第二章 流体静力学.docx

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第二章流体静力学

第二章流体静力学

流体力学中的许多问题并不涉及到运动，而只关心静止流体中压强的分布及其对固体壁面、浮体与潜体的作用力。

在这些情况下，所研究的问题就属于流体静力学的研究范畴。

流体静力学研究作用于静止流体上的力平衡问题。

本章将主要应用力平衡这一力学基本原理，分析处于绝对平衡与相对平衡时流体的力平衡问题，并导出静止流体中压强的分布规律，计算静止流体对固壁、浮体与潜体的作用力。

2.1静压强及其特性

2.1.1静压强的定义

如在1.3.3所讨论的那样，对于静止流体或无粘性的理想流体，流体中一点处的剪应力并不存在，仅有正应力，此时该正应力称为流体的静压强。

从而流体静压强可定义如下：

定义：

作用在静止流体单位面积上的法向力称为流体静压强。

通常用p表示，其单位为Pa或N/m2。

2.1.2静压强的特征

1.静压强的方向总是沿作用面的内法线方向。

这一性质可以很容易用反证法得以证明。

假设在静止流体内一点处存在正应力与剪应力分量。

根据流体的定义，如果流体内有剪应力，就会产生剪切变形，从而导致流体流动，这与静止流体这一事实相矛盾。

因此唯一的可能性就是剪应力为零。

基于同样的道理，静止流体不能承受拉力，否则将流动，所以静压强的方向必须沿作用面的内法线方向。

2.静止流体中一点处的压强在各个方向都相等，与作用面的法线方向无关。

为了证明这一特性，从静止流体中取一三棱柱微元体OABC，如图2-1所示。

px,py,pz,pn为作用在各面上的压强，由于微元体是无限小，可以认为它们是相应面上的平均压强。

作用在微元体上的力有质量力与表面力。

Fig2-1微元四面体

由于微元体处于平衡状态，通过受力分析，可以列出其在x，y，z三个坐标轴上的平衡方程。

微元体四个面上的表面力可以表示为

在x，y，z三个坐标轴上的质量力分量为

因此x轴上的静力平衡方程可以表示为

（2.1）

根据几何关系，有Ancos（n,x）=dydz/2。

从而上述方程简化为

（2.2）

由于dx是一个无限小的量，上述方程的第三项可以忽略不计。

从而方程（2-2）简化为

px=pn（2.3）

同样，由y轴与z轴的平衡方程，得

py=pn,pz=pn

从而

（2.4）

因为微元体的斜面是任意选取的，故可以断定，静止流体中一点处的压强在所有方向上都相等。

2.2静止流体的平衡方程

2.2.1流体平衡微分方程-------欧拉平衡方程

在静止流体中取一微元平行六面体，如图2-2所示。

由于该微元体无限小，故假设微元体内的流体密度以及其六个面上的压强是均匀分布的，六面体的尺寸分布为dx,dy和dz，中心处的压强为p。

Fig2-2ParallelepipedElement微元平行六面体

作用在微元体上的力包括质量力与表面力。

由于微元体处于平衡状态，通过对作用在该微元体上的力进行分析，可在x,y和z轴上建立三个独立的静力平衡方程。

为了简单起见，仅推导出在x轴上的平衡方程，y轴z轴上的平衡方程可由类比得到。

由于微元体中心处的压强为p，作用在与x轴垂直的平面上的表面力为

，

微元体的体积力在x轴上的投影为xdxdydz。

由于微元体处于平衡状态，这些在x轴上的力分量的总和必须等于零，即Fx=0，从而得

整理该方程，用dxdydz除以两端，则方程简化为

（2.5）

Similarly,simplifiedequationsonyandzaxesare

同样，在y和z轴上的简化方程为

（2.6）

（2.7）

方程（2.5）、（2.6）与（2.7）称为流体基本平衡微分方程，它们首先是欧拉在1755年推导出来，故也称为欧拉平衡方程。

流体基本平衡微分方程的矢量式如下：

（2.8）

式中

，称为欧拉算子。

2.2.2压差方程（一般形式的流体平衡微分方程）

现在将方程（2.5）、（2.6）与（2.7）分别乘以dx、dy、dz以对其进行改造，然后将三个方程求和，得：

注意上述方程的右端是压强p的全导数，即：

（2.9）

因此

（2.10）

方程（2.10）称为压差方程。

将流体中所有压强相等的点连接起来所得到的曲面，称为等压面。

很显然在等压面上dp=0，从而等压面方程可写为：

（2.11）

在等压面上任取一线段dl，其可表示为：

dl=dxi+dyj+dzk,

由于单位质量力与dl的点乘为

dl=xdx+ydy+zdz

因此在等压面上有dl=0，于是就得到等压面的一个重要性质：

在平衡流体中，等压面上任一点的质量力总是与等压面相垂直。

2.3静止流体中的压强分布

2.3.1重力作用下静止流体基本方程

1.基本方程

假设流体是不可压，则流体密度为常量，压差方程（2.10）可以改写为：

（2.12）

在重力场中，质量力只有重力，单位质量力在x、y和z三个方向的分量为：

x=0，y=0，z=-g

将上述关系代入方程（2.12），有

（2-13）

对方程（2.13）求不定积分，得

（2.14）

如图2-3所示，假设自由液面（基准面）上的大气压强为pa，即z=0时,p=pa。

则方程（2.14）中的积分常数为C=pa/g，位于自由液面下深度为的B点的压强可表示为：

（2.15）Fig.2-3PressureataPointB

或

（2-16）

方程（2.14）与（2.15）就是所谓的流体静力学基本方程式。

对于静止流体中的任意两点A、B，方程（2.14）可表述为

（2.17）

从上述方程可知，当zA=zB时，该两点处的压强相等，从而得出如下结论：

静止流体中的等压面是一水平面。

2.物理意义

如图2-3所示，取o-o面为基准面，对于静止流体A点处质量为m的流体微团，其位置高度z与pA/g项可以解释如下：

流体微团相对于基准面的位置势能为mgz，用微团的重力除以之，有

mgz/mg=z

Fig.2-4PhysicalMeaning

因此z是单位重力流体所具有的位置势能。

设图中右端管的内横截面面积为A，管中液体高度为h，则管中液体重量为ghA。

由于管的上部为真空，流体处于静止状态，故管内液体的重力必定由一个作用在管中液柱底部的力--pAA来平衡。

从而

ghA=pAAh=pA/g

所以p/g为单位重力流体所具有的压强势能。

z+p/g称为单位重力流体所具有的总势能。

从上述分析，可以得出流体静力学一般方程的物理意义：

在重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。

3.几何意义

z：

为基准面上的位置高度，称为位置水头；

p/g：

为单位重力流体在压强p作用下上升的高度，称为压强水头。

z+p/g称为静水头或测压管水头。

2.3.2重力作用下静止流体的压强分布

从方程（2.15）与（2.16）可知压强的表示方法有两种。

一是取大气压强作为计量基准，如方程（2.16）所示，称为相对压强，用pe表示：

（2.18）

通常测压计测量的压强就是相对压强，也称为表压。

压强的另一表示方法是以完全真空为计量基准，如方程（2.15）所示，称为绝对压强。

当绝对压强小于大气压强时，将出现负压，其差值称为真空。

绝对压强、相对压强、当地大气压强与完全真空之间的关系如图2-5所示。

Fig.2-5RelationshipofAbsolutePressureandRelativePressure

从方程（2.15）与（2.16）显然可以看出，无论是绝对压强或是相对压强，静止流体中一点处的压强是其在自由表面下深度h的线性函数，更一般的说，一点处的压强与其关于基准面的位置高度成正比。

因此对不同形状的固体边界，其相对压强分布分别如图2-6至图2-9所示。

结论

1．在重力场中静止流体一点处的压强随深度呈线性增加；

2．在重力场中静止流体一点处的绝对压强等于自由表面压强加上流体重度与深度的乘积；

3．在重力场中静止流体的等压面是一水平面；

4．当已知一点的压强与另一点距该点的深度，则另一点的压强由下试计算：

p=p0+gh。

Fig.2-6VerticalBoundaryFig.2-7InclinedBoundary

Fig.2-7ConeBoundaryFig.2-8CurvedBoundary

Example2.1

AsshowninFig.2-9,assumethecylinderhasadiameterof12cmandamassof5.1kg.Nowimposea100NforceFatthetopofthecylinder.Thecylinderisatequilibriumwhenitssubmergeddepthish=0.5m.WhatistheheightHofwatercolumninmanometer?

Allbuoyantforcesareneglected.

Fig.2-9Example2.1

例2.1如图2-9所示，设活塞直径为12cm，质量5.1kg，在活塞顶部作用一100N的力F。

当活塞淹深为h=0.5m时处于平衡状态。

不计浮力，求测压管中水柱的高度H为多少？

Solution解：

RelativepressureatthebottomofcylindercausedbyFandWis:

由F与W在活塞底部引起的相对压强为

Accordingtopressuredistributioninastaticfluid

根据静止流体中压强分布规律

So因此

Example2.2

AcontainerasshowninFig.2.10isfilledwithwaterat20oCandopentotheatmosphereontherightside.Findthepressureofairintheenclosedspaceontheleftsideofthecontainer.

例2.2如图2.10所示一容器，充满了20oC的水且右端与大气相通。

求出容器左端密封段内空气的压强。

Fig.2.10Example2.2

Solution1：

解法1：

Thepressureatelevation2isthesameonbothsides：

位置高度2两端的压强相等：

Sincethehydrostaticheadisthesameatelevations1and2：

由于位置高度1与2处的测压管水头相等：

So因此

:

Solution2：

Firstdetermineanisobaricsurfaceatelevation0.6m,thepressureonbothsidesofthissurfaceisthesame.Then

解法2：

首先在位置高度0.6米处确定一等压面，该等压面两端的压强相等。

则

So因此

2.3.3压强的测量

1.压强的单位

在国际单位制中，压强的基本单位是帕斯卡（帕），即1牛顿每平方米（N/m2）。

由于帕这个单位太小，有时使用兆帕这个较大的单位，1MPa=106Pa。

压强与某种均质液体的高度是相当的。

通常用液柱高表示压强，比起用力每单位面积表示更为方便。

常用的标准液柱是毫米水柱或毫米汞柱。

大气压强也可作为计量压强的标准：

一个标准大气压强=760毫米水柱高=1.013105帕

表2-1给出了各压强单位之间的关系。

表2-1不同压强单位间的关系

Pa

kgf/cm2

atm

bar

mH2O

mmHg

1

1.019710-5

9.86910-6

10-5

1.019710-4

7.510-3

9.807104

1

0.9687

0.981

10

735.561

1.0133105

1.033

1

1.013

10.33

760

105

1.0197

0.987

1

10.197

750.064

1.测压设备

人们设计了一系列的仪器来测量压强值。

其大多数要么是基于测压法原理、要么是通过与压强成正比的弹性元件的变形而工作的。

这些原理及一些代表性的测压表将在下面各段落进行介绍。

（1）测压管

该方法主要利用压强随液柱高度变化而变化来测量压强。

考虑如图2-11所示的简单测压管，图中h是以米为单位的某一高度。

管底部的表压显然是pe=gh，式中为液体的密度，其绝对压强p=pa+gh。

测压管只适用于测量较小的压强，一般不超过9800Pa，或者相当于1m水柱高。

（2）U形管测压计Fig.2-11PiezometricTube

如图2-12所示，U形管测压计是一个装在刻度板上两端开口的U形玻璃管，可以很方便测量容器或管道的压强。

测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大气相通。

U形管内装有密度ρ2大于被测流体密度ρ1的液体工作介质，一定要注意，工作介质不能与被测流体相互掺混。

Fig.2-12U-tubeManometerU形管测压计

当被测压强大于大气压强时，U形管测压计工作原理如下：

被测流体与管内工作介质的分界面1-2是一个水平面，故为等压面。

所以U形管左、右两管中的点1和点2的静压强相等，即p1=p2，由式（2-15）可得：

p1=p+ρ1gh1

p2=pa+ρ2gh2

所以p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2

M点的绝对压强为

p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1（2.18）

M点的计示压强为pe=p-pa=ρ2gh2-ρ1gh1（2.19）

于是，可以根据h1和h2的读数以及已知的密度ρ1和ρ2，计算出被测点M的绝对压强和计示压强值。

当被测压强低于大气压强时，一点处的压强可用类似的步骤求得。

（3）倾斜微压计

一种测量微小压强的方法就是将测压管倾斜，这样测压管内一段较小的垂直高度就转换成一个放大的读数，如图2-13所示。

利用三角关系，可以由液柱高L（直角三角形斜边）算出液体的垂直高度h1。

倾斜微压计通常用来测量接近大气压强的压强值。

Fig.2-13InclinedMicromanometer倾斜微压计

倾斜微压计的工作原理可解释如下：

根据方程式（2-16），被测流体的计示压强为

（2.20）

用倾斜微压计测量两容器或管道两点的压强差时，将压强大的p1连接容器顶部的测压口，压强小的p2连接倾斜玻璃管出口端。

注意o-o平面为等压面，则测得的压强差为

由于容器内液体下降体积等于倾斜管中液体的增加体积，设A和s分别为容器和玻璃管的横截面积，则

or或

又

于是式（2-20）可写成

（2.21）

式中K为倾斜微压计常数。

（4）压力传感器

涉及流动过程的现代化工厂与系统通常是自动控制的，其许多运行都包含系统临界点压力的感应。

因此，人们就设计出了如压力传感器等压力感应装置，这些装置产生可被传输、保存在数字记录仪上的电子讯号，并控制过程操作中的其它仪器。

大多数传感器基本上都是以有细小的柔性膜片的一侧置于系统实时压力下的方式工作的。

压力变化时，膜片弯曲，与膜片另一侧相连的感应元件产生讯号。

最理想的是传感器被设计为该讯号与系统压力变化成线性关系。

感应元件的种类有很多，一种常用的是与柔性膜片相接触的电阻应变仪。

膜片弯曲时，应变仪电阻丝的长度发生变化，从而使电阻丝的电阻变化，继而引起电压变化，然后可用多种手段对电压变化进行处理。

还有其它的一些测压仪器，诸如U形管压差计、三U形管测压计、波尔登压力表等，它们的工作原理一般都是基于流体静力学基本方程。

下面是一道U形管压差计的例题。

Example2.3

AsshowninFig2-14,formercury=13600kg/m3andwater1=1000kg/m3,h=15cm.WhatisthepressuredifferencebetweenpointAandC.

例2.3

如图2-14所示，水银的密度=13600kg/m3，水的密度1=1000kg/m3，h=15cm。

A、C两点的压强差为多少？

Solution:

Fig.2-14Example2-3

Since4-2and1-3planesareisobaricsurfaces,so

解：

由于4-2与1-3面为等压面，故

so因此

thus

2.4体的相对平衡

相对平衡：

流体质点间或流体与容器间的相对静止或平衡状态。

因为没有相对运动，所以流体内部及流体与固壁间不存在剪应力。

在相对平衡的流体中，质量力除了重力，还有惯性力。

2.4.1匀加速直线运动

如图2-14所示，设一液体箱向右沿x的正方向以加速度a作匀加速直线运动。

Fig.2-14UniformLinearAcceleration匀加速直线运动

此时，单位质量力在x,y和z方向上的分量分别为

将单位质量力的分量代入压差方程（2.10），得

积分上式，得

（2.22）

积分常数C1可由边界条件:

x=0,z=0,p=pa确定，C1=pa。

从而有

（2.23）

根据等压面条件dp=0，则方程（2.17）可写为

（2.24）

自由液面的方程可以表示为

（2.25）

2.4.2.绕铅直轴等角速度转动

如图2-15示，设一液体箱绕z轴以等角速度转动。

此时，单位质量力在x,y和z方向上的分量分别为

将单位质量力的分量代入压差方程（2.10），得

Fig.2-15RotatingaboutzAxis

积分，得下述方程：

（2.26）

利用边界条件：

x=0，y=0，z=0，p=pa，C=pa。

压强分布由下式确定

（2.27）

从而，等压面方程为

（2.28）

自由液面方程为

（2-29）

Example2.4

Anempty,squaretankwithacross-sectionalareaofbb=200200mm2andamassofm1=4kg,asshowninFig.2-16.Theheightofwaterinthetankinstationarystateish=150mm.Assumethetankisacceleratingundertheactionofasuspendedweightofamassm2=25kg.ThefrictioncoefficientbetweenthetankandthetablesurfaceisCs=0.3.Inordertoensurewaternotoverflowingfromthetank,whatisFig.2-16Example2-4

theminimumheightHofthetankwall?

例2-4

一空的正方形水箱，横截面面积为bb=200200mm2，质量为m1=4kg，如图2-16所示。

静止状态下箱内水的高度是h=150mm。

假设水箱在质量为m2=25kg挂重作用下作加速运动，水箱与台面间的摩擦系数Cs=0.3。

为了保证水不从水箱溢出，水箱壁的最小高度H为多少？

Solution:

Assumingtheaccelerationisa,accordingtoNewton’ssecondlaw,forthetankandthesuspendedweight,wehavethefollowingforcebalanceequations:

设加速度为a，根据牛顿第二定律，可写出水箱与挂重的力平衡方程：

Frictionforcemaybewrittenas

摩擦力可写为

Fromtheabovethreeequations,theaccelerationcanbeexpressedas

由上述三个方程，可将加速度表示为

（a）

Accordingtothefreesurfaceequation（2-25）,itiseasytogettheslopeofthefreesurface

由自由液面方程（2-25），得自由液面斜率为

（b）

Sincethevolumeofwaterinthetankwillremainunchanged,then

由于箱中水的体积保持不变，则

（c）

Thusfromequations（a）,（b）and（c）,

Example2-5

AsshowninFig.2-17（a）and（b）,twobucketsofthesamesize,theheightisHanddiameterR,oneachofthelidthereisasmallholeopentotheatmosphere,atmosphericpressureispa.inFig.2-17（a）theholeisatthecenterofthelid,r=0;inFig.2-17（b）,theholeisattheedgeofthebucket,r=R.Twobucketsarefilledwithwaterinbothcases,androtateatanangularspeed.

（1）Calculatefluidpressuredistributioninbothcases.

（2）KnownthatR=12cm，=30/s，pa=9.8N/cm2.EstimatepressurepAatpointA

onthelid,isthereanydifferencebetweenofpressurepAatpointAofthetwobuckets,andwhy?

例2-5

图2-17中，（a）和（b）所示两个尺寸相同的圆柱形水桶，其高度为H，半径为R，

顶