用描述函数法分析二阶环路.docx
《用描述函数法分析二阶环路.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《用描述函数法分析二阶环路.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
用描述函数法分析二阶环路
一:
用描述函数法分析二阶环路
描述函数法是将控制系统中非线性元件在特定的输入信号(正弦,直流偏置,高斯随机变量或它们的组合)作用下,用等效线性增益来等效该元件的非线性特性,从而用线性系统的理论去分析非线性系统。
在“非线性最子线路”中,分析混频器采用变领跨导分析法就是这一方法运用的实例。
假定非线性元件输入是正弦变化的信号,一般来说这时非线性元件的输出不是正弦的。
现在我们假设输出是用期性变化的信号,并且其周期与输入信号周期相同。
这时输出中
除了有一次谐波分量之外,还包含有高次谐波。
在描述函数法分析中,认为感兴趣的是输出中的基波分量或某一高次谐波分量。
这种假设通常是正确的,因为在输出中高次谐波分量的振幅通常比—次谐波分量振幅要小,而且大多数系统中非线性元件后跟有滤波器,使需要的那部分分量通过,因而相对基波或所需的那个分量来说,其它分量可以忽略。
非线性元件的描述函数在此主要讲正弦输入情况下的描述函数,是输出的—次谐波分量与输入信号的复数比来定义,即
式中KN为描述函数;E为正弦输入的振幅;G1为输出的一次谐波分量的振幅;
为输出的一次谐波分量对输入信号的相位移。
”
如果在非线性元件中不包含储能元件,则
,K只是输入信号振幅的函数。
若包含储能元件,那么Kn为一复数,是输入信号振幅和频率的函数。
必须指出,描述函数法是线性方法应用于非线性系统研究的进一步推广,它只适用于非线性程度较低的系统。
在非线性程度较高的系统分析中,用它可能会出现一些不正确的结论。
在运用描述函数时,一定不要忘记它的基本假设和限制条件。
例如上面的描述函数是在正弦输八条件下得到的。
另外它比相图法有一个优点,就是可以分析高阶环路,也就是无论什么阶次的非线性元件并不影响分析的复杂性,反而阶次越高对高谐波衰减越大,近似条件也越合理。
二:
用描述函数法分析二阶环路的捕捉时间和捕捉带
若在正弦鉴相器上加入输入信号)和VCO的输出信号分别为
这时环路固有频差为
,鉴相器的输出是一个上下不对称的周期差拍信号,包含直流分量和各次谐波,其后的环路滤波器可滤除高次谐波分量,这样用描述函数的基本思路,可以看成VCO的控制电压为
(3—4—2)
在此,U为控制电压中的直流分量;△U为其基波分量的幅度值,其余谐波分量经环路滤波后可忽略,
为瞬时平均频差,它是一变量,它随时间变化而变化。
VCO的瞬时频率为
;
这样VCO的输出电压可写成
而这PD的输出为:
将此式用贝塞尔函数展开,可知它有直流分星和各次谐波;根据描述函数法的原则,只近似考虑直流分量和它的一次谐波。
若
时,使用描述函效法就更合理,因为这时Ud(t)的高次谐波振幅要比一次谐波分量的振幅要小得多.
因为
瞬时平均频差为:
代入上式有
这式中有直流分量,基波分量和二次谐波分量。
若不计二次谐波分量,则有
我们知道,环路在固有频作用下,能够进入锁定必须是环路能使基波控制电压消失,即为零才行。
鉴相器输出中的直流分量起了使环路锁定的作用。
它通过环路滤波器时,不断地给积分电路充电,产生积累的直流控制电压输出。
使压控振荡器中心频率朝着减小平均频差A。
。
一大。
F/的方向移动。
苦平均频差能减小到进入快捕带z=2Z,那么一定会消失,即为零,环路进入锁定。
反之,若这个直流控制电压始终不能积累到使A‘,减小到快捕带以内,则环路就不能锁定。
显然,环路使M从t=0的平均频差减小到等于快捕带,这一过程所需时间就是环路的频率捕捉时间;能使平均频差减小列快捕带以内的固有频差值就是环路的捕捉带。
为了得到捕捉时间和捕捉带的表达式,必须从计算ud0和ud1的环路滤波器输出端的响应uc0和uc1入手。
由于环路滤波器为一线性电路,可以应用叠加原理分别从Ud0求Uc0。
和由Ud1求Uc1。
另外为了保证环路锁定,一般环路滤波器的带宽远小于检相器输出的基波分量,即
在此条件下,Uc1(t)的振幅是Ud1(t)的振幅乘上环路滤波器的高频传输系数
得
用这结果和式(3—4—2)的假设相比较,可得
上面分析知,已知
又因为
这说明只要瞬时平均频差大于环路快捅带
,就可以使β<l。
这个条件在捕捉过程中总是满足的,因为只要
快捕带,捕捉过程就结束了。
下面再用环路滤波器的线性微分方程从Udo求Uc。
再用上面得到的近似结果和假设条件,求二阶环路的捕捉时间与捕获带的表达式。
因为捕捉过程主要是直流分虽不断积累。
使
靠拢。
对于有源滤波器其微分方程为
上面有:
综合上面的分析结论:
有
所以根据上面得到的结果。
间的关系。
为了同时得到二阶环路的捕捉时间与捕捉带,必须采用环路滤波器的线性微分方程进行时域分析。
下面先分析环路滤波器对基波电压的输出响应.对于有源或无源比例积分滤波器,利用滤波器的线性微分方程,如(门与?
“(f)的关系可写成
rl。
丛系1L=f:
4宅i量—?
”“(门(有W)
fl半个?
、N=f2斗严?
hN(湖)
由于环路滤波器是一线性系统,所以vd(f)也是和山l(f)频率相同,锁定,一阶环路滤波形的带宽远小于鉴相器的基波频率AM,即满足
A。
>1/?
z或AM>。
。
/25
考虑到此条件庸,由—L面两个微分方程可解得
儿l(f)=足‘J。
(夕)十stn(AMf—日o)
显然求得的”d(f)就是前面假设的压控振荡器控制电压(4‘41)式个
/c。
sAof=尺dJ。
(点)斗szn(AMf一60)
Ar;A/dJ。
(A)子
6。
=一90。
使用了两个假设条件,即
Ar。
Ar
月—:
L—撇<1mA。
>。
?
n/2Z
下面进—·步说明两个假设的意义和如何满足它们。
对于第一个假设,用(4—58)式代入得
由于J。
(劝<1,所以可得
p‘警52余
AM>久半=250。
=AM‘
(4—54)
为了保证环路的
(4—55)
(4—56)
的基波项,故
(4—57)
(4—58)
(4—59)
x‘等六=:
i
即第一个条件可满足。
至于满足第二个条件,已由(4—55)式说明。
以—L分析说明,为保证描述函数法用于分析环路捕挠性能的合理性和有效性,存在两个条件,一是为保证近似分析的合理性条件夕<l而导出的A。
>250。
,即要求平均差:
频A。
?
处于环路恢捕带A。
*以外;二是保证分桥捕捉时间与捕促带的有效性条件,即要A。
处于环路滤波器通;带以外而哥出的AM>。
。
/2C9从两个条件导出的结果AM>260。
及AM>M:
/25看出,红>1/2时,只要入M>2EM”必定同时满足。
\M>Mn/25I恰恰相反,当6<l/2时,只要先满足A。
>M。
/25,则AM>25D,也自然满足。
我们使用描述函数炔的;删在于求得环路的捕捉时间与捕捉带,而汁甥捕权时间必定要求描述两数法在环路快捕带AMi=260n以外频域内部有效。
这对于6>l/2的情况是可以保证的,而对于5<l/z时,情况就不同了。
若充满足A。
>Mn/2Z,则可白然满足A。
>2铀。
,这样一来在快捕带260。
勺Mn/25之间却有—‘段频域,描述函数法是无效的。
达就使得征E<l/2时,不能用扔述函数法来完整地计算环路的捕捉时间,好在实际上不常用5<?
/2的环路。
冈4—28表示了上述父系。
·
环路伙捕带
(u9
——2坠壁—音。
一m
24M,b————飞广—————‘
‘s记达函数法k效K
z418t666数日6女R;意M
(a)5>I/:
,(b)C<1/2
根据贝塞尔函数性质,
Ar=XdJ。
(月)令
如何应用—亡面的结果和近似条件进一步求得:
:
阶环捕捉时间与捕捉带呢?
为此,必须在一定冈有频差及具体使用的环路26被器情况下,通道滤波器的线性微分方程来分析”do与儿。
间的关系。
对于有源比例积分滤波器
tl‘露=b蚜?
”“(d—62)
内(4—51)式与(4—59)式可得
比。
=足cJl(夕)s:
n(一60)=尺‘Jl(月)
(4—63)
、。
=xdJL(;给·)=xJJl(
所以充满足A。
>A。
‘条件下得d帕\,?
‘、就是加入几控振荡器卜的且沈电历,项以(4—50)式可马咸
土u=A6)。
一J(。
p/=Au。
一A/。
uM(4—66)
将(4—65)及(1—66)式代入(4—62)式,即得到平均频整AM随时间f业化的微分力
对(4—G7)式川边积分得
i拌)d4c*df
=入’(?
:
/2?
1),八。
,2=Jf(八/八)代入—L式得
ffn=哈彩二,n给(d—ro)
今开=A。
八‘八和Xo=AM。
从M‘,根据(440)式关系,以父。
为参变量什出又—f/fs天
线,如图449所示.
”厂二二二二——————————飞竹效:
m(d—01)女,2MM日u女6:
x’IM曰
小团[:
可不以,只要衣又>l的区域,平均频釜AM是在A。
,o与AMl间单调递减的时间函数,即无论固有频哭A。
。
多大,随着时间的增长AM必定全减小到AMi估。
义结论就是:
环路的捕捉带为无穷大。
这月相图出所得结论一致。
捕捉时间厂,定义为;输入信号与爪控振荡器输出信号间的起始频整(固定频差)AM。
减小到决捕带Ad,i所需的时间。
内(4叶o)式可得
J‘☆*Mn:
mw96MM?
”M;x7,=、n默)‘
Mw小/g22KUR
督儿b足够大,上式右边后两项可忽略,上:
C可近似为
7—Pcr,(e:
)。
—锻
此站见挪川驯奶>析所得的(4—11)式一致。
对于无肋比例积分滤波器格(4—65)及(4—66)式代入上式,得
(eI?
:
一Ao’f1)警=A08一AMoAM。
十。
’AM
,—f。
—oIT:
JAi环黑zZ研—J16占黑话5F
式中积分常如e可根据f=o时AM=A6。
来确定。
根据特征方程A02一AM。
AM十
实根,上述方程的解有两种可能的情况:
(1)当Ad,:
>4。
z=久。
(2?
:
/赢)时,特征方程有两个实根,Bp
d。
8=些——J挚墨已
由(4—75)式可作出A。
—f曲线,如图4’20所示。
由曲线看出;当f=o时,AM,AM。
;随时间的增长,曲线上半部逐渐下降;当f‘M时,Ad。
AM’。
可见lA叨。
[>久√21zZZf时,捕获不可能发生。
但是,由于频率牵引作用,环路平均频差AM接近于A。
’,此时环路处于稳定差拍状态.当AM。
逐渐减小时,AM:
与AM:
合适渐靠扰.在A。
。
趋近于足√—5天万了时,AMl将趋近于A。
a,也趋近于AM。
/?
.这表明由于牵引作用,可使环路频差成小到原来的一半.这个现象可以用实验清楚地证明。
’根据上式可画出A。
—f曲线图,如图4—2l所“先腮院深’”品罗器默;品x翘腮器失态静tg—’而挡雨,于,“万羌5f
r9c气绊;的羔外
盒孟地
到A。
i.因此,司把A4,勿,着作虾皮必始锁走所允许的最大固有频差值,井定义为此环路的捕授带,即
A。
:
=d02=久’(zf:
/?
n);z尼(签专)
;2尺(250。
A。
’=2V久(5g”
图d“zl非66三阶环貉捕获状态下通常总满足260.》1/勘,所以无源比例积分油A。
随时目变化自B波器二阶环路的捕捉带为A。
,影2√互员于(4—78)
考虑采用有源比例积分滤波器的二阶环时,由于又增大众倍,所以它的捕捉带为
AM,=2√五万不万z—(4H79)
在捕获状态下,我们把AM从A。
。
下降到A。
s所需的时间定义为捕捉时间厂。
.若A“。
>
,则根据(4—76)式可得假若环路增益较高,足》Ao。
,则(4—80)式中第二顷可赂去.
40。
》Ao:
,所以上式可进一步简化为可见,无源比例积分滤波器的二阶环捕湿时间与高增益二阶5F捕捉时间表达式近似而且与相图治得到的结果相.