二次函数精选练习题及答案.docx
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二次函数精选练习题及答案
二次函数练习题及答案
一、选择题
1.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是
（）
Ay=3（x2）21B.y=3（x2）2-1C.y=3（x-2）21D.
2
y=3（x-2）-1
2.将抛物线y=x22向右平移1个单位后所得抛物线的解析
式是（）
A.y=x23;B.y=x21;C.y=（x1）22;
D.y=（x一1）22.
3.将抛物线（x-1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3
个单位后所得抛物线的解析式为（）
A.（x-2）2B.（x-2）2+6C.2+6D.2
4.由二次函数y=2（x-3）2•1,A.其图象的开口向下B轴为直线x=-3
C.其最小值为1D
随x的增大而增大
对应的二次函数有（）
6.把函数y二f（x）=x—4x6的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（）
A.y=（x—3）23B.y=（x—3）21C.y=（x-1）23
D.y=（x-1）21
7.抛物线y=x2•bx•c图像向右平移2个单位再向下平移3个
单位，所得图像的解析式为y=x2—2x—3，则b、C的值为
A.2,2B.2,0C.-2,1D.
-3,2
二、填空题
8.二次函数一2（x-5）2+3的顶点坐标是.
9•已知二次函数-x2bxc中函数y与自变量x之间的部分
对应值如下表所示，点A（X1,yJ、B（X2,y2）在函数图象上，当
0：
：
论：
：
：
1,2：
：
X2：
：
3时，则y1y（填“”或“”：
”）.
x
0
1
2
3
y
-1
2
3
2
10.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x「2x・3绕着它与y轴
的交点旋转180°,所得抛物线的解析式
为.
11.求二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标（）对称轴
。
12.已知（-21）,（-1»,（23）是二次函数2-4上的点,
则从小到大用“v”排列是.
13.（2011?
攀枝花）在同一平面内下列4个函数；①2
（1）2-1;②2x2+3;③-2x2-1;④x2/2_1的图象不可能由函数2x2+1的图象通过平移变换得到
的函数是.（把你认为正确的序号都填写在横线上）
14.已知抛物线y=—x2•2x—1,它的图像在对称轴（填“左侧”
或“右侧”）的部分是下降的
15.x人去旅游共需支出y元，若之间满足关系式2x2-20x+1050,则当人数为时总支出最少。
16.若抛物线2-4的顶点的纵坐标为n,则k-n的值为17.若二次函数（）2-1，当x<1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是
三、解答题
18.已知二次函数y—2X28x-6.
（1）求二次函数y=-2x2・8x-6的图象与两个坐标轴的交点坐标；
（2）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点（）称为整点.直接写出二次函数y—2x28x-6的图象与X轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数.
19.（8分）张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足
花囿
够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰
好围成.围成的花圃是如图所示的矩
形.设边的长为X米.矩形的面积为S
平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取
（2）
值范围）
停止运动.设运动时间为x秒，△的面积为y
（2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围;
（2）求△的面积的最大值.
（1）求OP与y轴的另一个交点D的坐标;
22.已知关于x的方程2+（31）3=0（m^0）.
（1）求证：
方程总有两个实数根;
（3）在
（2）的条件下，将关于x的二次函数2+（31）3的图象
在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请结合这个新的图象回答：
当直线与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
（1）求证：
以点P为圆心，为半径的圆与直线1的相切；
（2）设直线与抛物线-2的另一个交点为点Q连接，,求证:
4
ZZ.
24.研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：
第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式丄2+590,
10
投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲、
P乙（万元）均与X满足一次函数关系.（注：
年利润=年销售额-全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p甲丄14，请你
20
用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙丄（n为常数），10
且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第
一年生产并销售该产品18吨，根据
（1）、
（2）
中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在
甲地还是乙地产销才能获得最大的年利润？
25.（12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1,0）,B（3,
0）两点，与y轴相交于点C,该抛物线的顶点为点D.
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接，…设△,△，△的面积分别为Si,S2和S3，用等式表示s,S2、S3之间的数量关系，并说明理由；
（3）点M是线段上一动点（不包括点A和点B）,过点M作//交于点N,连接，是否存在点M使//?
若存在，求出点M的坐标和此时刻直线的解析式；若不存在，请说明理由.
26.如图，抛物线y=ax2+bx+c（aM0）经过点A（-3,0）、B
（1,0）、C（-2,1），交y轴于点M.和
（1）求抛物线的表达式；广__甘
（2）D为抛物线在第二象限部分上的
一点，作垂直x轴于点E,交线段于点/
F,求线段长度的最大值，并求此时点
D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P,作垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△相似？
若存在，求点P的坐
标；若不存在，请说明理由.
如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△的斜边在x轴上，顶点A的坐标为（3，3），为斜边上的高.抛物线y=2+2x与直线y=x交于点OC,点C的横坐标为6.点P在x轴的正半轴上，过点P作//y轴，交射线于点E.设点P的横坐标为m,以A、B、DE为顶点的四边形的面积为S.
27.求所在直线的解析式
28.求a的值
29.当m^3时，求S与m的函数关系式.
30.如图②，设直线交射线于点R交抛物线于点Q.以为一边，在的右侧作矩形，其中=.直接写出矩形与△重叠部分为轴对称图形时m的取值范围.
OP图①BxOP图②Bx
参考答案
1.【答案】B
【解析】分析：
根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”
的原则进行解答即可.
解答：
解：
由“左加右减”的原则可知，将抛物线3x2先向左平
移2个单位可得到抛物线3
（2）2；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线3
（2）2先向下平移1个
单位可得到抛物线3
（2）2-1.
故选B.
点评：
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象
平移的法则是解答此题的关键.
2.D【解析】此题考查抛物线的上下左右平移问题；
y=a（xk）2
.2当k0时，向左平移|k|个单位
y-ax当k：
：
o时，向右平移|k|个单位*
y=ax2_当篙时,晋平移|h个单位-
所以将抛物线y=x-2向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是y=（x-1）2•2，选D
3.D.【解析】试题分析：
将
（1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：
2+3;
再向下平移3个单位为：
【故选D.
考点：
二次函数图象与几何变换.
4.C.【解析】试题分析：
由二次函数y=2（x-3）21，可知:
A.Va>0,其图象的开口向上，故此选项错误；
B.T其图象的对称轴为直线3，故此选项错误；
C.其最小值为1,故此选项正确；
D.当xV3时，y随x的增大而减小，故此选项错误.
考点：
二次函数的性质.
5.B【解析】试题分析：
因为抛物线开口向上，顶点P的坐标是
（1,-3）,所以二次函数有最小值是-3.故选B.
考点：
二次函数的性质
6.C.【解析】试题分析：
抛物线y/—4x•6=（x-2）2•2的顶点坐标为（2,2）,把点（2,2）向左平移1个单位，向上平移1个单位得到对应点的坐标为（1,3）,所以平移后的新图象的函数表达式为y=（x—1）23.故选C.
考点：
二次函数图象与几何变换.
7.B【解析】方法1,由平移的可逆性可知将y=x2-2x-3，的图像向左平移2个单位再向上平移3个单位，所得图像为抛物线y=x2•bx•c的图像，又y=x2-2x-3的顶点坐标（1,-4）向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到（-1,-1）,二y=x2bxc=（x1）2「1=x22x，即20；
方法2,y=x2+bx+c的顶点_b,—亡4c向右平移2个单位再向
<24丿
下平移3个单位，得y=x2•bx•c的顶点（1,-4）即-£*2=1二2,
-b4^—4,A0,故选B
4
&（5,3）.【解析】试题分析：
因为顶点式（x-h）2,其顶点坐
标是（）,对照求二次函数一2（x—5）2+3的顶点坐标（5,3）.
故答案是（5,3）.
考点：
二次函数的顶点坐标.
9.（小于）【解析】试题分析：
代入点（0,-1）（1,2）（2,3）有
2
c=-1,一1b「1=2二b=4二y二-x4x「1
y=_x2+4x—1=—（x2—4x+4）+3=—（x—2）+3,因为在0至U1递增，所
以y1的最大值是2,y2的最小值是2,所以小于
考点：
二次函数解析式
点评：
本题属于对二次函数的解析式的顶点式的求法和递增、递
减规律的考查
10.y=-X22x3（顶点式为y=-（X-1）24）.
【解析】试题分析：
：
y=x22x3=（xT）22，二顶点坐标为（-
1,2）,当0时，3,•••与y轴的交点坐标为（0,3），二旋转180°后的对应顶点的坐标为（1,4）,二旋转后的抛物线解析式为
y=-（X-1）24=-x22x3,即y=-x22x3.
考点：
二次函数图象与几何变换.
11.（17）1
【解析】先把2x2-45进行配方得到抛物线的顶点式2
（1）2-7,
根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标和对称轴.
解：
T2x2-45=2（x2-21）-5=2
（1）2-7,
•••二次函数2x2-45的顶点坐标为（1,-7），对称轴为1,故答案为（1,-7）,1.
12.ys【解析】由于点的坐标符合函数解析式，将点的坐标代入直接计
算即可.
解：
将（-2，yi），（-1，y2），（2，y3）分别代入一次函数-4得，
yi=（-2）2-4X（-2）12,y2=（-1）2-4X（-1）5,y3=22-4X24,
•/12>5>-4,二12>5>-4,.'.y1>y2>y3.
按从小到大依次排列为y3故答案为y313.③，④
【解析】找到二次项的系数不是2的函数即可.
解：
二次项的系数不是2的函数有③④.故答案为③，④.考点：
二次函数的变换问题.用到的知识点为二次函数的平移，不改变二次函数的比例系数.
14.右侧
【解析】本题实际是判断抛物线的增减性，根据解析式判断开口
方向，结合对称轴回答问题.
解：
T抛物线2-21中，1<0,抛物线开口向下，
.抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）.填：
右侧.
15.5【解析】考点：
.
分析：
将2x2-201050变形可得：
2（5）2+1000,根据二次函数的
最值关系，问题可求.
解答：
解：
由题意，旅游的支出与人数的多少有关系，
v2X2-201050,
二2（5）2+1000,
•••当5时，y值最小，最小为1000.
点评：
本题考查利用二次函数来求最值问题，将二次函数解析式
适当变形即可.
16.4.【解析】试题解析：
v2-4
（2）24,二4,即4.
考点：
二次函数的性质
17.m>1.【解析】试题分析：
根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的自变量的取值范围.
试题解析：
v二次函数的解析式（）2-1的二次项系数是1,
•该二次函数的开口方向是向上；
又v该二次函数的图象的顶点坐标是（m,-1）,•当xWm时,
即y随x的增大而减小；
而已知中当xv1时，y随x的增大而减小，二m>1.
考点:
二次函数的性质.
18.
（1）（1,0）和（3,0）
（2）5
【解析】解:
（1）令X"，则厂-6,
•••二次函数y=-2x28x-6的图象与y轴的交点坐标为（0,
-6）1分
令0,贝Uy=_2x2•8x一6，求得捲=1,x2=3,
•••二次函数y--2x2・8x—6的图象与x轴的交点坐标为（1,0）和
（3,0）3分
（2）5个4分
19.
（1）2x2+32x
（2）8时最大值是128
【解析】考点：
。
分析：
在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；用面积公式列出二次函数，用二次函数的性质求最大值。
解答：
（1）由题意，得？
（32-2x）,•2x2+32x。
（2）v2v0,：
S有最大值.•232/2X（-2）=8时，
有S最大=（42）/4322/4X（-2）=128。
•8时，S有最大值，最大值是128平方米。
点评：
求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如2-25,3x2-61等用配方法求解比用公式法简便。
20.
（1）2+8x，自变量取值范围：
0（2）^的面积的最大值为162.
【解析】试题分析：
（1）根据矩形的对边相等表示出，然后表示出、，再根据三角形的面积列式整理即可得解，根据点Q先到达
终点确定出x的取值范围即可；
（2）利用二次函数的最值问题解答.
试题解析：
（1）v四边形是矩形，二4,
根据题意，2x，,二16-2x,
Ipbqb，二2+8x自变量取值范围：
OvxW4；
2
（2）当4时，y有最大值，最大值为16二△的面积的
最大值为162.
考点：
二次函数的最值.
21.
（1）（0,1）;
（2）m=±2.k=—1
【解析】试题分析：
（1）令0，代入抛物线解析式，即求得点C的坐标.由求根公式求得点A、B的横坐标，得到点A、B的横坐标的和与积，由相交弦定理求得的值，从而得到点D的坐标.
（2）当又恰好为OP的直径，由垂径定理知，点C与点D关于x轴对称，故得到点C的坐标及k的值.根据一元二次方程的根与系数的关系式表示出线段的长，由三角形的面积公式表示出△的面积，可求得m的值.
（1）易求得点C的坐标为（0,k）
由题设可知xi,x2是方程（x•m）2•k-m2=0即x2
所以X1,2J2m—（］2m）2—4k，所X1X2—2m,X1・X2
由题意知点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，
所以点D的坐标为（0,1）;
（2）因为丄，又恰好为OP的直径，则C、D关于点0对称，
所以点C的坐标为（0,一1），即k_1
又AB=x2一刈=J（x2+xj2-4%|屜=J（_2m）2_4k=2Jm2_k=2Jm2+1,
所以Saabc=〔ABOC=12m2•11〜5解得m=2
22
考点：
一元二次方程求根公式，根与系数的关系，相交弦定理，
垂径定理，三角形面积公式
点评：
本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，如何表示及的长是本题中解题的关键.
22.
（1）证明略；
（2）1;（3）1vbv3,b>逅.
4
【解析】试题分析：
（1）求出根的判别式总是非负数即可；
（3）由求根公式求出两个解，令这两个解是整数求出m即可；
（4）先求出AB的坐标，再根据图像得到b的取值范围.
试题解析：
（1）证明：
：
m^0,二2+（31）3=0是关于x的一元二次方程.
•••△=（31）2-12m=（3m-1）2.v（3m-1）2>0,二方程总有两个实数根.
（2）解：
由求根公式，得X1=—3,X2=」
m
v方程的两个根都是整数，且m为正整数，
二抛物线2+43与x轴的交点为A（-3,0）、B（-1,0）.依题意翻折后的图象如图所示.
当直线经过A点时，可得3.当直线经过B点时，可得
1.二1vbv3.
当直线与—X2—4x-3的图象有唯一公共点时，可得—x2
—4x—3,
•••x2+530,•••△=52—4（3）=0，二兰.•••b>12.
44
综上所述，b的取值范围是1vbv3,b>匹.
4
考点：
根的判别式，求根公式的应用，函数的图像•
23.
（1）证明见解析.
（2）证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出的长的表达式，P点到1的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示和P到1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则1是圆P的切线.
（2）可通过构建相似三角形来求解，过QP作丄直线1,丄直
线1，垂足为R,H,那么////,根据平行线分线段成比例定理可得出：
：
.
（1）中已得出了，那么同理可得出，那么比例关系式可写成：
：
，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可
求出//,根据等角的余角相等，可得出ZZ.
试题解析：
（1）设点P的坐标为（Xo,-Xo）,贝UJx：
+（丄x；-1）2
4V44
又因为点P到直线1的距离为，^x20-（-1）\
1/
120+1
\j
4
所以，以点P为圆心，为半径的圆与直线1
A
/LV
RN
相切.
（2）如图，分别过点P,Q作直线1的垂线，垂足分别
为H,R.
由
（1）知，，同理可得，.
因为，，都垂直于直线1,所以，////,于是QM=MP,所以鱼二电，因此，△“△.
RNNHRNHN
于是ZZ,从而
考点：
二次函数综合题.
24.
（1）（丄2+14x）万元；w甲？
2+990.
（2）15.（3）应选乙地.
2020
【解析】试题分析：
（1）依据年利润=年销售额-全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）求出利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，根据最大年利润为35万元.求出n的值；
（3）分别求出18时，W?
和Wfc的值，通过比较W?
和Wfc大小就可以帮助投资商做出选择.
试题解析：
（1）甲地当年的年销售额为（丄14）?
（丄2+14x）万
2020
元；
w甲=（丄2+14x）-（丄x2+590）22+990.
201020
（2）在乙地区生产并销售时，年利润：
w乙丄2（丄X2+59O）12+（5）90.
10105
12
4ac—b2
4a
4G-）（-90）一（n—5）2
5-=35,解得15或-5.
4（--）
5
经检验，5不合题意，舍去，二15.
（3）在乙地区生产并销售时，年利润
w乙丄2+1090，将18代入上式，得w乙=25.2（万元）；
5
将18代入w甲-A2+990,得w甲=23.4（万元）.
20
VW乙〉W甲,二应选乙地.
考点：
二次函数的应用.
25.
（1）y=x2-2x-3,D（1,-4）;
（2）S1S^S2;（3）M（|,
0）,y=x-色.
2
【解析】试题分析：
（1）把A、B的坐标代入即可求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D的坐标；
（2）利用勾股定理的逆定理判断△为直角三角形，分别求出厶，
△，△的面积，计算即可得到答案；
（3）假设存在，设点m的坐标为（m0）,表示出的长，由//,求出，根据偶△，求出m得到点m的坐标，从而求出的解析式，由于//,设直线的解析式为y=xb，求解即可.
试题解析：
（1）•••抛物线y=x2+bx+c经过A（-1,0）,B（3,0）两点」｛鳥；鳥，解得：
仁3」抛物线的解析式为：
y=x2-2x-3,・.•y=x2-2x-3=（xT）2-4，二点D的坐标为：
（1,-
（2）ss^s2.证明如下:
过点D作丄x轴于点E,丄y轴于F,由题意得，迈,2*5,32,
CD2BC2=BD2，：
.△是直角三角形，S=1XX?
S2=lXX9,
2222
Ss=—xx3,…SiS3=S2；
2
（3）存在点M使ZZ,设点M的坐标为（m0）,T-1Vm<3,
解得，m=3,m2=-1（舍去），二点M的坐标为（—,
22
0），设的解析式为八gb，把B（3,0）,C（0,
-3）代入得，3k^0，解得k"，则的解析式^=-3b=-3
为y=x—3，又//,•••设直线的解析式为y=xb，把
点加坐标为（3,°）代入得，-3一直线的解析式为y*弓.
考点：
1.二次函数综合题；2.存在型；3.探究型；4.和差倍
分；5.动点型；6.综合题；7.压轴题.
26.
（1）厂-62-红・1
（2）点D的坐标为虫,5
33I24丿
（3）满足条件的点P的坐标为（-8,-15）、（2,-5）、（10,
3
—39））
【解析】分析：
（1
升级会员 