8一元二次方程解法及其配套练习1.docx
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8一元二次方程解法及其配套练习1
乐学教育学员个性化教学辅导教案
学科:
数学任课教师：
授课时间：
年月日（星期）
姓名
年级
性别
教材版本
总课时____第___课
教学
内容
提纲
本次课知识点
一元二次方程解法及其配套练习
本次课重点
本次课难点
本次课的考点
本次课所学习的方法和能力
课前
检查
作业完成情况：
优□良□中□差□
建议：
签字
教学组长签字：
本次课授课内容
一元二次方程解法及其配套练习
定义：
只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
解法一——直接开方法
适用范围：
可解部分一元二次方程
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如（x-m）^2=n（n≥0）的方程，其解为x=m±√n
我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，我们也可以用直接开方法来解方程。
例1：
解方程：
（1）（2x-1）2=5
（2）x2+6x+9=2（3）x2-2x+4=-1
例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
配套练习题
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．
A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（）．
A．3B．-3C．±3D．无实数根
3．用配方法解方程x2-
x+1=0正确的解法是（）．
A．（x-
）2=
，x=
±
B．（x-
）2=-
，原方程无解
C．（x-
）2=
，x1=
+
，x2=
D．（x-
）2=1，x1=
，x2=-
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a、b为实数，满足
+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．
三、综合提高题
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？
能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
3．在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？
解法二——配方法
适用范围：
可解全部一元二次方程
引例：
要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？
配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）现将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
例1．用配方法解下列关于x的方程
（1）x2-8x+1=0
（2）x2-2x-
=0
例2．解下列方程
（1）2x2+1=3x
（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
例4．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6
配套练习题
一、选择题
1．配方法解方程2x2-
x-2=0应把它先变形为（）．
A．（x-
）2=
B．（x-
）2=0
C．（x-
）2=
D．（x-
）2=
2．下列方程中，一定有实数解的是（）．
A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（
x-a）2=a
3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．
A．1B．2C．-1D．-2
4．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．
A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3
5．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．
A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11
6．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．
A．1B．-1C．1或9D．-1或9
二、填空题
1．方程x2+4x-5=0的解是________．
2．代数式
的值为0，则x的值为________．
3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．
4．如果x2+4x-5=0，则x=_______．
5．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
6．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．
三、综合提高题
1．用配方法解方程．
（1）9y2-18y-4=0
（2）x2+3=2
x
2．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．
3．如果x2-4x+y2+6y+
+13=0，求（xy）z的值．
解法三——公式法
适用范围：
可解全部一元二次方程
首先，要通过Δ=b^2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b^2-4ac<0时x无实数根（初中）
2.当Δ=b^2-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x2
3.当Δ=b^2-4ac>0时x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：
x={-b±√（b^2－4ac）}/2a来求得方程的根
求根公式的推导
用配方法解方程
（1）ax2－7x+3=0
（2）ax2+bx+3=0
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根．（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
）
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-x-1=0
（2）x2+1.5=-3x（3）x2-
x+
=0（4）4x2-3x+2=0
分析：
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
补:
（5）（x-2）（3x-5）=0
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）
+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？
若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？
若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
配套练习题
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
2．方程
x2+4
x+6
=0的根是（）．
A．x1=
，x2=
B．x1=6，x2=
C．x1=2
，x2=
D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．
A．4B．-2C．4或-2D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：
x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x1+x2=-
，x1·x2=
；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
3．某电厂规定：
该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时
元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？
（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量（千瓦时）
交电费总金额（元）
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
解法四——分解因式法
适用范围：
可解部分一元二次方程
因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。
因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
解下列方程．
（1）2x2+x=0
（2）3x2+6x=0
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:
2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）
因此，上面两个方程都可以写成：
（1）x（2x+1）=0
（2）3x（x+2）=0
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是：
（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-
．
（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例1．解方程
（1）4x2=11x
（2）（x-2）2=2x-4
例2．已知9a2-4b2=0，求代数式
的值．
例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．
（1）x2-3x-4=0
（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0
配套练习题
一、选择题
1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=
，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x两边同除以x，得x=1
2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．
A．-
B．-1C．
D．1
二、填空题
1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．
2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．
3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．
三、综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
（1）3y2-6y=0
（2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0
2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。
但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。
（三种重要的数学方法：
换元法，配方法，待定系数法）。
三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系：
①降次，即它的解题的基本思想是：
将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：
①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．
如何选择最简单的解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
3．使用公式法求解
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。
如果要参加竞赛，可按如下顺序：
1.因式分解 2.韦达定理3.判别式4.公式法5.配方法6.开平方7.求根公式8.表示法
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