高中数学《三角函数》详解公式精题附讲解.docx
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高中数学《三角函数》详解公式精题附讲解
高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言
三角函数是中学数学的基本重要内容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个内容。
其考查内容包括：
三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。
两倍角的正弦、余弦、正切。
、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。
要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。
了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。
由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等内容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。
2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。
每年有2—3道选择题或填空题，或1—2道选择、填空题和1道解答题。
总的分值为15分左右，占全卷总分的约10左右。
（1）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与y=sinx的图象关系。
根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。
如2000年第（5）题、（17）题的第二问。
（2）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。
如2002年（15）题。
（3）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（4）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。
一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。
如2001年（7）题。
（5）关于反三角函数，2000—2002年已连续三年不出现。
（6）三角与其他知识的结合（如1999年第18题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。
二、复习策略1、近几年的高考已经坚决抛弃对复杂三角变换及特殊技巧的考查，重点已转移到对基础和基本技能的考查上。
所以复习中用好教材、打好基础犹为重要。
（1）一定要掌握好三角函数的图象，特别是的图象的五点法作图及平移、伸缩作图。
（2）熟知三角函数的基本性质、切实掌握判定三角函数奇偶性、确定单调区间及求周期的方法。
（3）熟练掌握三角变换的基本公式，弄清公式的推导关系和互相联系，把基本公式记准用熟。
*******************************************************************************《三角函数公式大全》
锐角三角函数公式
sinα=∠α的对边/斜边
cosα=∠α的邻边/斜边
tanα=∠α的对边/∠α的邻边
cotα=∠α的邻边/∠α的对边
倍角公式
Sin2A=2SinA?
CosA
Cos2A=CosA-SinA=1-2SinA=2CosA-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA）
（注：
SinA是sinA的平方sin2（
1+cos2α=2cosα
1-cos2α=2sinα
1+sinα=（sinα/2+cosα/2）
=2sina（1-sin²a）+（1-2sin²a）sina
=3sina-4sin³a
cos3a
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos²a-1）cosa-2（1-sin²a）cosa
=4cos³a-3cosa
sin3a=3sina-4sin³a
=4sina（3/4-sin²a）
=4sina[（√3/2）²-sin²a]
=4sina（sin²60°-sin²a）
=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3a=4cos³a-3cosa
=4cosa（cos²a-3/4）
=4cosa[cos²a-（√3/2）²]
=4cosa（cos²a-cos²30°）
=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]
=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
半角公式
tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）;
cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.
sin（a/2）=（1-cos（a））/2
cos（a/2）=（1+cos（a））/2
tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））
三角和
sin（α+β+γ）=sinα²cosβ²cosγ+cosα²sinβ²cosγ+cosα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²sinγ
cos（α+β+γ）=cosα²cosβ²cosγ-cosα²sinβ²sinγ-sinα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα²tanβ²tanγ）/（1-tanα²tanβ-tanβ²tanγ-tanγ²tanα）
两角和差
cos（α+β）=cosα²cosβ-sinα²sinβ
cos（α-β）=cosα²cosβ+sinα²sinβ
sin（α±β）=sinα²cosβ±cosα²sinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα²tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα²tanβ）
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）
积化和差
sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2诱导公式
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（—a）=-tanα
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tanA=sinA/cosA
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：
奇变偶不变，符号看象限万能公式
sinα=2tan（α/2）/［1+tan＾（α/2）］cosα=［1-tan＾（α/2）］/1+tan＾（α/2）］tanα=2tan（α/2）/［1-tan＾（α/2）］
其它公式
（1）（sinα）+（cosα）=1
（2）1+（tanα）=（secα）
（3）1+（cotα）=（cscα）
证明下面两式,只需将一式,左右同除（sinα）,第二个除（cosα）即可
（4）对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan（A+B）=tan（π-C）
（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）
（7）（cosA）+（cosB）+（cosC）=1-2cosAcosBcosC
（8）（sinA）+（sinB）+（sinC）=2+2cosAcosBcosC
（9）sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+„„+sin[α+2π*（n-1）/n]=0
cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+„„+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及
sin（α）+sin（α-2π/3）+sin（α+2π/3）=3/2
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0
********************************************************************三角函数专题复习：
（1）求函数
（2）函数的初相的问题的图象及应用
（3）三角函数的最值问题
（4）角的拆拼在求值中的应用
［教学目的］
通过对四个三角函数中的热点问题的专题研究，引导学生复习三角函数中的主要知识点和重点题型的解题方法，深层挖掘三角函数的）
图1
A.
B.
C.
D.
解：
由已知，易得A＝2
函数图象过（0，1）和，再考虑到
故选C。
例2.（20XX年福建）函数
2所示，则（）
的部分图象如图
图2
A.
B.
C.
D.解：
由图象知
∵点（3，0）是在函数的单调递减的那段曲线上。
因此
∴令，得，故选C。
2、由奇偶性求
是R上的偶函数，例3.（2003全国）已知函数
其图象关于点解：
由即
所以对称，且在区间上是单调函数，求的值。
是偶函数，得对任意x都成立，且
，由
3、由最值求
例4.函数
得最大值，则，解得以2为最小正周期，且能在x=2时取的一个值是（）
A.
B.
C.
D.解：
∵当时取得最大值，即
当时，，故选A。
四、由对称性求
，图象的一条对称例5.（2005全国）设函数轴是直线，求。
解：
因为是函数的图象的对称轴，所以
（二）函数
下面我们谈一谈函数
1、显示水深
例6.（2004湖北）设是某港口水的深度y（米）关于时间t
（时）的函数，其中的图象及应用的图象在日常生产、生活中的几个应用。
。
下表是该港口某一天从0时到24时记录的时间t与水深y的关系：
经长期观测，函数的图象可以近似地看成函数的图象。
下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（）
A.
B.
C.
解：
由已知数据，易得的周期为T＝
12
由已知易得振幅A＝3
又t＝0时，y＝12，∴k＝12∴令得故
2、确定电流最值
例7.如图3表示电流I与时间t的函数关系式：
I=
（1）根据图象写出I=的解析式；在同一周期内的图象。
（2）为了使I=
小值，那么正整数中t在任意－段的最小值是多少？
秒的时间内电流I能同时取得最大值和最
图3
解：
（1）由图知A＝300，，
由得
（2）问题等价于，∴正整数，即的最小值为314。
3、显示最大温差
例8.（2002全国）如图4某地一天从6时到14
时的温度变化曲线近似地满足函数
（1）求这段时间的最大温差
（2）写出这段曲线的函数解析式。
图4
解：
（l）由图4知这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）
（2）在图4中，从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象
，解得
由图4知
这时将代入上式，可取
综上所述，所求解析式为：
4、研究商品的价格变化
例9.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：
该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份
出厂价格最低为4元；而商品在商店）
A.最大值是l，最小值是－1B.最大值是l，最小值是
C.最大值是2，最小值是－2D.最大值是2，最小值是－1
解：
解析式可化为
时，
时，
故选D
2、
策略：
先降次、整理，再化为形如
例11.求
合。
解：
型函数型来解。
的最小值，并求出函数y取最小值时点x的集
当时，y取最小
值时，使y取得最小值的x的集合
为
3、型函数
此类函数的特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。
可先转化为
型，再利用三角函数的有界性来求三角函数的最大值和最小值。
例12.求函数
解：
去分母整理得的最大值和最小值。
即
解之得故
4、同时出现型函数
与式子，处理方法此类函数的特点是含有或经过化简整理后出现是应用
例13.函数
解法一：
令进行转化，变成二次函数的问题。
的最大值为______________则所以由二次函数的图象知，当时，解法二：
令，则由于是有
，得
∴当时，
由以上的几种形式可以归纳解三角函数最值问题的基础方法：
一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大、最小值的方法来解决；以后还可以利用重要的不等式公式或利用数形结合的方法来解决。
（四）角的拆拼在求值中的应用
例14.已知α、β为锐角，
关系是（）
，则y与x的函数
A.
B.
C.
D.
对此题，不少同学采取的求解思路是：
根据已知条件求出cosα、sinβ的值后，再将sinα，cosβ，cosα，sinβ的值同时代入的展开式中，从中解出y来，思路直接。
（这就是“凑”），但运算量非常大，不可取，而如果利用“凑”的思想，注意到
也就是用已知的角来表示目标角（因为
的范围可由y＝cosB＞0来确定。
解：
∵α为锐角，且），继而求出y与x的函数关系式，而x
又α、β为锐角，且
于是
由，即易得
，故选A。
例15.已
知，
且，
求
的值。
分析：
观察条件和结论中角的种类差异，可配凑角
以将已知角与待求角联系在一起，实现了由未知角向已知角的转化。
，这样就可
解：
又，
故
【练习】
已知，求。
提示：
配凑角：
余弦来求，较简便。
，可通过求出和的差的解：
又
同学们不难看到，上面的例题中我们分别利用
了
；；
外根据题目的不同，还常用的“凑”的技巧有：
，要多关注“配凑”的思想方法。
及，
等“凑”角的技巧。
此，，今后解题时
【模拟试题】
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.使
A.
C.的意义的m的值为（）
B.
D.
或
2.函数的一个单调增区间是（）
A.
3.
若
B.
C.D.的夹角为是夹角为60
°的两个单位向量，则（）
A.30°B.60°C.120°D.150°
4.已知ΔABC的三个顶点A、B、C及平面）
A.P在AC边上
B.P在AB边上或其延长线上
C.P在ΔABC外部
D.P在ΔABC）
A.
6.若
B.，则
C.
D.的值等于（）
A.
B.
C.
D.
7.在ΔABC中，，则ΔABC是（）
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.不能确定形状
8.已知，且，，则
的值为（）
A.
B.
C.
D.
），其图象与直线y＝2的交点的横坐9.已知函数标为x1，x2，若为偶函数（的最小值为π，则（）
A.
B.
C.
D.
，点P在线10.已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，0），（0，a），其中常数
段AB上，且，则的最大值为（）
A.aB.2aC.3a
D.
11.已知，p与q的夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）
A.15
B.
12.
函数
，则函数
A.是增函数
B.是减函数
C.可取得最大值M
D.可取得最小值－M
二、填空题（每小题4分，共16分）C.14D.16在区间［a，b
］上是增函数，且
在区间［a，b］上（），13.若在区间上的最大值为，则__________。
14.已知a＝（6，2），b＝（－4，
直，则直线l的方程为___________。
），直线l经过点A（3，－1），且与向量a＋2b垂
15.
已知
___________。
16.给出下列命题：
①在其定义域上是增函数；，且x，y
都是锐角，则
②函数③函数④函数的最小正周期是的单调递增区间是［；］（）；有无奇偶性不能确定。
其中正确命题的序号是____________。
三、解答题（本大题包括6个小题，共74分）
17.（12分）已知，求的值。
18.（12分）求值
19.（12分）如下图所示，某地一天从6时至14
时的温度变化曲线近似满足函数
。
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式。
20.（12分）已知
动点，当取最小值时，求及cos∠AMB的值。
，点M为直线OC上的一个21.（12分）如下图所示，ΔAOE和ΔBOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C，使，连结AC交BE于D。
（1）用t的表示
（2）求
与的坐标；所成角的大小。
22.（14分）已知
（1）求a与b的夹角θ；
（2）求（3）若
和；，作ΔABC，求ΔABC的面积。
。
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