易错题青岛版九年级上《第二章解直角三角形》单元试题教师用.docx

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易错题青岛版九年级上《第二章解直角三角形》单元试题教师用

【易错题解析】青岛版九年级数学上册第二章解直角三角形单元检测试题

一、单选题（共10题；共30分）

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2,BC=1,则tanA的值是（   ）

A.                                         

B. 2                                        

C.                                         

D. 

【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【分析】利用用正切概念求即可..

故选A．

2.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值（  ）

A. 不变                      

B. 缩小为原来的                      

C. 扩大为原来的3倍                      

D. 不能确定

【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：

在Rt△ABC中，设∠C为直角，则sinA=，

当把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,

则sinA=,

sinA的值不变。

故答案为：

A。

【分析】考查正弦函数的定义，在直角三角形中，每条边的长度同时扩大相同的倍数，正弦值不变。

3.（2016•包头）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则tanA的值为（ ）

A.                                        B.                                        C.                                        D. 

【答案】A

【考点】角平分线的性质，特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：

∵点O到△ABC三边的距离相等，

∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠OBC+∠OCB）=180°﹣2×（180°﹣∠BOC）=180°﹣2×（180°﹣120°）=60°，

∴tanA=tan60°=，

故选A．

【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A，再由特殊角的三角函数的定义求得结论．本题主要考查角平分线的性质，三角形内角和定理，正切三角函数的定义，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．

4.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东方向，那么这艘船位于这个灯塔的（  ）

A. 南偏西50°                         B. 南偏西40°                         C. 北偏东50°                         D. 北偏东40°

【答案】B

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：

在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40°方向，那么这艘船位于这个灯塔的南偏西40°方向．故答案为：

B．【分析】画出灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，再在这艘船处画方位图即可知这艘船位于这个灯塔的方向。

5.如图所示的四条射线中，表示北偏东60°的是（　　）

A. 射线OA

                              B. 射线OB

                              C. 射线OC

                              D. 射线OD

【答案】A

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【解答】解：

表示北偏东60°的是射线OA．

故选：

A．

【分析】利用方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向，进而得出答案．

6.α为锐角，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则α=（  ）

A. 30°                                   

B. 45°                                   

C. 30°或150°                                   

D. 60°

【答案】B

【考点】根的判别式，特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：

方程化为一般形式为：

x2﹣2sinα•x+1=0，∵关于x的一元二次方程x2﹣2sinα•x+1=0有两个相等的实数根，

∴△=（2sinα）2﹣4=0，即sin2α=，

解得，sinα=，sinα=﹣（舍去）．

∴α=45°．

故选B．

【分析】因为方程有两个相等的实数根，则△=22﹣4（﹣m）=0，解关于sinα的方程，求出sinα的值，再据此求出α的值即可．

7.某人沿着有一定坡度的坡面走了10米，此时他与水平地面的垂直距离为6米，则他水平前进的距离为（　　）米．

A. 5                                           B. 6                                           C. 8                                           D. 10

【答案】C

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】根据某人沿着有一定坡度的坡面走了10米，此时他与水平地面的垂直距离为6米，利用勾股定理求得水平距离．

【解答】∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米．此时他与水平地面的垂直距离为6米，

∴根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为：

=8米．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出．

8.已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（  ）

A.                                       

B.                                       

C.                                       

D. 

【答案】D

【考点】垂径定理的应用，正多边形和圆，锐角三角函数的定义

【解析】【解答】：

解：

如图所示    

连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，

又∵BC=12，

∴BD=BC=6，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠OBD=30∘，

∴OB===4

故答案为：

D .

【分析】根据垂径定理得出BD的长度，然后根据正三角形的性质得出∠OBD=30∘，然后根据锐角三角函数的定义得出OB的长度。

9.已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高，AC＝8，BC＝6，则cos∠BCD的值是（  ）

A.                                           B.                                           C.                                           D. 

【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【分析】先根据题意画出图形，再根据同角的余角相等得到∠BCD=∠A，然后根据勾股定理求得AB的长，最后根据锐角三角函数的概念即可求得结果。

∵CD是Rt△ABC斜边AB边上的高，

∴∠BCD+∠ACD=∠A+∠ACD=90°

∴∠BCD=∠A

∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，

∴AB==10

∴cos∠BCD=cosA=

故选A.

【点评】解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，注意三角函数值只与角的大小有关。

10.如图，三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形ABD,ACE,BCF,然后连结AF,BE,CD,这三线交于一点O，那么下列结论中 ①△ADC≌△ABE；②△AMD∽△OMB；③cos∠COE=；④∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°正确的个数是

A. 1                                           

B. 2                                           

C. 3                                           

D. 4

【答案】D

【考点】全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法以及等边三角形的性质逐项分析即可．

【解答】①∵△ADB，△AEC是等边三角形，

∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，

∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠EAB=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE，

在△DAC和△BAE中，

AD＝AB

∠DAC＝∠BAE

AC＝AE

∴△ADC≌△ABE，故①正确；

②∵△ADC≌△ABE，

∴∠ADC=∠ABE，

∵∠AMD=∠OMB，

∴△AMD∽△OMB，故②正确；

③∵△AMD∽△OMB，

∴∠DAM=∠BOM=60°，

∴∠COE=∠BOM=60°，

∴cos∠COE=，故③正确；

④由③可知：

∠COE=∠BOM=60°，

∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，故④正确；

故选D．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及60度角的锐角三角函数值，题目的解答环环相扣，题目设计新颖独特

二、填空题（共10题；共30分）

11.sin260°+cos260°﹣tan45°=________．

【答案】0

【考点】特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：

原式=（

）2+（）2﹣1=0．

故答案为：

0．

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．

12.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，tanA=2，则BC=________．

【答案】10

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：

∵tanA=，

∴BC=AC•tanA=5×2=10．

故答案是：

10．

【分析】根据已知条件tanA=2=可求BC的长。

13.如图，当小明沿坡度i=1：

3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC=________米．（结果可以用根号表示）．

【答案】30

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题

【解析】【解答】解：

∵小明沿坡度i=1：

3的坡面由A到B行走了100米，

∴设BC=x，则AC=3x，故x2+（3x）2=1002，

解得：

x=10，

那么小明行走的水平距离AC=30（m）．

故答案为：

30．

【分析】设BC=x米，由坡度i=1：

3可得AC=3x米，在Rt△ABC中由勾股定理可求得x的值，即可得答案.

14.如图，边长为2的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为________．

【答案】

【考点】三角形中位线定理，锐角三角函数的定义

【解析】【解答】过点D作DF⊥BC于点F．

∵△ABC是边长为4的等边三角形，

∴AB=BC=AC=4，∠B=60°，

又∵DE为中位线，

∴DE=BC=2，BD=AB=2，DE∥BC，

∴DF=BD•sin∠B=2×=，

∴四边形BCED的面积为：

DF×（DE+BC）=××（2+4）=3．

故答案是：

3．

【分析】过点D作DF⊥BC于点F．根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC=4，∠B=60°，根据三角形的中位线定理得出BD,DE的长，及DE∥BC，在Rt△BDF中，根据正弦函数的定义，由DF=BD•sin∠B，得出DF的长，然后根据梯形的面积计算公式即可得出答案。

15.已知菱形的边长为3，一个内角为60°，则该菱形的面积是________．

【答案】

【考点】等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：

如图所示：

连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，

∵菱形的边长为3，

∴AB=BC=3，

∵有一个内角是60°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AM=ABsin60°=.

∴此菱形的面积为：

3×=.

【分析】如图所示：

连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，首先根据菱形的性质及等边三角形的判定判断出△ABC是等边三角形，根据正弦函数的定义由AM=ABsin60°得出AM的长，再根据菱形的面积等于底乘以高即可得出答案。

16.如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为________．

【答案】

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：

如图：

，

tanB==．

故答案是：

．

【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．

17.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=2，则AB=________．

【答案】4

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】解：

∵CE所在直线垂直平分线段AD，

∴CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE．

∵CD平分∠BCE，

∴∠DCE=∠DCB．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE=∠ACB=30°，

∴∠A=60°，

∴AB==4．

故答案为：

4．

【分析】由CE是线段AD的垂直平分线，根据等腰三线合一的性质，可得CE平分∠ACD，而CD平分∠BCE，可得∠ACE=∠ACB=30°，由三角函数可求得AB的值。

18.BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD的长为________.

【答案】、或

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】如图1：

 BD=1，tan∠ABD= 

如图2：

BD=1，tan∠ABD= 

如图3：

 BD=1，tan∠ABD=

又

综上述，、或

故答案为：

、或 

【分析】此题有3种情况，第一种情况，等腰三角形ABC的顶角A是锐角时，由解直角三角形可以求出CD的长；第二种情况，等腰三角形ABC的顶角A是钝角时，由解直角三角形可以求出CD的长；第三种情况，等腰三角形ABC的顶角C是钝角时，由解直角三角形可以求出CD的长。

19.（2017•贵港）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为________．

【答案】

【考点】等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质

【解析】【解答】解：

连接PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，

∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，

∴△CPP′为等边三角形，

∴PP′=PC=6，

∵△ABC为等边三角形，

∴CB=CA，∠ACB=60°，

∴∠PCB=∠P′CA，

在△PCB和△P′CA中

，

∴△PCB≌△P′CA，

∴PB=P′A=10，

∵62+82=102，

∴PP′2+AP2=P′A2，

∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，

∴sin∠PAP′===．

故答案为．

【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．

20.如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为________米（结果保留根号）．

【答案】100+100

【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【解答】解：

∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，

∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．∵CD=100米，

∴AD=CD=100米，DB==100米，

∴AB=AD+DB=100+100（米）．

 故答案为：

100+100．

【分析】由已知可得出∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．再根据CD的长，利用解直角三角形分别求出AD、BD的长，就可得出结果。

三、解答题（共9题；共60分）

21.计算：

．

【答案】解：

，

=，

=．

【考点】零指数幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值

【解析】【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

22.如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，坝高20米，斜坡AB的坡比为1：

2.5，斜坡CD的坡比为1：

2，求大坝的截面面积

【答案】解：

∵斜坡AB的坡度i=1：

2.5，∴，

∵斜坡CD的坡度i=1：

2，∴，

∵BE=20米，∴AE=50米，DF=40米，

∵EF=BC，BC=5米，

∴EF=5米，

∴AD=AE+EF+DF=50+5+40=95米

∴S梯形ABCD= （AD+BC）×BE=×100×20=1000（平方米）

【考点】解直角三角形的应用，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题

【解析】【分析】坡度是垂直距离与水平距离的比，坡度＝（高程差/水平距离）.本题考查了解直角三角形的应用.

23.如图，从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别为，，此时热气球C处所在位置到地面上点A的距离为400米.求地面上A，B两点间的距离.

【答案】解:

过点C作于点D

由题意得,

∵在Rt△ACD中,,

∴CD=AC==400×=200（m） 

AD=AC==400×=200（m）

∵在Rt△BCD中,tanB=

∴BD===200（m）

∴AB=AD+BD=m

答：

地面上A，B两点间的距离为m.

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】 过点C作CD⊥AB于点D，先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°可求出∠B与∠A的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论.

24.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：

≈2.449，结果保留整数）

【答案】解：

作PC⊥AB交于C点，

由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．

在Rt△APC中，PC=PA•cos∠APC=40（海里）．

在Rt△PCB中，PB=≈98（海里）．

答：

此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题

【解析】【分析】构造直角三角形，作PC⊥AB交于C点；由方位角易知∠APC=30°，∠BPC=45°，则根据解直角三角形的知识解答即可．

25.如图，某人由西向东行走到点A，测得一个圆形花坛的圆心O在北偏东60°，他继续向东走了60米后到达点B，这时测得圆形花坛的圆心O在北偏东45°，已知圆形花坛的半径为51米，若沿AB的方向修一条笔直的小路（忽略小路的宽度），则此小路会通过圆形花坛吗？

请说明理由．（参考数据≈1.73，≈1.41）

【答案】解：

此小路会通过圆形花坛．

理由：

过点O作OD⊥AC，交AB延长线于D．

设OD为x米，在Rt△OBD中，

∠OBD=90°﹣45°=45°．

∴BD=OD=x米．

在Rt△OAD中，

∵∠OAD=90°﹣60°=30°

∴AD==x，

∵AD=AB+BD，

∴x=60+x，

∴x==30（+1）＞51，

∴此小路会通过圆形花坛．

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】过点O作OD⊥AC，交AB延长线于D．在Rt△OBD中和在Rt△OAD中，根据三角函数求出AD,BD就可以表示出OD，根据AB等于60，就得出一个关于OD的方程，求得OD，从而判断出小路是否会通过圆形花坛．

26.如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层（AB⊥BC），他家的后面有一建筑物CD（CD//AB），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A处测得建筑物CD的底部C的俯角是43°，顶部D的仰角是25°，他又测得两建筑物之间的距离BC是28米，请你帮助小明求出建筑物CD的高度（精确到1米）．

（参考数据：

sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）

【答案】解：

过点A作AE⊥CD，垂足为点E，

由题意得，AE=BC=28，∠EAD＝25°，∠EAC＝43°，

在Rt△ADE中，∵，∴，

在Rt△ACE中，∵，∴，

∴（米），

答：

建筑物CD的高度约为39米

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】过点A作AE⊥CD，解直角三角形求出DE和CE，即可求出CD．

27.如图，教室窗户的高度AF为2.5米，遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离为AD，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角∠BPC为30°，PE为窗户的一部分在教室地面所形成的影子且长为米，试求AD的长度．（结果带根号）

【答案】解：

过点E作EG∥AC交PD于G点，

∵EG=EP•tan30°=

=1，四边形BFEG是平行四边形，

∴BF=EG=1，

即AB=AF﹣BF=2.5﹣1=1.5，

在Rt△ABD中，

（米），

∴AD的长为

米．

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】由题意可知，在三角形ABD中，已知∠D=入射角=30°，求AD，因此必须求出AB或BD，但是和DB相关联的知识点没有，必须求出AB，而AF=2.5为已知，因此必须要有BF的值，在做EG∥AC后，四边形BFEG为平行四边形，所以EG=BF，综上所述，EG的长为关键，在直角三角形PEG中，EG=EP•tan30°=1，AB=AF﹣BF=AF﹣EG=1.5，在直角三角形ABD中AD=，故可求得AD的值．

28.小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．

【答案】解：

如图，

∵∠ADG=30°，A