最新人教版八年级上册三角形教案经典之作完.docx

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最新人教版八年级上册三角形教案经典之作完

第十一章三角形

教材内容

本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。

三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。

教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。

接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。

这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。

最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.

11.1.1三角形的边

[教学目标]1、了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；

2、理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.

[重点难点]三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。

[教学过程]一、情景导入

三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。

那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有关概念

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：

三条线段必须：

①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为△ABC。

三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

三、三角形三边的不等关系

探究：

任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?

各条路线的长一样吗?

为什么？

有两条路线：

（1）从B→C，

（2）从B→A→C；不一样，AB+AC＞BC①；因为两点之间线段最短。

同样地有AC+BC＞AB②

AB+BC＞AC③

由式子①②③我们可以知道什么？

三角形的任意两边之和大于第三边.

三、三角形的分类

我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。

按角分类:

三角形直角三角形

斜三角形锐角三角形

钝角三角形

那么三角形按边如何进行分类呢？

请你按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。

按边分类:

三角形不等边三角形

等腰三角形底和腰不等的等腰三角形

等边三角形

四、例题

例用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？

为什么？

分析：

（1）等腰三角形三边的长是多少？

若设底边长为x㎝，则腰长是多少？

（2）“边长为4㎝”是什么意思？

解：

（1）设底边长为x㎝，则腰长2x㎝。

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝.

（2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x㎝，则

4+2x=18

解得x=7

如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则

2×4+x=18

解得x=10

因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形。

由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。

五、课堂练习

1.下图中有几个三角形？

用符号表示这些三角形．

2.下列说法：

（1）等边三角形是等腰三角形；

（2）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；

（3）三角形的两边之差大于第三边；

（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

3.若三线段a,b，c满足a＞b＞c，若能构成一个三角形，则只需满足条件（　　）.

A.a+b＞c　　　B.b+c＞a　　　　　C.c+a＞b　　　D.b+c≠a

4.若三角形三边a,b,c满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.则此三角形为（　　）.

A.不等边三角形B.一般等腰三角形C.等边三角形D.B、C都有可能

5.现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架（不计接头），则在下列四根木棒中应选取（）A．10cm长的木棒B．40cm长的木棒C．90cm长的木棒D．100cm长的木棒

6.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A．3cm，12cm，8cmB．6cm，8cm，15cmC．2.5cm，3cm，5cmD．6.3cm，6.3cm，12.6cm

7.已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（）

A．12B．12或15C．15D．15或18

8.三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为（　　）.

A.7B.8C.9D.10

9.等腰三角形的底边长为8cm，则腰长的范围是（）

A．大于4cm且小于8cmB．大于4cm且小于16cm

C．大于8cm且小于16cmD．大于4cm

10.若三角形三边长是三个连续自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有（）个.

A．2B．3C．4D．5

11.a,b,c为△ABC的三边，化简

=___________.

12.如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，试说明AC>

（BD+CD）．

六、课堂小结

1、三角形及有关概念；2、三角形的分类；3、三角形三边的不等关系及应用。

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

〔教学目标〕1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；毛

2、会画三角形的高、中线与角平分线；

3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.

〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点.

〔教学过程〕一、导入新课：

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。

三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。

二、三角形的高

请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。

从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。

注意：

高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？

三角形的三条高相交于一点。

如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

显然，上面的结论成立。

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。

上面的结论还成立。

三、三角形的中线

如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？

三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

请画图回答。

上面的结论还成立。

四、三角形的角平分线

如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。

思考：

三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。

请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

请画图回答。

上面的结论还成立。

想一想：

三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

五、课堂练习1、填空题

1．如下图，AD是△ABC的角平分线，则∠_______=∠________=

__________；

E在AC上，且AE=CE，则BE是△ABC的_________；CF是△ABC的高，

则∠________=∠_________=90°，CF___________AB。

2．如下图，△ABC中，BC边上的高是___________；在△ACD中，DC边上的高是_________，在△EBC中，BC边上的高是_________，以CF为高的三角形是___________。

3．如图10，BD是△ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则△ABD和△BCD的周长差为____________cm。

4．如图11，已知∠1=

∠BAC，∠2=∠3，则∠BAC的角平分线为_____，∠ABC的角平分线为_____。

二、选择题

5．下列说法中正确的是（）

（1）平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线

（2）三角形的中线、高和角平分线都是线段

（3）一个三角形有三条高、三条角平分线和三条中线

（4）三角形的中线是经过顶点和对边中线的直线

A．

（1）

（2）（3）（4）

B．

（2）（3）（4）

C．

（1）（4）

D．

（2）（3）

6．如图12，∠ABC>90°，AD⊥BC，交BC的延长线于D，BE⊥AC，交AC的延长线于E，CF⊥AB于点F，△ABC中BC边上的高为（）

A．FC

B．BE

C．AD

D．AE

7．至少有两条高在三角形的内部的三角形是（）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．以上都有可能

三、解答题

8．等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm和15cm的两部分，求此三角形的底边的长。

9．如下图所示，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB=6cm，BC=5cm，求△ABD的周长与△DBC的周长差。

六、课堂小结

1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

11.1.3三角形的稳定性

[教学目标]1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。

[重点难点]三角形稳定性及应用。

[教学过程]

一、情景导入

盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

二、三角形的稳定性

1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变。

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

从上面的实验中，你能得出什么结论？

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。

如：

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

四、课堂练习

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

三角形的稳定性应用与了解

1．现在盖高楼时要用专门铁管搭起矩形脚手架，如图3，其主要作用是：

使建筑厂人有地方立脚且能在上面施工，为什么矩形脚手架外，还要用较长的铁管斜着和遇见的每一根矩形的边都要加以固定?

不加这些长的斜铁管行吗?

不与每一根遇到的边固定行吗?

2．矩形虽然不稳定，但它外形整齐，且容易向人们所需要的方向整齐地伸展；三角形稳定，但它有尖有棱，不易向人们所需的方向伸展，所以很多用钢条组合成的建筑（大桥、大型起重机、修建房屋的脚手架）都让这二者结合起来，用矩形作为外形，把矩形再加上—条或几条线化分为几个三角形，使其结构稳定而结实．你能再举出既达到美观实用，又能有很好的稳定性，且结实耐用的四边形（主要是矩形）与三角形相结合的例子吗?

3．四边形的不稳定性是它的缺点，但我们仍可利用其”缺点”为我们服务。

课本中提到的菱形挂衣架、放缩尺是两个很好的例子．

11.2.1三角形的内角

[教学目标]掌握三角形内角和定理。

[重点难点]三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。

[教学过程]一、导入新课

我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？

二、三角形内角和的证明

回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出

∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800

图1

想一想，还可以怎样拼？

①剪下∠A，按图

（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图

（2）

②把

和

剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？

已知△ABC，求证：

∠A+∠B+∠C=1800。

证明：

过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，

又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800∴∠A+∠B+∠ACB=1800。

即：

三角形的内角和等于1800。

由图2、图3你又能想到什么证明方法？

请说说证明过程。

三、例题

例如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

分析：

怎样能求出∠ACB的度数？

根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。

∠CAB等于多少度？

怎样求∠CBA的度数？

解：

∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300

∵AD∥BE∴∠BAD+∠ABE=1800

∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000

∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600

∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900

答：

从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900。

四、课堂练习

一、选择题

1.如果三角形的三个内角的度数比是2:

3:

4,则它是（）毛

　　A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形

2.下列说法正确的是（）

　　A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角

　　C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60°

3.已知三角形的一个内角是另一个内角的

是第三个内角的

则这个三角形各内角的度数分别为（）

　　A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°

　　C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°

4.已知△ABC中,∠A=2（∠B+∠C）,则∠A的度数为（）

　　A.100°B.120°C.140°D.160°

5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是（）

　　A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形

6.在△ABC中,∠A=

∠B=

∠C,则此三角形是（）

　　A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

二、填空题

1．三角形中最大的内角不能小于_______度，最小的内角不能大于______度．

2.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.

3.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.

　4.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:

2,则这个等腰三角形的顶角为_______.

　　5.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.

　　6.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC的度数为________.

三、基础训练

　　1.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC（∠C>∠B）,试说明∠EAD=

（∠C-∠B）.

　　2.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.

11.2.2三角形的外角

[教学目标]1、理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。

[重点难点]三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。

[教学过程]

一、导入新课

如图，△ABC的三个内角是什么？

它们有什么关系？

是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。

若延长BC至D，则∠ACD是什么角？

这个角与△ABC的三个内角有什么关系？

二、三角形外角的概念

∠ACD叫做△ABC的外角。

也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有几个？

共有个。

注意：

每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。

研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.

三、三角形外角的性质

容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系？

如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CM∥AB，∴∠A=∠1，∠B=∠2

又∠ACD=∠1+∠2

∴∠ACD=∠A+∠B

你能用文字语言叙述这个结论吗？

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（叫三角形的外角性质1）。

由加数与和的关系你还能知道什么？

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角（叫三角形的外角性质2）。

即

，

。

四、例题

例1．如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？

分析：

∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？

∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？

解：

∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，

∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400

又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800

∴∠1+∠2+∠3==3600。

你能用语言叙述本例的结论吗？

三角形外角的和等于3600（叫三角形外角和定理）。

五、课堂练习

1.已知：

D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于O，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°

求：

（1）∠BDC的度数．

（2）∠BOC的度数．

2.一个三角形的两内角分别55°和65°，它的外角不可能是（）

A.115°B.120°C.125°D.130°

3.已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能

4.已知，如图，在△ABC中，D是三角形内一点，求证：

∠BDC>∠BAC。

11.3.1多边形

[教学目标]1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．2、区别凸多边形与凹多边形．

[教学过程]一、情景导入：

看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？

二、多边形及有关概念

这些图形有什么特点？

由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．

这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段（三边以上）首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。

这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。

与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（如图虚线AD）

四边形有几条对角线？

五边形有几条对角线？

画图看看。

你能猜想n边形有多少条对角线吗？

说说你的想法。

因为从n边形的一个顶点可以引n－3条对角线，n个顶点共引n（n－3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线被重复计算了一次，所以，n边形有条对角线。

三、凸多边形和凹多边形

如图，右边的两个多边形有什么不同？

在图

（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图

（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。

注意：

今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．

四、正多边形的概念

我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

下面是正多边形的一些例子。

练习：

过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，

则m=，n=，k=.

11．3．2多边形的内角和

[教学目标]1、了解多边形的内角、外角等概念；2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．

一、复习导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？

二、多边形的内角和

如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？

它们将四边形分成几个三角形？

那么四边形的内角和等于多少度？

可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；

因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和

=2×180°=360°。

类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗？

观察下面的图形，填空：

五边形六边形

从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，

五边形的内角和等于；

从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，

六边形的内角和等于；

从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，

n边形的内角和等于。

n边形的内角和等于（n一2）·180°．

三、例题

例1．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．

解：

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°

又∵∠A＋∠C＝