+1:n)if(TT(y,z)0)pd=1;break;end;end;endif(pd)T(i,j)=0;T(j,i)=0; %假如TT 中有圈else q=q+1;end;end;end;end;endT %显示近似最小生成树T, 程序结束求二部图G 的最大匹配的算法(匈牙利算法), 其基本思想是：从G 的任意匹配M 开始,对X 中所有M 的非饱和点, 寻找M -增广路. 若不存在M -增广路, 则M 为最大匹配; 若存在M -增广路P, 则将P 中M 与非M 的边互换得到比M 多一边的匹配M1 , 再对M1 重复上述过程.设 G = ( X, Y, E

6、)为二部图, 其中X = x1, x2, , xn , Y = y1, y2, , yn. 任取G 的一初始匹配M (如任取eE, 则M = e是一个匹配). 令 S = f , T = f , 转向. 若 M 饱和X S 的所有点, 则M 是二部图G 的最大匹配. 否则, 任取M 的非饱和点uX S , 令S = S u , 转向. 记 N (S ) = v | uS, uvE . 若N (S ) = T, 转向. 否则取yN (S ) T. 若y 是M的饱和点, 转向, 否则转向. 设 x yM, 则令S = S x , T = T y , 转向. u - y 路是M-增广路, 设为P,

7、并令M = MP, 转向. 这里MP = MP MP, 是对称差.由于计算 M-增广路P 比较麻烦, 因此将迭代步骤改为： 将 X 中M 的所有非饱和点(不是M 中某条边的端点)都给以标号0 和标记*, 转向. 若 X 中所有有标号的点都已去掉了标记*, 则M 是G 的最大匹配. 否则任取X 中一个既有标号又有标记*的点xi , 去掉xi 的标记*, 转向. 找出在 G 中所有与xi 邻接的点yj (即xi yjE ), 若所有这样的yj 都已有标号, 则转向, 否则转向. 对与 xi 邻接且尚未给标号的yj 都给定标号i. 若所有的yj 都是M的饱和点, 则转向,否则逆向返回. 即由其中M的

8、任一个非饱和点yj的标号i 找到xi, 再由xi的标号k 找到yk , ,最后由 yt 的标号s 找到标号为0 的xs 时结束, 获得M -增广路xs yt xi yj, 记P = xs yt, ,xi yj , 重新记M 为MP, 转向. 将 yj在M 中与之邻接的点xk (即xk yjM), 给以标号j 和标记*, 转向.例1 求图 6-9 中所示的二部图G 的最大匹配. 匈牙利算法的 MATLAB 程序代码如下：m=5;n=5;A=0 1 1 0 01 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 0 00 0 0 1 1;M(m,n)=0;for(i=1:m)for(j=1:n)if(A

9、(i,j)M(i,j)=1;break;end;end %求初始匹配Mif(M(i,j)break;end;end %获得仅含一条边的初始匹配Mwhile(1)for(i=1:m)x(i)=0;end %将记录X中点的标号和标记*for(i=1:n)y(i)=0;end %将记录Y中点的标号和标记*for(i=1:m)pd=1; %寻找X中M的所有非饱和点for(j=1:n)if(M(i,j)pd=0;end;endif(pd)x(i)=-n-1;end;end %将X中M的所有非饱和点都给以标号0 和标记*, 程序中用n+1 表示0 标号, 标号为负数时表示标记*pd=0;while(1)x

10、i=0;for(i=1:m)if(x(i)1)k=k-1;for(j=1:k)pdd=1;for(i=1:m)if(M(i,yy(j)x(i)=-yy(j);pdd=0;break;end;end %将yj 在M中与之邻接的点xk (即xkyjM), 给以标号j 和标记*if(pdd)break;end;endif(pdd)k=1;j=yy(j); %yj 不是M的饱和点while(1)P(k,2)=j;P(k,1)=y(j);j=abs(x(y(j); %任取M的一个非饱和点yj, 逆向返回if(j=n+1)break;end %找到X中标号为0 的点时结束, 获得M-增广路Pk=k+1;e

11、ndfor(i=1:k)if(M(P(i,1),P(i,2)M(P(i,1),P(i,2)=0; %将匹配M 在增广路P 中出现的边去掉else M(P(i,1),P(i,2)=1;end;end %将增广路P 中没有在匹配M中出现的边加入到匹配M中break;end;end;endif(pd)break;end;end %假如X中所有有标号的点都已去掉了标记*, 算法终止M %显示最大匹配M, 程序结束图 6-9利用可行点标记求最佳匹配的算法步骤如下：设 G = ( X, Y, E , F )为完备的二部赋权图, L 是其一个初始可行点标记, 通常取.,( ) 0,( ) max ( ) |

12、 ,y Yx XL yL x F xy y Y = M 是GL 的一个匹配. 若X 的每个点都是M 的饱和点, 则M 是最佳匹配. 否则取 M 的非饱和点uX, 令S= u , T = f , 转向. 记NL (S ) = v | uS, uvEL . 若NL ( S ) = T , 则GL没有完美匹配, 转向. 否则转向. 调整可行点标记, 计算aL = min L ( x ) + L ( y ) - F (x y) | xS, yY T .由此得新的可行顶点标记H (v ) = ,( ),( ) ,( ) ,v Tv SL vL v aL v aLL+-令 L = H, GL= GH ,

13、重新给出GL 的一个匹配M, 转向. 取 yNL ( S ) T , 若y 是M 的饱和点, 转向. 否则, 转向. 设 x yM, 则令S = S x , T =T y , 转向. 在 GL 中的u - y 路是M -增广路, 记为P, 并令M = MP, 转向.利用可行点标记求最佳匹配算法的 MATLAB 程序代码如下：n=4;A=4 5 5 12 2 4 64 2 3 35 0 2 1;for(i=1:n)L(i,1)=0;L(i,2)=0;endfor(i=1:n)for(j=1:n)if(L(i,1)L(S(i),1)+L(j,2)-A(S(i),j)al=L(S(i),1)+L(j

14、,2)-A(S(i),j);end;end;endfor(i=1:jss)L(S(i),1)=L(S(i),1)-al;end %调整可行点标记for(j=1:jst)L(T(j),2)=L(T(j),2)+al;end %调整可行点标记for(i=1:n)for(j=1:n) %生成子图GLif(L(i,1)+L(j,2)=A(i,j)Gl(i,j)=1;else Gl(i,j)=0;endM(i,j)=0;k=0;end;endii=0;jj=0;for(i=1:n)for(j=1:n)if(Gl(i,j)ii=i;jj=j;break;end;endif(ii)break;end;end

15、 %获得仅含Gl 的一条边的初始匹配MM(ii,jj)=1;breakelse %NL(S)Tfor(j=1:jsn)pd=1; %取yNL(S)Tfor(k=1:jst)if(T(k)=NlS(j)pd=0;break;end;endif(pd)jj=j;break;end;endpd=0; %判断y 是否为M的饱和点for(i=1:n)if(M(i,NlS(jj)pd=1;ii=i;break;end;endif(pd)jss=jss+1;S(jss)=ii;jst=jst+1;T(jst)=NlS(jj); %S=Sx, T=Tyelse %获得Gl 的一条M-增广路, 调整匹配Mfor

16、(k=1:jst)M(S(k),T(k)=1;M(S(k+1),T(k)=0;endif(jst=0)k=0;endM(S(k+1),NlS(jj)=1;break;end;end;end;endMaxZjpp=0;for(i=1:n)for(j=1:n)if(M(i,j)MaxZjpp=MaxZjpp+A(i,j);end;end;endM %显示最佳匹配MMaxZjpp %显示最佳匹配M的权, 程序结束从一个可行流f 开始, 求最大流的Ford-Fulkerson 标号算法的基本步骤： 标号过程 给发点 vs 以标号(+, +) , d s = +. 选择一个已标号的点 x, 对于x 的所

17、有未给标号的邻接点y, 按下列规则处理：当 yxE, 且f yx 0 时, 令d y = min f yx , d x , 并给y 以标号 ( x - , d y ).当 xyE, 且f xyC xy 时, 令d y = min C xy - f xy , d x , 并给y 以标号 ( x + , d y ). 重复直到收点vt 被标号或不再有点可标号时为止. 若vt 得到标号, 说明存在一条可增广链, 转调整过程; 若vt 未得到标号, 标号过程已无法进行时, 说明f 已经是最大流. 调整过程 决定调整量d =d vt , 令u = vt . 若 u 点标号为( v +, d u ), 则

18、以f vu + d 代替 f vu ; 若u 点标号为( v -, d u ), 则以f vu - d代替 f vu. 若 v = vs, 则去掉所有标号转重新标号; 否则令u = v, 转.算法终止后, 令已有标号的点集为S, 则割集(S, S c )为最小割, 从而Wf = C (S, S c ).例 1 求图 6-19 所示网络的最大流. 利用 Ford-Fulkerson 标号法求最大流算法的MATLAB 程序代码如下：n=8;C=0 5 4 3 0 0 0 00 0 0 0 5 3 0 00 0 0 0 0 3 2 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 40 0

19、 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 0 0; %弧容量for(i=1:n)for(j=1:n)f(i,j)=0;end;end %取初始可行流f 为零流for(i=1:n)No(i)=0;d(i)=0;end %No,d 记录标号图 6-19while(1)No(1)=n+1;d(1)=Inf; %给发点vs 标号while(1)pd=1; %标号过程for(i=1:n)if(No(i) %选择一个已标号的点vifor(j=1:n)if(No(j)=0&f(i,j)d(i)d(j)=d(i);endelseif(No(j)=0&f(j,i)0) %对于

20、未给标号的点vj, 当vjvi 为非零流弧时No(j)=-i;d(j)=f(j,i);pd=0;if(d(j)d(i)d(j)=d(i);end;end;end;end;endif(No(n)|pd)break;end;end%若收点vt 得到标号或者无法标号, 终止标号过程if(pd)break;end %vt 未得到标号, f 已是最大流, 算法终止dvt=d(n);t=n; %进入调整过程, dvt 表示调整量while(1)if(No(t)0)f(No(t),t)=f(No(t),t)+dvt; %前向弧调整elseif(No(t)0)f(No(t),t)=f(No(t),t)-dvt

21、;end %后向弧调整if(No(t)=1)for(i=1:n)No(i)=0;d(i)=0; end;break;end %当t 的标号为vs 时, 终止调整过程t=No(t);end;end; %继续调整前一段弧上的流fwf=0;for(j=1:n)wf=wf+f(1,j);end %计算最大流量f %显示最大流wf %显示最大流量No %显示标号, 由此可得最小割, 程序结束设网络G = ( V, E, C ), 取初始可行流f 为零流, 求解最小费用流问题的迭代步骤： 构造有向赋权图 Gf = ( V, Ef , F ), 对于任意的vivjE , Ef , F 的定义如下：当 f i

22、j = 0 时, vivjEf , F ( vivj ) = bij ;当 f ij = Cij 时, vj viEf , F ( vjvi ) = -bij ;当 0 f ij Cij 时, vivjEf , F ( vivj ) = bij , vj viEf , F ( vj vi ) = -bij .转向. 求出有向赋权图 Gf = (V, Ef , F )中发点vs 到收点vt 的最短路m , 若最短路m 存在转向; 否则f 是所求的最小费用最大流, 停止. 增流. 同求最大流的方法一样, 重述如下：令.,-+ -=mmdi ji jijij ijij v vv vfC fd = m

23、in d ij | vivjm, 重新定义流f = f ij为f ij = ,-+-+mmddi ji jijijijv vv vfff如果 Wf 大于或等于预定的流量值, 则适当减少d 值, 使Wf 等于预定的流量值, 那么f 是所求的最小费用流, 停止; 否则转向.求解含有负权的有向赋权图 G = ( V, E, F )中某一点到其它各点最短路的Ford 算法.当 vivjE 时记wij = F (vivj), 否则取wii =0, wij = +(ij ). v1 到vi 的最短路长记为p ( i ),v1 到vi 的最短路中vi 的前一个点记为q ( i ). Ford 算法的迭代步骤： 赋初值p (1) = 0, p ( i ) = +, q ( i ) = i, i = 2, 3, , n . 更新p ( i ), q ( i ). 对于i = 2, 3, , n 和j = 1, 2, , n, 如果p ( i )p ( j ) + wji, 则令p ( i ) = p ( j ) , q ( i ) = j. 终止判断：若所有的p ( i )都无变化, 停止; 否则转向.在算法的每一步中, p ( i )都是从v1 到vi 的最短路长度的上界. 若不存在负长回路, 则从v1 到vi 的最短路长度是p ( i )的下界, 经过n -1 次迭代后p (