第二部分立体几何.docx
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第二部分立体几何
高中立体几何口诀
学好立几并不难，空间观念最关键点线面体是一家，共筑立几百花圆
点在线面用属于，线在面内用包含四个公理是基础，推证演算巧周旋
空间之中两直线，平行相交和异面线线平行同方向，等角定理进空间
判断线和面平行，面中找条平行线已知线和面平行，过线作面找交线
要证面和面平行，面中找出两交线线面平行若成立，面面平行不用看
已知面与面平行，线面平行是必然若与三面都相交，则得两条平行线
判断线和面垂直，线垂面中两交线两线垂直同一面，相互平行共伸展
两面垂直同一线，一面平行另一面要让面和面垂直，面过另面一垂线
面面垂直成直角，线面垂直记心间一面四线定射影，找出斜射一垂线
线线垂直得巧证，三垂定理风采显空间距离和夹角，平行转化在平面
一找二证三构造，三角形中求答案引进向量新工具，计算证明开新篇
空间建系求坐标，向量运算更简便知识创新无止境，学问思辩勇登攀
立体几何初步
（1）空间几何体
①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图（11、09、08、07）（11、09、08、07）所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．
③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
④会画出某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．
⑤了解球（08）（08）、棱柱、棱锥、台的表面积（08）（08）和体积（10，09）（09）的计算公式（不要求记忆公式）．
（2）点、直线、平面之间的位置关系
①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．
◆公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．
◆公理2：
过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
◆公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
◆公理4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
◆定理：
空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．
理解以下判定定理：
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（11、09，07）．（11、09，07）
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行（10）．
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直（10、09）．
◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．（10，09、08）（10）
线线垂直（08）
理解以下性质定理，并能够证明：
◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．
◆垂直于同一个平面的两条直线平行．
◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．
③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
【2013年高考会这样考】
1．几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点．
2．三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势．
【复习指导】
1．备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．
2．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．
基础梳理
1．多面体的结构特征
（1）棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．
（2）棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．
（3）棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
2．旋转体的结构特征
（1）圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．
（2）圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．
（3）圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．
（4）球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．
3．空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．
4．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
（1）画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
（2）画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
一个规律
三视图的长度特征：
“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
两个概念
（1）正棱柱：
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
（2）正棱锥：
底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．
第2讲 空间几何体的表面积与体积
【2013年高考会这样考】
考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．
【复习指导】
本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．
基础梳理
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面 积
体 积
圆柱
S侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
V＝
Sh＝
πr2h＝
πr2
圆台
S侧＝π（r1＋r2）l
V＝
（S上＋S下＋
）h＝
π（r
＋r
＋r1r2）h
直棱柱
S侧＝Ch
V＝Sh
正棱锥
S侧＝
Ch′
V＝
Sh
正棱台
S侧＝
（C＋C′）h′
V＝
（S上＋S下＋
）h
球
S球面＝4πR2
V＝
πR3
2.几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
两种方法
（1）解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．
（2）等积法：
等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值．
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【2013年高考会这样考】
1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．
2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
【复习指导】
1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．
2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．
基础梳理
1．平面的基本性质
（1）公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
（2）公理2：
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
（3）公理3：
如果两个平面（不重合的两个平面）有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
推论1：
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：
经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：
经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．平行公理：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6．等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
两种方法
异面直线的判定方法：
（1）判定定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．
（2）反证法：
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
三个作用
（1）公理1的作用：
①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
（2）公理2的作用：
公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．
（3）公理3的作用：
①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．
第4讲 直线、平面平行的判定及其性质
【2013年高考会这样考】
1．考查空间直线与平面平行，面面平行的判定及其性质．
2．以解答题的形式考查线面的平行关系．
3．考查空间中平行关系的探索性问题．
【复习指导】
1．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程中叙述的步骤要完整，避免因条件书写不全而失分．
2．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．
基础梳理
1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．
2．直线和平面平行的判定
（1）定义：
直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
（2）判定定理：
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；
（3）其他判定方法：
α∥β；a⊂α⇒a∥β.
3．直线和平面平行的性质定理：
a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.
4．两个平面平行的判定
（1）定义：
两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
（2）判定定理：
a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；
（3）推论：
a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.
5．两个平面平行的性质定理
（1）α∥β，a⊂α⇒a∥β；
（2）α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.
6．与垂直相关的平行的判定
（1）a⊥α，b⊥α⇒a∥b；
（2）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
一个关系
平行问题的转化关系：
两个防范
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．
（2）把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．
第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质
【2013年高考会这样考】
1．以选择题、填空题的形式考查垂直关系的判定，经常与命题或充要条件相结合．
2．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．
3．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．
【复习指导】
1．垂直是立体几何的必考题目，且几乎每年都有一个解答题出现，所以是高考的热点，是复习的重点．纵观历年来的高考题，立体几何中没有难度过大的题，所以复习要抓好三基：
基础知识，基本方法，基本能力．
2．要重视和研究数学思想、数学方法．在本讲中“化归”思想尤为重要，不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口．
基础梳理
1．直线与平面垂直
（1）判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
③推论：
如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
（2）直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一直线的两平面平行．
2．斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．
3．平面与平面垂直
（1）平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理：
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
（2）平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
一个关系
垂直问题的转化关系
三类证法
（1）证明线线垂直的方法
①定义：
两条直线所成的角为90°；
②平面几何中证明线线垂直的方法；
③线面垂直的性质：
a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；
④线面垂直的性质：
a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义：
a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；
②判定定理1：
⇒l⊥α；
③判定定理2：
a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
④面面平行的性质：
α∥β，a⊥α⇒a⊥β；
⑤面面垂直的性质：
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
（3）证明面面垂直的方法
①利用定义：
两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
②判定定理：
a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
双基检测
一：
选择题
1．（人教A版教材习题改编）下列说法正确的是（ ）．
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．棱台各侧棱的延长线交于一点
2．（2012·杭州模拟）用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ）．
A．圆柱B．圆锥
C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体
3．（2011·陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）．
A．8－
B．8－
C．8－2πD.
4．（2011·浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
（ ）．
5．（人教A版教材习题改编）圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（ ）．
A．4πSB．2πS
C．πSD.
πS
6．（2012·东北三校联考）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）．
A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2
7．（2011·北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
（ ）．
A．8B．6
C．10D．8
4．（2011·湖南）设
右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）．
A.
π＋12B.
π＋18
C．9π＋42D．36π＋18
8．（人教A版教材习题改编）下列命题是真命题的是（ ）．
A．空间中不同三点确定一个平面
B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面
C．一条直线和一个点能确定一个平面
D．梯形一定是平面图形
9．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（ ）．
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
10．（2011·浙江）下列命题中错误的是（ ）．
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
11．（2011·武汉月考）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（ ）．
A．12对B．24对C．36对D．48对
12．（人教A版教材习题改编）下面命题中正确的是（ ）．
①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；
②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；
④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③B．②④C．②③④D．③④
13．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是（ ）．
A．平行B．相交
C．异面D．平行或异面
14．（2012·银川质检）在空间中，下列命题正确的是（ ）．
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
15．（2012·温州模拟）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）．
A．m∥n，m⊥α⇒n⊥α
B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
16．（人教A版教材习题改编）下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是（ ）．
A．l与平面α内的两条直线垂直
B．l与平面α内无数条直线垂直
C．l与平面α内的某一条直线垂直
D．l与平面α内任意一条直线垂直
17．（2012·安庆月考）在空间中，下列命题正确的是（ ）．
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
18．（2012·兰州模拟）用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是（ ）．
A．①②B．②③C．①④D．③④
19．（2011·聊城模拟）设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）．
A.
⇒c⊥βB.
⇒b⊥c
C.
⇒c∥αD.
⇒b⊥α
20、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）．
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
21、以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为（ ）．
A．0B．1C．2D．3
22、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）．
23、（2011·浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）．
24、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）．
A.
a2B.
a2C.
a2D.
a2
25、如图，
矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是（ ）．
A．正方形B．矩形
C．菱形D．一般的平行四边形
26、一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（ ）．
A．48B．32＋8
C．48＋8
D．80
27、若一
个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于（ ）．
A.
B．2
C．2
D．6
28、如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）．
A．18
B．12
C．9
D．6
29、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）．
A.
πB.
π
C.
π＋8D．12π
30、►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ）．
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
二：
填空题
1．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
2．（2012·衡阳质检）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
3．两个不重合的平面可以把空间分成________部分．
4．若一个球的体积为4
π，则它的表面积为________．
5．（2011·天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：
m）则该几何体的体积为________m3.
6、在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________（填上所有正确答案的序号）．
7、下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．
三、简答题
1、如图所示，
正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：
（1）AM和CN是否是异面直线？
说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？
说明理由．
2、A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：
直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
3、（2012·广州模拟）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示．
（1）求证：
BC⊥平面ACD；
（2）求几何体DABC的体积．
4、如图，
在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点．
求证：
PB∥平面ACM.
5、如图，若
PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：
AF∥平面PCE.
6、如图，
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