matlab中插值拟合与查表.docx
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matlab中插值拟合与查表
MATLAB中的插值、拟合与查表
插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。
在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y=f（x）的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ（x），使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。
用简单函数y=φ（x）在点x处的值来估计未知函数y=f（x）在x点的值。
寻找这样的函数φ（x），办法是很多的。
φ（x）可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ（x）可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。
函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。
在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。
根据测量数据的类型：
1．测量值是准确的，没有误差。
2．测量值与真实值有误差。
这时对应地有两种处理观测数据方法：
1．插值或曲线拟合。
2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。
MATLAB中提供了众多的数据处理命令。
有插值命令，有拟合命令，有查表命令。
2.2.1插值命令
命令1interp1
功能一维数据插值（表格查找）。
该命令对数据点之间计算内插值。
它找出一元函数f（x）在中间点的数值。
其中函数f（x）由所给数据决定。
各个参量之间的关系示意图为图2-14。
格式yi=interp1（x,Y,xi）%返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内插值决定。
参量x指定数据Y的点。
若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。
yi是阶数为length（xi）*size（Y,2）的输出矩阵。
yi=interp1（Y,xi）%假定x=1:
N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。
yi=interp1（x,Y,xi,method）%用指定的算法计算插值：
’nearest’：
最近邻点插值，直接完成计算；
’linear’：
线性插值（缺省方式），直接完成计算；
’spline’：
三次样条函数插值。
对于该方法，命令interp1调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。
这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。
命令spline用它们执行三次样条函数插值；
’pchip’：
分段三次Hermite插值。
对于该方法，命令interp1调用函数pchip，用于对向量x与y执行分段三次内插值。
该方法保留单调性与数据的外形；
’cubic’：
与’pchip’操作相同；
’v5cubic’：
在MATLAB5.0中的三次插值。
对于超出x范围的xi的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。
对其他的方法，interp1将对超出的分量执行外插值算法。
yi=interp1（x,Y,xi,method,'extrap'）%对于超出x范围的xi中的分量将执行特殊的外插值法extrap。
yi=interp1（x,Y,xi,method,extrapval）%确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN或0。
例2-31
>>x=0:
10;y=x.*sin（x）;
>>xx=0:
.25:
10;yy=interp1（x,y,xx）;
>>plot（x,y,'kd',xx,yy）
例2-32
>>year=1900:
10:
2010;
>>product=[75.99591.972105.711123.203131.669150.697179.323203.212226.505249.633256.344267.893];
>>p1995=interp1（year,product,1995）
>>x=1900:
1:
2010;
>>y=interp1（year,product,x,'pchip'）;
>>plot（year,product,'o',x,y）
插值结果为：
p1995=
252.9885
命令2interp2
功能二维数据内插值（表格查找）
格式ZI=interp2（X,Y,Z,XI,YI）%返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素，即Zi（i,j）←[Xi（i,j）,yi（i,j）]。
用户可以输入行向量和列向量Xi与Yi，此时，输出向量Zi与矩阵meshgrid（xi,yi）是同型的。
同时取决于由输入矩阵X、Y与Z确定的二维函数Z=f（X,Y）。
参量X与Y必须是单调的，且相同的划分格式，就像由命令meshgrid生成的一样。
若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点，则相应地返回nan（NotaNumber）。
ZI=interp2（Z,XI,YI）%缺省地，X=1:
n、Y=1:
m，其中[m,n]=size（Z）。
再按第一种情形进行计算。
ZI=interp2（Z,n）%作n次递归计算，在Z的每两个元素之间插入它们的二维插值，这样，Z的阶数将不断增加。
interp2（Z）等价于interp2（z,1）。
ZI=interp2（X,Y,Z,XI,YI,method）%用指定的算法method计算二维插值：
’linear’：
双线性插值算法（缺省算法）；
’nearest’：
最临近插值；
’spline’：
三次样条插值；
’cubic’：
双三次插值。
例2-33：
>>[X,Y]=meshgrid（-3:
.25:
3）;
>>Z=peaks（X,Y）;
>>[XI,YI]=meshgrid（-3:
.125:
3）;
>>ZZ=interp2（X,Y,Z,XI,YI）;
>>surfl（X,Y,Z）;holdon;
>>surfl（XI,YI,ZZ+15）
>>axis（[-33-33-520]）;shadingflat
>>holdoff
插值图形为图2-17。
例2-34
>>years=1950:
10:
1990;
>>service=10:
10:
30;
>>wage=[150.697199.592187.625
179.323195.072250.287
203.212179.092322.767
226.505153.706426.730
249.633120.281598.243];
>>w=interp2（service,years,wage,15,1975）
插值结果为：
w=
190.6288
命令3interp3
功能三维数据插值（查表）
格式VI=interp3（X,Y,Z,V,XI,YI,ZI）%找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V（X,Y,Z）在点（XI,YI,ZI）的值。
参量XI,YI,ZI是同型阵列或向量。
若向量参量XI,YI,ZI是不同长度，不同方向（行或列）的向量，这时输出参量VI与Y1,Y2,Y3为同型矩阵。
其中Y1,Y2,Y3为用命令meshgrid（XI,YI,ZI）生成的同型阵列。
若插值点（XI,YI,ZI）中有位于点（X,Y,Z）之外的点，则相应地返回特殊变量值NaN。
VI=interp3（V,XI,YI,ZI）%缺省地，X=1:
N，Y=1:
M，Z=1:
P，其中，[M,N,P]=size（V），再按上面的情形计算。
VI=interp3（V,n）%作n次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的三维插值。
这样，V的阶数将不断增加。
interp3（V）等价于interp3（V,1）。
VI=interp3（…,method）%用指定的算法method作插值计算：
‘linear’：
线性插值（缺省算法）；
‘cubic’：
三次插值；
‘spline’：
三次样条插值；
‘nearest’：
最邻近插值。
说明在所有的算法中，都要求X,Y,Z是单调且有相同的格点形式。
当X,Y,Z是等距且单调时，用算法’*linear’，’*cubic’，’*nearest’，可得到快速插值。
例2-35
>>[x,y,z,v]=flow（20）;
>>[xx,yy,zz]=meshgrid（.1:
.25:
10,-3:
.25:
3,-3:
.25:
3）;
>>vv=interp3（x,y,z,v,xx,yy,zz）;
>>slice（xx,yy,zz,vv,[69.5],[12],[-2.2]）;shadinginterp;colormapcool
命令4interpft
功能用快速Fourier算法作一维插值
格式y=interpft（x,n）%返回包含周期函数x在重采样的n个等距的点的插值y。
若length（x）=m，且x有采样间隔dx，则新的y的采样间隔dy=dx*m/n。
注意的是必须n≥m。
若x为一矩阵，则按x的列进行计算。
返回的矩阵y有与x相同的列数，但有n行。
y=interpft（x,n,dim）%沿着指定的方向dim进行计算
命令5griddata
功能数据格点
格式ZI=griddata（x,y,z,XI,YI）%用二元函数z=f（x,y）的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。
griddata将返回曲面z在点（XI,YI）处的插值。
曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的。
输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid生成的一样）。
XI可以是一行向量，这时XI指定一有常数列向量的矩阵。
类似地，YI可以是一列向量，它指定一有常数行向量的矩阵。
[XI,YI,ZI]=griddata（x,y,z,xi,yi）%返回的矩阵ZI含义同上，同时，返回的矩阵XI,YI是由行向量xi与列向量yi用命令meshgrid生成的。
[…]=griddata（…,method）%用指定的算法method计算：
‘linear’：
基于三角形的线性插值（缺省算法）；
‘cubic’：
基于三角形的三次插值；
‘nearest’：
最邻近插值法；
‘v4’：
MATLAB4中的griddata算法。
命令6spline
功能三次样条数据插值
格式yy=spline（x,y,xx）%对于给定的离散的测量数据x,y（称为断点），要寻找一个三项多项式p（x）以逼近每对数据（x,y）点间的曲线。
过两点只能确定一条直线，而通过一点的三次多项式曲线有无穷多条。
为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性，要增加两个条件（因为三次多项式有4个系数）。
综合上述内容，可知对数据拟合的三次样条函数p（x）是一个分段的三次多项式.
该命令用三次样条插值计算出由向量x与y确定的一元函数y=f（x）在点xx处的值。
若参量y是一矩阵，则以y的每一列和x配对，再分别计算由它们确定的函数在点xx处的值。
则yy是一阶数为length（xx）*size（y,2）的矩阵。
pp=spline（x,y）%返回由向量x与y确定的分段样条多项式的系数矩阵pp，它可用于命令ppval、unmkpp的计算。
例2-36
对离散地分布在y=exp（x）sin（x）函数曲线上的数据点进行样条插值计算：
>>x=[024581212.817.219.920];y=exp（x）.*sin（x）;
>>xx=0:
.25:
20;
>>yy=spline（x,y,xx）;
>>plot（x,y,'o',xx,yy）
命令7interpn
功能n维数据插值（查表）
格式VI=interpn（X1,X2,,…,Xn,V,Y1,Y2,…,Yn）%返回由参量X1,X2,…,Xn,V确定的n元函数V=V（X1,X2,…,Xn）在点（Y1,Y2,…,Yn）处的插值。
参量Y1,Y2,…,Yn是同型的矩阵或向量。
若Y1,Y2,…,Yn是向量，则可以是不同长度，不同方向（行或列）的向量。
它们将通过命令ndgrid生成同型的矩阵，再作计算。
若点（Y1,Y2,…,Yn）中有位于点（X1,X2,…,Xn）之外的点，则相应地返回特殊变量NaN。
VI=interpn（V,Y1,Y2,…,Yn）%缺省地，X1=1:
size（V,1），X2=1:
size（V,2），…，Xn=1:
size（V,n），再按上面的情形计算。
VI=interpn（V,ntimes）%作ntimes次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的n维插值。
这样，V的阶数将不断增加。
interpn（V）等价于interpn（V,1）。
VI=interpn（…,method）%用指定的算法method计算：
‘linear’：
线性插值（缺省算法）；
‘cubic’：
三次插值；
‘spline’：
三次样条插值法；
‘nearest’：
最邻近插值算法。
命令8meshgrid
功能生成用于画三维图形的矩阵数据。
格式[X,Y]=meshgrid（x,y）将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min（x），max（x），min（y），max（y）]用直线x=x（i）,y=y（j）（i=1,2,…,length（x），j=1,2,…,length（y））进行划分。
这样，得到了length（x）*length（y）个点，这些点的横坐标用矩阵X表示，X的每个行向量与向量x相同；这些点的纵坐标用矩阵Y表示，Y的每个列向量与向量y相同。
其中X,Y可用于计算二元函数z=f（x,y）与三维图形中xy平面矩形定义域的划分或曲面作图。
[X,Y]=meshgrid（x）%等价于[X,Y]=meshgrid（x,x）。
[X,Y,Z]=meshgrid（x,y,z）%生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f（x,y,z）或三维容积图。
例2-37
[X,Y]=meshgrid（1:
3,10:
14）
计算结果为：
X=
123
123
123
123
123
Y=
101010
111111
121212
131313
141414
命令9ndgrid
功能生成用于多维函数计算或多维插值用的阵列
格式[X1,X2,…,Xn]=ndgrid（x1,x2,…,xn）%把通过向量x1,x2,x3…,xn指定的区域转换为数组x1,x2,x3,…,xn。
这样，得到了length（x1）*length（x2）*…*length（xn）个点，这些点的第一维坐标用矩阵X1表示，X1的每个第一维向量与向量x1相同；这些点的第二维坐标用矩阵X2表示，X2的每个第二维向量与向量x2相同；如此等等。
其中X1,X2,…,Xn可用于计算多元函数y=f（x1,x2,…,xn）以及多维插值命令用到的阵列。
[X1,X2,…,Xn]=ndgrid（x）%等价于[X1,X2,…,Xn]=ndgrid（x,x,…,x）
2.2.2查表命令
命令1table1
功能一维查表
格式Y=table1（TAB,X0）%返回用表格矩阵TAB中的行线性插值元素，对X0（TAB的第一列查找X0）进行线性插值得到的结果Y。
矩阵TAB是第一列包含关键值，而其他列包含数据的矩阵。
X0中的每一元素将相应地返回一线性插值行向量。
矩阵TAB的第一列必须是单调的。
例2-38
>>tab=[（1:
4）'hilb（4）]
>>y=table1（tab,[12.33.64]）
查表结果为：
tab=
1.00001.00000.50000.33330.2500
2.00000.50000.33330.25000.2000
3.00000.33330.25000.20000.1667
4.00000.25000.20000.16670.1429
Warning:
TABLE1isobsoleteandwillberemovedinfutureversions.UseINTERP1orINTERP1Qinstead.
>InD:
\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table1.matline31
y=
1.00000.50000.33330.2500
0.45000.30830.23500.1900
0.28330.22000.18000.1524
0.25000.20000.16670.1429
由上面结果可知，table1是一将要废弃的命令。
命令2table2
功能二维查表
格式Z=table1（TAB,X0,Y0）%返回用表格矩阵TAB中的行与列交叉线性线性插值元素，对X0（TAB的第一列查找X0）进行线性插值，对Y0（TAB的第一行查找Y0）进行线性插值，对上述两个数值进行交叉线性插值，得到的结果为Z。
矩阵TAB是第一列与第一行列都包含关键值，而其他的元素包含数据的矩阵。
TAB（1,1）的关键值将被忽略。
[X0,Y0]中的每点将相应地返回一线性插值。
矩阵TAB的第一行与第一列必须是单调的。
例2-39
>>tab=[NaN1:
4;（1:
4）'magic（4）]
>>y=table2（tab,[233.7],[1.32.34]）
查表的结果为：
tab=
NaN1234
1162313
2511108
397612
4414151
Warning:
TABLE2isobsoleteandwillberemovedinfutureversions.UseINTERP2instead.
>InD:
\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table2.matline24
Warning:
TABLE1isobsoleteandwillberemovedinfutureversions.UseINTERP1orINTERP1Qinstead.
>InD:
\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table1.matline31
InD:
\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table2.matline29
Warning:
TABLE1isobsoleteandwillberemovedinfutureversions.UseINTERP1orINTERP1Qinstead.
>InD:
\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table1.matline31
InD:
\MATLABR12\toolbox\matlab\polyfun\table2.matline31
y=
6.800010.70008.0000
8.40006.700012.0000
7.420012.02004.3000
由上面的结果可知，table2是将要废弃的命令。
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