电工杯数学建模B题.docx
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电工杯数学建模B题
摘要
本文对拔河比赛过程进行分析和研究：
要求对于某一固定队伍，研究队员位置排序的最佳方案以发挥队伍的最大能量，并探讨比赛获胜规定拉过4米是否科学。
在此基础上，给出定量分析，并制定拔河规则以试用于在校学生参加。
最后，要求为全国大学生拔河比赛制定一套合适规则，形成一份具有可操作性和公平性的提案。
第一步，考虑比赛时队员的姿势对拔河比赛的影响建立模型一、模型二。
对模型进行受力分析，运用MATLAB作图，从图像分析可得，采用低重心姿势优于高重心姿势，且存在一个最佳下倾角α=37.6°，使得队伍发挥出最大能量。
第二步，综合考虑3个因素：
体重m、身高h、握力F对比赛的影响建立模型三进行优化。
考察某一特定位置，将3个因素定量表示为各因素在该位置的相对权重。
每个位置的相对权重分布应用“层次分析法”加以计算得出。
得出结论：
●在同一位置上不同因素对比赛影响不同；
●在不同位置上同一因素的作用和影响也不同。
然后，我们由此给出了7点建议，从而实现一个最佳排列顺序，使得该队伍能发挥最大能量。
第三步，在问题2中，着重对“比赛双方力量相近”这一情境进行建模分析、求解。
考虑大部分比赛双方状况，可近似取“图8拉过距离DIS与ΔT、t的关系分布图”中的标记点（t，ΔT，DIS）=（6.2,61.6,3.836）为所围成立体图形的均值点，此时可取规定距离DIS=3.836m<4m，为了比赛方便进行，在近似范围内可认为DIS=3.836≈4m，所以比赛获胜规定为拉过绳索4米的规定合理。
第四步，基于对问题1和问题2的分析和结论，同时综合考虑在校学生的具体情况，我们完成了《在校学生拔河比赛规则》和《关于将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案》。
关键词：
最佳下倾角最佳排列顺序相对权重层次分析法DIS=3.836
一．问题重述
拔河比赛始于我国春秋时期，是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。
拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。
此外，一场拔河比赛最多持续几分钟或几十分钟，并不需要太多的体力，且比赛现场气氛热烈。
拔河比赛有各种比赛分级方法。
常见的分级是以参赛双方每方8人的总体重来分级，从320公斤到720公斤，每隔40公斤一级。
拔河比赛的绳子中间有一个标记，在比赛中，若参赛的某一方将绳子标记拉过自己一侧4米则该方获胜。
为了获得最优的拔河比赛方案，我们将需要逐步解决以下问题：
1．在某种分级比赛中，如果某方想在拔河比赛中发挥该队最大能量，他应该怎样安排他的队员位置？
请用对比赛建立一个数学模型的方式来说明结果。
2．比赛获胜规定为拉过绳索4米，请通过数学建模的方式说明该规定是否科学。
3．当前我国在校学生的体质普遍不强，有人提出想用经常进行的拔河比赛来吸引更多的学生参加运动，以提高学生的身体素质。
设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规则，该规则要定量的说明。
4．向全国大学生体育运动组委会写一个将你设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。
二．问题分析
2.1问题1的分析
2.1.1比赛姿势
问题1要求求解最佳队员位置安排以发挥队伍最大能量，比赛时队员的姿势是一个非常重要的因素。
常见的姿势可分为低重心姿势和高重心姿势两种。
1）低重心姿势
比赛时采用低重心姿势，队伍整体重心较低，利于保持队伍的稳定性，同时利用重力增大了队伍可承受的最大拉力，但另一方面，会相对减小地面对人的支持力，从而减小了地面给人的摩擦力，不利于比赛。
综合考虑，如何充分利用低重心姿势的优势，主要取决于队伍下倾角的大小，这是问题考虑的主要方面。
2）高重心姿势
与低重心姿势相对，比赛时采用高重心姿势，队伍整体重心较高，不利于保持队伍的稳定性，但同时相对增大了地面对人的支持力，从而增大了地面给人的摩擦力，利于比赛。
综合考虑，如何充分利用高重心姿势的优势，主要取决于队伍上倾角的大小，这是采用高重心姿势考虑的主要方面。
综上，比赛姿势主要需解决倾角大小的问题，继而比较两者的优劣，得出相应结果。
2.1.2比赛影响因素的考虑与衡量
根据所参阅的文献资料，影响拔河比赛的因素很多，比如队员的身高、体重、握力、腿力、腰力和耐力等。
考虑到场拔河比赛时间不长，并不需要太多的体力，同时腿力、腰力和耐力等因素影响复杂，且在实际比赛中不便考虑，因而将身高、体重、握力作为主要考虑因素。
在比赛中，不同位置的关键影响因素不同，需针对不同位置安排适合的队员，才有可能发挥队伍整体的最大能量。
在求解过程中，可采用“层次分析法”，对于每一个具体的位置得到三个影响因素的重要性，即相对比重大小，再根据队员自身的具体条件安排位置，使得比赛能发挥最大的能量。
队员自身的具体条件，即各自的身高、体重、握力条件，由于三者量纲不同，必须将三者归一化处理，才能相对比较科学地综合考虑处理。
基于此，可根据身高、体重、握力在整体比赛中的重要性，即因素总权重，分配叠加比例，同时将各因素的波动范围按一定区间间隔分开，采用按权给分方式，给各队员的身高、体重、握力条件进行估计评价，最终各位置相应因素权重与相应因素分数相乘，即可得到某一位置排列的综合得分，用此得分作为某一位置安排效果的依据，从而进行比较，得到最佳位置排列顺序。
2.2问题2的分析
拔河比赛获胜规定为拉过绳索4米，若比赛双方力量悬殊，力量大的一方将力量小的一方拉向己方4米的距离是比较容易达到的，因而对比赛双方力量悬殊的比赛在此问题建模和求解过程中不再赘述，在建模求解时可着重对“比赛双方力量相近”这一情境进行建模分析、求解。
三．模型假设
1、假设拔河比赛双方队伍为同一级别，人数均为8人。
2、假设拔河比赛双方保持积极参加态度，不存在消极比赛情况。
3、假设拔河比赛双方鞋底摩擦系数相同，场地水平且粗糙程度相同，利于比赛进行。
4、假设拔河比赛双方队员的体重在比赛过程中保持不变。
5、假设在比赛过程中绳始终保持伸直。
6、假设拔河比赛过程中同一队队员之间距离是一定的，且双方各自队员之间的距离是相同的。
7、假设忽略拔河比赛双方队员性别差异对比赛的影响。
8、假设比赛时外界环境对比赛有利，无干扰因素的影响。
四．符号说明
T——能承受的最大拉力
N——地面的支持力
G——重力
LH——拉力T与支点（即脚与地面的接触点）的距离
Lh——重力G与支点（即脚与地面的接触点）的距离
μ——地面最大静摩擦系数
g——重力加速度
m——体重
h——身高
F——握力
α——拉力（即赛绳）与水平面所成的夹角
β——重力与支撑点连线和地面所成的夹角
f——地面产生的摩擦力
Li——表示第i个位置的成对比较阵（i=1,2,3,4,5,6,7,8）
Wi——表示第i个位置的权重分布（i=1,2,3,4,5,6,7,8）
Wm——体重m总权重
Wh——身高h总权重
WF——握力F总权重
Wsum——总权重，=Wm+Wh+WF
Ri——队员位置编号（i=1,2,3,4,5,6,7,8）
a、a（t）——加速度
r（t）——拟合加速度a随时间逐渐增大曲线函数
五．模型建立与求解
对于模型一、模型二，仅考虑主要因素——体重，对比赛的影响。
若平均考虑体重，8人各自拉力大小的平均权重为1/8=0.125，结合相关研究背景与结果，考虑在各个不同位置体重对比赛的影响大小，给第1个位置至第8个位置分配权重，
权重δ[8]=[δ1δ2δ3δ4δ5δ6δ7δ8]。
对于模型三，在模型一和模型二的基础上进行优化，综合考虑3个因素：
体重m、身高h、握力F，各个位置的相对权重分布应用“层次分析法”加以计算得出，继而得出相应结论。
5.1问题1模型的建立和求解
5.1.1模型一的建立和求解
假定采用低重心姿势进行比赛，对其进行受力分析。
参数设置：
T—能承受的最大拉力；N—地面的支持力；μ—地面最大静摩擦系数，取经验值0.7；α—拉力（即赛绳）与水平面所成的夹角；β—重力与支撑点连线和地面所成的夹角；f—地面产生的摩擦力。
设人的身高为L，身体与地面的倾斜角为β（β<90°），如图1所示。
T与G=mg的作用点分别在人体的肩部和重心处，大约在身高的0.8L和0.6L处，与距支点（即脚与地面的接触点）的距离分别为LH和Lh，当拉力矩与重力矩平衡时，有
T﹒LH=G﹒Lh
而LH=0.8Lsin（α+β）Lh=0.6Lcosβ
即T﹒0.8Lsin（α+β）=G﹒0.6Lcosβ
得T=0.75mgcosβ/sin（α+β）…………………………………
（1）
力学分析:
Tsinα+N=G
f=µN=Tcosα
得T=µmg/（cosα+µsinα）
取µ=0.7T=0.7mg/（cosα+0.7sinα）…………………………………
（2）
由式
（1）、
（2）得，β=tan-1（15/14-0.25tanα）………………………….…（3）
由式
（2）T=0.7mg/（cosα+0.7sinα），取mg=600（其中m≈61kg），
得T=420/（cosα+0.7sinα）
作图得，
图2T（α）=420/（cosα+0.7sinα）图像
5.1.2模型二的建立和求解
假定采用高重心姿势进行比赛，对其进行受力分析。
参数设置：
T—能承受的最大拉力；N—地面的支持力；μ—地面最大静摩擦系数，取经验值0.7；α—拉力（即赛绳）与水平面所成的夹角；β—重力与支撑点连线和地面所成的夹角；f—地面产生的摩擦力。
设人的身高为L，身体与地面的倾斜角为β（β<90°），如图1所示。
T与G=mg的作用点分别在人体的肩部和重心处，大约在身高的0.8L和0.6L处，与距支点（即脚与地面的接触点）的距离分别为LH和Lh，当拉力矩与重力矩平衡时，有
T﹒LH=G﹒Lh
而LH=0.8Lsin（β-α）Lh=0.6Lcosβ
即T﹒0.8Lsin（β-α）=G﹒0.6Lcosβ
得T=0.75mgcosβ/sin（β-α）…………………………………（4）
力学分析:
Tsinα+G=N
f=µN=Tcosα
得T=µmg/（cosα-µsinα）
取µ=0.7T=0.7mg/（cosα-0.7sinα）…………………………………（5）
由式（4）、（5）得，β=tan-1（15/14+0.25tanα）…………………………….（6）
由式（5）T=0.7mg/（cosα-0.7sinα），取mg=600（其中m≈61kg），
得T=420/（cosα-0.7sinα）…………………………………（7）
作图得，
图4T（α）=420/（cosα-0.7sinα）图像
5.1.3模型三（优化模型）的建立和求解
模型一、模型二仅考虑体重对比赛的影响，模型三在其基础上进行优化，综合考虑3个因素：
体重m、身高h、握力F。
对于某一特定的位置，体重、身高、握力3个因素对比赛的影响用各因素在该位置的相对权重来体现，例如：
i位置权重分布为Wi（体重，身高，握力）=[0.5，0.3，0.2]。
每个位置的相对权重分布应用“层次分析法”加以计算得出。
基于对各个位置队员的要求，给各个位置给定成对比较阵如下：
标度Lij
含义
1
表示两个因素相比，具有同样重要性
3
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2，4，6，8
上述两相邻判断的中值
表1成对比较阵的标度表
mhF
m
例如：
h（Li表示第i个位置的成对比较阵）
F
运用“层次分析法”计算得8个位置的权重分布如下：
W1=[0.200.600.20]W2=[0.250.500.25]W3=[1/31/31/3]
W4=[1/31/31/3]W5=[1/31/31/3]W6=[0.680.080.24]
W7=[0.680.080.24]W8=[0.750.060.19]
体重m总权重Wm=
=3.56
身高h总权重Wh=
=2.32
握力F总权重WF=
=2.12
总权重Wsum=Wm+Wh+WF=8
以下利用随机函数给定各因素：
体重m、身高h、握力F，在一定区间内的取值，取值如下：
体重m取值区间：
[55，65]，单位：
kg
身高h取值区间：
[160，180]，单位：
cm
握力F取值区间：
[30，70]，单位：
kg（将握力以千克计）
图5各个位置队员体重m、身高h、握力F大小分布图
备注：
图中队员编号与比赛时位置无对应关系。
为平衡全面考虑体重m、身高h、握力F对比赛的影响，对各因素按区间分段给分，各因素对应的起始分数由表2中各因素的权重和与总权重和之比来给定。
Wm/Wsum=3.56/8=0.445
Wh/Wsum=2.32/8=0.290
WF/Wsum=2.12/8=0.265
得，Wm/Wsum：
Wh/Wsum：
WF/Wsum=89:
58:
53
另外，为拟合各因素的相对权重，区间间隔之间的分差按各自基准分比例10%递增设定，具体如下：
体重m区间（kg）
分数
身高h区间（cm）
分数
握力F区间（kg）
分数
[55,56）
89
[160,162）
58
[30,34）
53
[56,57）
97.9
[162,164）
63.8
[34,38）
58.3
[57,58）
106.8
[164,166）
69.6
[38,42）
63.6
[58,59）
115.7
[166,168）
75.4
[42,46）
68.9
[59,60）
124.6
[168,170）
81.2
[46,50）
74.2
[60,61）
133.5
[170,172）
87
[50,54）
79.5
[61,62）
142.4
[172,174）
92.8
[54,58）
84.8
[62,63）
151.3
[174,176）
98.6
[58,62）
90.1
[63,64）
160.2
[176,178）
104.4
[62,66）
95.4
[64,65]
169.1
[178,180]
110.2
[66,70]
100.7
表2体重m、身高h、握力F分数表
根据随机给定的各队员信息与表2分数表，得到以下图表：
队员编号i
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
体重分数
97.9
142.4
106.8
142.4
142.4
151.3
124.6
89
身高分数
104.4
81.2
110.2
87
75.4
81.2
98.6
92.8
握力分数
79.5
74.2
53
68.9
58.3
90.1
68.9
79.5
表3各队员分数表
图6各队员体重m、身高h、握力F分数分布图
权重矩阵W=[W1W2W3W4W5W6W7W8]
分数矩阵R=[RaRbRcRdReRfRgRh]T，其中（abcdefgh）代表数值1~8的全排列，，共8!
=40320种排列。
对于某一固定排列，总拉力T=W×R。
图7队员不同排列对应情况下的总拉力T大小
备注：
排列共有8!
=40320种，每对应一种排列得到一个总拉力T，将得到的40320个总拉力T按从小到大排列，横坐标表示序号，无具体含义。
图中标出的点分别为最小值Tmin=756.2，平均值Tavg=807.2，最大值Tmax=853.1。
5.2问题2模型的建立和求解
拔河比赛获胜规定为拉过绳索4米，若比赛双方力量悬殊，力量大的一方将力量小的一方拉向己方4米的距离是比较容易达到的，因而对比赛双方力量悬殊的比赛在此问题建模和求解过程中不再赘述，着重对“比赛双方力量相近”这一情境进行建模分析、求解。
基于对问题1的分析，将比赛双方均假定为问题1中的队伍，所不同的仅为双方队员排列顺序的不同，双方其他状况相同且利于比赛进行。
做此假设，保证双方的力量接近，同时也排除了偶然因素对比赛的影响。
其中，力量表征双方的平均实力，根据问题1的分析，比赛时队伍因队员位置排列不同而能承担的最大拉力不同，以双方能承担的最大拉力不同来拟合力量接近的比赛的双方存在的差异。
比赛模拟图如图7如下，对其进行分析，图中将比赛双方简化为一个整体。
参数设置：
TAB—A对B的拉力；TBA—B对A的拉力；TA—A能承受的最大拉力；TB—B能承受的最大拉力；NA—地面对A的支持力；NB—地面对B的支持力；α—赛绳与水平面所成的夹角；βA—A腿和地面所成的夹角；βB—B腿和地面所成的夹角；fA—地面对A产生的摩擦力；fB—地面对B产生的摩擦力；μ—地面最大静摩擦系数，取经验值0.7。
基于问题1的模型分析可得，B方姿势有利，同时假设此时B方排列顺序有优势，即B能承受的最大拉力大于A能承受的最大拉力，TB>TA。
在某一时刻，双方均已达到自身能承受拉力的最大值TA、TB，基于以上分析可得，此时即将A方即将被拉动，下计算A在比赛中能被拉动的距离。
根据对选手的拉力力矩和重力力矩分析为、
TAB﹒0.8L1sin（α+βB）=G﹒0.6L1cosβB………………………………（8）
TBA﹒0.8L2sin（α+βA）=G﹒0.6L2cosβA………………………………（9）
最大摩擦力求解
fmax=
N…………………………………………………………………（10）
求合力
F合=T-fmax…………………………………………………………（11）
根据以上分析可得，A方受到的加速度可近似为
a=
………………………………………………….…（12）
式中，TA、TB分别为A方、B方自身能承受拉力的最大值，K为一常数。
考虑到A在被拉动过程中，加速度a是随时间逐渐变化的，将式（）化为a（t）=………………………………………..…（13）
式中，r（t）为拟合加速度a随时间逐渐变化曲线，根据相关研究结果可取
r（t）=0.08t2+1…………………………………………………….…（14）
得加速度a表达式
a（t）=
……………………………………….…（15）
由此可得，B方拉过距离为
DIS（t）=0.5a（t）﹒
=f（t,
）………………………………………（16）
式中，由图7“队员不同排列对应情况下的总拉力T大小”得
（
）的取值范围
ΔT=
∈[0,96.9]
图8拉过距离DIS与ΔT、t的关系分布图
图中的点离所围成立体图形的均值点很近，因此可近似认为图中的点（t，ΔT，DIS）=（6.2,61.6,3.836）为所围成立体图形的均值点。
六．模型结果分析
6.1问题1——模型结果分析
6.1.1模型一结果分析
由图2可得，对于某一特定的个体而言，可通过调整拉力（即赛绳）与水平面所成的夹角α，使得该个体能承受的最大拉力T最大，此时α=sin-1（0.61）=37.6°，对应的腿和地面所成的夹角β=tan-1（15/14-0.25tan37.6°）=41.3°。
由以上论述可得，对于某一个个体而言，当α=37.6°、β==41.3°时，
T（i）max=0.7mig/（cosα+0.7sinα）=5.626mi。
对于某一个个体而言，分析式
（2）T=0.7mg/（cosα+0.7sinα），最佳赛绳与水平面所成的夹角α为一固定值，与个体体重无关，相应的腿和地面所成的夹角β也随之确定，因而对于一个固定的拔河比赛队伍，因为各位置拉力权重不同，根据8个队员不同的排列方式，必存在一个最佳序列，使总拉力T=
存在一个最大值，当总拉力T达到最大值时，此时的位置排列即为最佳位置排列。
由于各个位置的最佳赛绳与水平面所成的夹角α一定，可以认为各个位置队员的拉力均沿赛绳方向，此时
总拉力T=
=
=
6.1.2模型二结果分析
由图4可得，对于某一特定的个体而言，可通过调整拉力（即赛绳）与水平面所成的夹角α，使得该个体能承受的最大拉力T最大，此时α=sin-1（-0.61）=-37.6°，对应的腿和地面所成的夹角β=tan-1（15/14+0.25tan-37.6°）=41.3°。
与模型一对比可知，此时模型二即为模型一的情况，上倾角α=-37.6°，为一负值，即此时的高重心姿势实际上为下倾角α’=37.6°的低重心姿势，由此说明：
高重心姿势的总拉力显著小于低重心姿势的总拉力。
6.1.3模型三结果分析
模型三在模型一、二基础上进行优化，综合考虑3个因素：
体重m、身高h、握力F。
对于某一特定的位置，体重、身高、握力3个因素对比赛的影响用各因素在该位置的相对权重来体现，
例如：
i位置权重分布为Wi（体重，身高，握力）=[0.5，0.3，0.2]。
每个位置的相对权重分布应用“层次分析法”加以计算得出。
由权重分布结果可知，体重m、身高h、握力F三个因素对比赛的影响不同，表现为：
1）在同一位置上不同因素对比赛影响不同；
2）在不同位置上同一因素的作用和影响也不同；
由图7得，对于某一固定的队伍，不同的排列顺序对比赛所起的影响不同，且效果相差比较大，对于模型三中随机给定的队伍：
Tmax-Tmin=853.1-756.2=96.9.
比赛时根据队伍各个队员的体重m、身高h、握力F的分布情况，存在一个最佳排列顺序，使得该队伍能发挥最大能量。
对于上述给定的固定队伍，其最佳排列为
位置i
1
2
3
4
5
6
7
8
队员编号
R8
R7
R6
R5
R1
R4
R2
R3
6.1.4问题1分析总结论
由模型一、模型二得，采用低重心姿势显著优于高重心姿势，有利于发挥队伍的最佳状态。
由模型三得，对于某一固定的队伍，存在一个最佳排列顺序，使得该队伍能发挥最大能量。
最佳排列见下文。
因此，对于某一固定的队伍，采用低重心姿势，根据队伍各个队员的体重m、身高h、握力F的分布情况，安排为最佳排列顺序，此时便能发挥队伍的最大能量，根据以上分析可得：
●第一位选手要身高很高、结实体格的选手。
●第二位选手要是可以帮助第一位的选手（当对方队伍的战略手法太过低下时，第二位选手将拔河绳拔高对第一位选手是很重要的）。
●第三位、第四位选手在脚与腰力要强劲、能在拔河当中调整拔河绳高度的选手。
●第四位、第五位选手在队伍屁股碰到地面或是太低下时，拉高拔河绳是很重要的动作。
●第六位、第七位选手最好是能倾斜身体、利用用体重拔河的选手，身高 不是那么重要。
●最后一位选手最重要的是体重，防止粗重的拔河绳歪斜，当第七号选手低下时，需及时往上提高。
6.2问题2——模型结果分析
由相关文献资料得，在实际拔河比赛中，实力相近的两支队伍从相持状态临界点，即其中一方将要被拉动
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