111简谐运动.docx
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111简谐运动
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简谐运动
学习目标
1.了解什么是机械振动，什么是简谐运动．
2．理解简谐运动的位移—时间图象的物理意义，知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线．（重点）
3．经历对简谐运动运动学特征的探究过程，掌握用图象描述运动的方法．（难点）
考点一、对弹簧振子运动特点的理解
1．振子模型
如图11 1 1所示，如果球与杆之间的摩擦可以______，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以______，则该装置为弹簧振子．
图11 1 1
答案：
忽略忽略
2．平衡位置：
振子原来______时的位置．
3．机械振动
振子在__________附近所做的______运动，简称________．
4．振动特点：
振动是一种往复运动，具有________和__________．
答案：
静止平衡位置往复振动周期性往复性
5．弹簧振子的位移—时间图象
建立坐标系：
以小球的__________为坐标原点，沿着__________方向建立坐标轴．小球在平衡位置______时它对平衡位置的位移为正，在______时为负．如图11 1 2.
图11 1 2
答案：
平衡位置它的振动右边左边
1．弹簧振子是一种理想化的模型．（√）
2．弹簧振子的平衡位置都在原长处．（×）
3．振动的物体可以做直线运动，也可以做曲线运动．（√）
如图11 1 3在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？
动能最大的位置有几个？
图11 1 3
【提示】 在弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端．动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置时．
1．机械振动的理解
（1）机械振动的特点：
①振动的轨迹：
可能是直线，也可能是曲线．
②平衡位置：
质点原来静止时的位置．从受力角度看，应该是振动方向上合力为零的位置．
③振动的特征：
振动具有往复性．
（2）振动的条件
①每当物体离开平衡位置后，它就受到一个指向平衡位置的力，该力产生使物体回到平衡位置的效果（这样的力称为回复力，在第3节中我们将学到）．
②受到的阻力足够小
如果物体只受到指向平衡位置的力而阻力为零，则物体做自由振动，当然这是一种理想模型．
2．弹簧振子的位移—时间图象
（1）弹簧振子位移—时间图象的获得
①建立坐标系：
以小球的平衡位置为坐标原点，沿着它的振动方向建立坐标轴，规定小球在平衡位置右边时，位移为正，在平衡位置左边时，位移为负．
②绘制图象：
用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置，得到如图11 1 4所示的图象．
③分析：
因为摄像底片做匀速运动，底片运动的距离与时间成正比．因此，可用底片运动的距离代表时间轴，振子的频闪照片反映了不同时刻振子离开平衡位置的位移，也就是位移随时间变化的规律．
（2）图象的含义
反映了振动物体相对于平衡位置的位移随时间变化的规律，弹簧振子的位移—时间图象是一个正（余）弦函数图象．
1．下列运动中属于机械振动的是（ ）
A．小鸟飞走后树枝的运动
B．爆炸声引起窗子上玻璃的运动
C．匀速圆周运动
D．竖直向上抛出的物体的运动
E．人说话时声带的振动
【解析】 物体在平衡位置附近所做的往复运动是机械振动，A、B、E正确．圆周运动和竖直上抛运动不是振动．
【答案】 ABE
2.如图11 1 5所示，弹簧下端悬挂一钢球，上端固定组成一个振动系统，用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是（ ）
A．钢球运动的最高处为平衡位置
B．钢球运动的最低处为平衡位置
C．钢球速度最大处为平衡位置
D．钢球原来静止时的位置为平衡位置
E．钢球在平衡位置时所受合力为零
【解析】 钢球振动的平衡位置应在钢球重力与弹力相等的位置，即钢球静止时的位置，故C、D、E正确．
【答案】 CDE
3．下列说法正确的是（ ）
A．弹簧振子的运动是简谐运动
B．简谐运动是机械运动中最简单、最基本的一种运动
C．简谐运动中位移的方向总是指向平衡位置
D．简谐运动中位移方向总与速度方向相反
3．A [通过本节学习易知弹簧振子的运动是简谐运动．简谐运动有许多种，如水中浮标上下微小的浮动、后面将要学习的单摆在空气中小角度的摆动都是简谐运动，它是机械振动中最基本、最简单的一种，而机械运动中最基本、最简单的一种是匀速直线运动，因此A正确，B错误．振动中位移是相对于平衡位置而言的，而它总是从平衡位置开始，总是背离平衡位置的，所以C错误．虽然位移方向总背离平衡位置，但速度具有“双向性”，当质点远离平衡位置运动时，速度与位移方向相同；质点向平衡位置运动时，速度与位移方向相反，所以D错误．]
点评 简谐运动是机械振动中最基本、最简单的一种运动；振动中位移是相对平衡位置而言的，总是从平衡位置指向振子所在位置，位移方向与速度方向有时相同，有时相反．
4．关于简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A．简谐运动一定是水平方向的运动
B．所有的振动都可以看作是简谐运动
C．物体做简谐运动时一定可以得到正弦曲线形的轨迹线
D．只要振动图象是正弦曲线，物体一定做简谐运动
4．D [该题考查简谐运动的概念．物体的简谐运动并不一定只在水平方向发生，各个方向都有可能发生，A错．简谐运动是最简单的振动，B错．物体做简谐运动时的轨迹线并不是正弦曲线，C错．若物体振动的图象是正弦曲线，则其一定是做简谐运动，D对．]
点评 简谐运动的轨迹可能是直线，轨迹线与振动图象不一致．
对弹簧振子的说明
弹簧振子有多种表现形式，对于不同的弹簧振子，在平衡位置处，弹簧不一定处于原长（如竖直放置的弹簧振子），但运动方向上的合外力一定为零，速度也一定最大．
考点二、简谐振动及其图像
1．定义
如果质点的位移与时间的关系遵从______函数的规律，即它的振动图象（xt图象）是一条______曲线，这样的振动叫做简谐运动．
2．特点
简谐运动是最简单、最基本的______，其振动过程关于__________对称，是一种______运动．弹簧振子的运动就是__________．
答案：
正弦正弦振动平衡位置往复简谐
3．简谐运动的图象（如图11 1 7所示）
图11 1 7
（1）简谐运动的图象是振动物体的____________的变化规律．
（2）简谐运动的图象是________________曲线，从图象上可直接看出不同时刻振动质点的位移大小和方向、速度大小和方向的变化趋势．
答案：
位移随时间正弦或余弦
1．弹簧振子的运动是简谐运动．（√）
2．振子的位移相同时，速度也相同．（×）
3．简谐运动的图象都是正弦或余弦曲线．（√）
1．简谐运动的图象是否是振动物体的运动轨迹？
【提示】 不是．简谐运动的图象是描述振动物体的位移随时间变化的规律，并不是物体的运动轨迹．
2．简谐运动中振动物体通过某一位置时，加速度和速度方向是否一致？
【提示】 不一定．振动物体通过某一位置时，加速度方向始终指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置，故加速度和速度方向不一定一致．
2．简谐运动的速度
（1）物理含义：
速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量．在所建立的坐标轴（也称“一维坐标系”）上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．
（2）特点：
如图11 1 8所示为一简谐运动的模型，振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零．
图11 1 8
3．简谐运动的加速度
（1）计算方式：
a＝－
，式中m表示振子的质量，k表示比例系数，x表示振子距平衡位置的位移．
（2）特点：
加速度大小呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变．
4．根据振动图象获取信息
（1）可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小；
（2）可直接读出振子正（负）位移的最大值；
（3）可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小和变化趋势．
3．简谐运动的加速度
（1）计算方式：
a＝－
，式中m表示振子的质量，k表示比例系数，x表示振子距平衡位置的位移．
（2）特点：
加速度大小呈线性变化，方向只在平衡位置发生改变．
4．根据振动图象获取信息
（1）可直接读出振子在某一时刻相对于平衡位置的位移大小；
（2）可直接读出振子正（负）位移的最大值；
（3）可判断某一时刻振动物体的速度方向和加速度方向，以及它们的大小和变化趋势．
1．一水平弹簧振子做简谐运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．若位移为负值，则速度一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零
C．振子每次通过平衡位置时，速度一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同
3．D [该题考查简谐运动中位移和速度的变化规律．振子做简谐运动时，某时刻位移的方向与速度的方向可能相同，也可能相反，A、C不正确．当通过同一位置时，速度的方向不一定相同，D正确．经过平衡位置时，速度最大，B错．]
点评 位移和速度都是矢量，矢量相同必须是大小和方向都相同．
2．如图1所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是（ ）
图1
A．大小为OC，方向向左
B．大小为OC，方向向右
C．大小为AC，方向向左
D．大小为AC，方向向右
4．B [振子离开平衡位置的位移是以O点为起点，C点为终点，大小为OC，方向向右．]
点评 运动学中的位移与计时起点有关，是由初位置指向末位置的有向线段，而简谐运动中的振动位移的起点总是平衡位置．
3．如图11 1 9所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子m离开O点，再从A点运动到C点时，下列说法正确的是（ ）
A．位移大小为OC
B．位移方向向右
C．位移大小为AC
D．位移方向向左
E．振子从A点到运动到C点时，加速度方向与速度方向相同
【解析】 振子离开平衡位置，以O点为起点，C点为终点，位移大小为OC，方向向右，从A到O是加速运动．选项A、B、E正确．
【答案】 ABE
4．如图11 1 10所示是某振子做简谐运动的图象，以下说法中正确的是（ ）
图11 1 10
A．因为振动图象可由实验直接得到，所以图象就是振子实际运动的轨迹
B．振动图象反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹
C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度
D．振子运动到B点时的速度方向沿x轴负方向
E．振子运动到C点时，加速度为零，速度最大
【解析】 振动图象表示位移随时间的变化规律，并不是运动轨迹，B对，A，C错．由简谐运动规律知D、E对．
【答案】 BDE
5．如图11 1 11所示是表示一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是（ ）
A．t＝0时刻振子的加速度最大
B．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
C．t2时刻振子的位移最大
D．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
E．该图象是从平衡位置开始计时画出的
【解析】 从图象可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，A项正确，E项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此是通过平衡位置向负方向运动，B项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，C项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻正通过平衡位置向正方向运动，D项正确．
【答案】 ACD
图2
6．如图2所示是表示一质点做简谐运动的图象，下列说法正确的是（ ）
A．t1时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动
D．该图象是从平衡位置计时画出的
5．BC [从图象可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图象，D选项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向下负方向运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向上正方向运动，C选项正确．]
点评 质点做简谐运动的情况要和振动图象结合起来，利用简谐运动的图象来分析简谐运动的运动过程会更直观、方便．
7．如图3所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题：
图3
（1）质点离开平衡位置的最大距离是多少？
（2）在1.5s和2.5s两个时刻，质点向哪个方向运动？
（3）质点在第2秒末的位移是多少？
在前4秒内的路程是多少？
7．见解析
解析 由图象上的信息，结合质点的振动过程可知
（1）质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值为10cm；
（2）在1.5s后质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5s后质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；
（3）质点第2秒末在平衡位置，因此位移为零．质点在前4秒内完成一个周期性运动，其路程为10cm×4＝40cm.
点评 对于振动图象，不要错误地理解为振子的振动轨迹，振子位移的起始位置为平衡位置，应该与运动学中物体的位移区分开．
8．如图4所示为质点P在0～4s内的振动图象，下列叙述正确的是（ ）
图4
A．再过1s，该质点的位移是正向最大
B．再过1s，该质点的速度方向向上
C．再过1s，该质点运动到平衡位置
D．再过1s，该质点的速度为零
8．AD [依题意，再经过1s，振动图象将延伸到正向位移最大处，这时质点的位移为正向最大，振动物体的速度为零，无方向．]
方法总结 简谐运动的图象反映了质点在不同时刻的位移情况，另外根据图象的形式还可以推断出下一时刻的运动趋势，因此解此类问题应先画出再过1s的振动图象．画图象时只要将振动图象随时间延伸即可，而图象形状不变，然后再根据图象寻找规律．
分析简谐运动图象问题的三点提醒
（1）简谐运动的位移—时间图象反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律，简谐运动的图象并不是质点的运动轨迹，运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度．
（2）在xt图象上，质点在某时刻的位移，即为此时刻对应的纵坐标．
（3）质点在某段时间内的路程（轨迹的长度），需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算．
1．下列运动中属于机械振动的是（ ）
A．小鸟飞走后树枝的运动
B．爆炸声引起窗子上玻璃的运动
C．匀速圆周运动
D．竖直向上抛出物体的运动
1．AB [物体所做的往复运动是机械振动，A、B正确．匀速圆周运动和竖直向上抛出物体的运动不是振动．]
2．做简谐运动的弹簧振子在某段时间内速度越来越大，则这段时间内（ ）
A．振子的位移越来越大
B．振子正向平衡位置运动
C．振子速度与位移同向
D．振子速度与位移方向相反
2．BD [弹簧振子在某段时间内速度越来越大，说明它正向平衡位置运动，故位移越来越小，A错，B对；位移方向是从平衡位置指向振子，故二者方向相反，C错，D对．]
3．关于简谐运动的振动图象，下列说法中正确的是（ ）
A．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线
B．由图象可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向
C．表示质点的位移随时间变化的规律
D．由图象可判断任一时刻质点的速度方向
3．BCD [振动图象表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对．由图象可以判断某时刻质点的位移和速度方向，B、D正确．]
4．如图6所示是某振子做简谐运动的图象，以下说法中正确的是（ ）
图6
A．因为振动图象可由实验直接得到，所以图象就是振子实际运动的轨迹
B．振动图象反映的是振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹
C．振子在B位置的位移就是曲线BC的长度
D．振子运动到B点时的速度方向即为该点的切线方向
4．B [振动图象表示振子位移随时间变化的规律，并不是振子运动的实际轨迹，B对，A、C错．由于图象不是质点的运动轨迹，因此切线的方向并不表示速度的方向．]
图7
5．如图7是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图象，下列有关该图象的说法正确的是（ ）
A．该图象的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置
B．从图象可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，可让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D．图象中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化的快慢不同
5．ACD [从图象中能看出坐标原点在平衡位置，A对．横轴虽然是由底片匀速运动得到的位移，但已经转化为时间轴，小球只在x轴上振动，所以B错，C对．因图象中相邻小球之间时间间隔相同，密处说明位置变化慢，D正确．]
6．如图8所示为弹簧振子的振动图象，关于振子的振动，下列描述正确的是（ ）
图8
A．振子沿如图所示的曲线运动
B．图象描述的是振子的位移随时间变化的规律
C．从0.5s到1.5s内振子先加速运动后减速运动
D．从1s到2s内振子先减速运动后加速运动
6．B [振动图象表达的是振子的位移随时间变化的规律，不是运动轨迹，选项A错，B对；振子运动到平衡位置时速度最大，由图象得出：
0.5s时振子在平衡位置，1s时在负的最大位移处，1.5s时又回到平衡位置，2s时在正的最大位移处，所以在0.5s到1.5s内振子先减速运动后加速运动，C错；在1s到2s内振子先加速运动后减速运动，D错．]
7．如图9所示为某质点在0～4s内的振动图象，则（ ）
图9
A．质点在3s末的位移为2m
B．质点在4s末的位移为8m
C．质点在4s内的路程为8m
D．质点在4s内的路程为零
7．C [振动质点的位移指的是质点离开平衡位置的位移．位移是矢量，有大小，也有方向．因此3s末的位移为－2m，A项错；4s末位移为零，B项错；路程是指质点运动的路径的长度，在4s内应该是从平衡位置到最大位置这段距离的4倍，即为8m，C项正确，D项错．]
8．在水平方向上做简谐运动的质点，其振动图象如图10所示．假设向右的方向为正方向，则物体的位移向左且速度向右的时间段是（ ）
图10
A．0s到1s内
B．1s到2s内
C．2s到3s内
D．3s到4s内
8．D [由于规定向右为正方向，则位移向左表示位移与规定的正方向相反，这段时间应为2s到3s或3s到4s；又要求速度向右，因此速度应为正．则满足这两个条件的时间段为3s到4s，D正确．]
9．一个质点做简谐运动，它的振动图象如图11所示，则（ ）
图11
A．图中的曲线部分是质点的运动轨迹
B．有向线段OA是质点在t1时间内的位移
C．有向线段OA在x轴的投影是质点在t1时刻的位移
D．有向线段OA的斜率是质点在t1时刻的瞬时速率
9．C [图中的曲线部分是质点的位移与时间的对应关系，不是质点的运动轨迹，故A错；质点在t1时间内的位移，应是曲线在t1时刻的纵坐标，故B错，C对；质点在t1时刻的瞬时速率应是曲线在t1时刻所对应的曲线的斜率，故D错．]
10．如图12所示是质点做简谐运动的图象．由此可知（ ）
图12
A．t＝0时，质点位移、速度均为零
B．t＝1s时，质点位移最大，速度为零
C．t＝2s时，质点位移为零，速度沿负向最大
D．t＝4s时，质点停止运动
10．BC [t＝0时，速度最大，位移为零，A错．t＝1s时，位移最大，速率为零，B对．t＝2s时，质点经过平衡位置，位移为零，速度沿负方向最大，C对．t＝4s时，质点位移为零，速度最大，D错．]
11．一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm，振子的平衡位置位于x轴上的O点．图13甲中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：
黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象的是（ ）
甲
乙
图13
A．若规定状态a时t＝0，则图象为①
B．若规定状态b时t＝0，则图象为②
C．若规定状态c时t＝0，则图象为③
D．若规定状态d时t＝0，则图象为④
11．AD [振子在状态a时t＝0，此时的位移为3cm，且向规定的正方向运动，故选项A正确；振子在状态b时t＝0，此时的位移为2cm，且向规定的负方向运动，图中初始位移不对，故选项B错误；振子在状态c时t＝0，此时的位移为－2cm，且向规定的负方向运动，图中运动方向不对，故选项C错误；振子在状态d时t＝0，此时的位移为－4cm，速度为零，故选项D正确．]
12.如图14所示，弹簧振子在BC两点间振动，O为BC的中点，取向右为正方向，由振
动图象可知，t＝0.1s时，振子的位置在点________，此后经过________s，振子第一次
到达C点．
图14
12．O 0.15
解析 由振动图象知，振子开始从O点向右运动，t＝0.1s时，又回到点O，C点是正向最大位移处，由振动图象知此后振子第一次到达C点是在0.25s时，故又经过0.15s，振子第一次到达C点．
13．一个质点经过平衡位置O，在A、B两点间做简谐运动如图15甲，它的振动图象如
图乙所示，设向右为正方向，则
图15
（1）OB＝________cm；
（2）第0.2s末，质点的速度方向向________．
（3）0.7s末，质点位置在________点与________点之间；
（4）质点从O点运动到B点再运动到A点所需时间t＝________s.
13．
（1）5
（2）左 （3）O B （4）0.6
解析
（1）质点在A、B之间做简谐运动，OB为位移的最大值，由图象可知，位移最大值为5cm.
（2）由振动图象可知，质点在t＝0时刻自B点开始向O点运动，第0.2s末位于平衡位置，向左运动．
（3）0.7s末质点位置坐标为正值，因而位于O点与B点之间．
（4）由振动图象可知质点由O点到B点所需时间为0.2s，由B点到A点所需时间为0.4s，所以质点从O点运动到B点再运动到A点所需时间为0.6s.
14．如图16所示，简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点，其中
图16
（1）与a位移相同的点有哪些？
（2）与a速度相同的点有哪些？
（3）b点离开平衡位置的最大距离有多大？
14．
（1）b、e、f
（2）d、e （3）2cm
解析
（1）位移是矢量，位移相同意味着位移的大小和方向都要相同，可知与a位移相同的点有b、e、f.
（2）速度也是矢量，速度相同则要求速度的大小和方向都要相同，可知与a速度相同的点有d、e.
（3）b离开平衡位置的最大距离即为振动物体最大位移的大小．由题图知最大距离为2cm.
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