推荐学习中考数学 综合闯关专题七 综合实践与探究无答案.docx

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推荐学习中考数学综合闯关专题七综合实践与探究无答案

综合实践与探究

纵观河北8年中考：

综合实践与探究是河北每年中考的压轴题型．结合几何图形如三角形、正方形、圆及正方体考查，一般以简单几何图形的基本性质为出发点进行考查．近7年涉及到的考查形式有2015年的矩形、半圆为背景探索图形旋转变化中的规律；2014年以景区内的环形（正方形）路为背景，考查一次函数的实际应用、方程、列代数式并比较大小和不等式的实际应用；2013年以正方体容器为背景考查线段的位置关系、直棱柱的体积、倾斜角、一次函数的实际应用等；2012年以三角形为背景，考查列代数式及线段之间的距离的最值关系等；2011年以平行线间的半圆为背景，考查点到直线的距离和旋转角等；2010年以转动的机械装置为背景，考查点之间的最值、直线与圆的位置关系、点与直线的距离等；2009年以圆为背景，结合规律探究考查；2008年以设计抽水站给村庄供水为背景，考查点的对称问题难度较大，考查学生综合能力，具有选拔性．

此类题目前几问一般比较简单，解决后面问题往往会套用前面问题的解题思路，则将问题变为从简单逐渐到难的过程，从而能解决问题．做题时，需要将后面问与前面问对比，才能轻松得解．

预计2016年河北中考，依然会以简单几何图形为背景进行运动化，考查学生综合分析以及运用函数、方程、相似等知识解决问题的能力，难度会很大．

中考重难点突破）

　探究与拓展

【经典导例】

【例1】（2013河北中考）一透明的敞口正方体容器ABCD—A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图①所示）．

探究　如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．解决问题：

（1）CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm；

（2）求液体的体积；（参考算法：

直棱柱体积V液＝底面积S△BCQ×高AB）

（3）求α的度数．（注：

sin49°＝cos41°＝

，tan37°＝

）

拓展　在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图③或图④是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC＝x，BQ＝y.分别就图③和图④，求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．

延伸　在图④的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图⑤，隔板高NM＝1dm，BM＝CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3.

【解析】探究：

本题根据三视图可以计算．拓展根据勾股定理，在Rt△BCQ中求出BQ的长度，以及α的度数．　拓展：

本题中的α的取值范围分3种情况：

①当容器向左旋转；②当容器向右旋转；③当液面恰好到容器口，即点Q与点B′重合，分别求出α的度数．

延伸：

求证本题中的问题时，考虑到容器内液体形成两层液面，液体的形状分别以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱，即可求解．

【学生解答】

【方法指导】此题的难点在于延伸中嵌入长方形隔板且容器旋转，这样的运动产生的液体的流动不易思考，应抓住α＝60°时液体形成两个液面，液体的形状分别是以三角形和直角梯形为底面的直棱柱，求出棱柱的体积和，便可得知溢出的液体，从而得解．

1．（2015石家庄二模）如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.

（1）操作发现

如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是________．

（2）猜想论证

当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点F（如图④）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

2．（2014河北中考）某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图①和图②.现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．

探究　设行驶时间为t分．

（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米）与t（分）的函数关系式，并求出当两车相距的路是400米时t的值；

图①　　　　　　　　　　图②）

（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？

并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．

发现　如图②，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A.设CK＝x米．

情况一：

若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；

情况二：

若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．

比较哪种情况用时较多？

（含候车时间）

决策　已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P（不与点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．

（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；

（2）设PA＝s（0＜s＜800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？

　思考与探究

【经典导例】

【例2】（2011河北中考）如图①至图④中，两平行线AB，CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．

思考：

如图①，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN＝8，点P为半圆上一点，设∠MOP＝α.当α＝________度时，点P到CD的距离最小，最小值为________．

探究一：

在图①的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图②，得到最大旋转角∠BMO＝________度，此时点N到CD的距离是________．

探究二：

将图①中的扇形纸片MOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．

（1）如图③，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；

（2）如图④，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围．（参考数据：

sin49°＝

，cos41°＝

，tan37°＝

）

【解析】思考：

根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案．探究一：

根据MN＝8，MO＝4，OY＝4，得出UO＝2，即可得出最大旋转角∠BMO＝30°，此时点N到CD的距离是2；　探究二：

（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6－4＝2，即可得出∠BMO的最大值；

（2）分别求出α最大值为∠OMH＋∠OHM＝30°＋90°以及最小值α＝2∠MOH，即可得出α的取值范围．

【学生解答】

1．（2014南京中考）【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：

在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】

第一种情况：

当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.

（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.

图①）

第二种情况：

当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.

（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：

△ABC≌△DEF.

图②）

第三种情况：

当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

图③）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？

请直接填写结论：

在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF.

2．（2015沧州模拟）问题背景：

如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________；

探索延伸：

如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝

∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图③，在某次军事学习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

　操作与探究

【经典导例】

【例3】（2008河北中考）如图①至图⑤，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c.

阅读理解：

（1）如图①，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置．当AB＝c时，⊙O恰好自转1周．

（2）如图②，与∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A—B—C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2＝n°，⊙O在点B处自转

周．

实践应用：

（1）在阅读理解的

（1）中，若AB＝2c，则⊙O自转________周；若AB＝l，则⊙O自转________周．在阅读理解的

（2）中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转________周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转________周．

（2）如图③，∠ABC＝90°，AB＝BC＝

c.⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A—B—C滚动到⊙O4的位置，⊙O自转________周．

拓展联想：

（1）如图④，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？

请说明理由；

（2）如图⑤，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．

【解析】

（1）读懂题意，套公式易得AB＝2c，则⊙O自转2周，若AB＝l，则⊙O自转

周，在阅读理解的

（2）中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转

周，若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转

周．

（2）因∠ABC＝90°，AB＝BC＝

c，则⊙O自转1＋

＝

周．　拓展联想：

因三角形和五边形的外角和是360°，则⊙O共自转了（

＋1）周．

【学生解答】

【难点剖析】本题的难点在于拓展联想中第

（1）、

（2）问．

（1）问中由于△ABC的周长是l，所以当⊙O绕△ABC一周后，⊙O自转

周，但是，⊙O在运动中，还经过了△ABC的三个顶点，所以在运动到顶点时，⊙O还自转了360°，即为△ABC的外角和．所以⊙O实际自转了（

＋

）周，即（

＋1）周；

（2）问中⊙O在多边形边上的自转不难求出，最关键的是运动到多边形顶点上时，⊙O的自转度数，通过

（1）问探究，⊙O在顶点时自转的度数实际上等于多边形的外角和，即360°.所以⊙O实际上还是自转了（

＋1）周．

1．（2015保定模拟）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

操作发现：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是________；（填序号即可）

①AF＝AG＝

AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB.

数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？

请给出证明过程；

类比探究：

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．

2．（2015河北中考）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．

发现：

（1）当α＝0°，即初始位置时，点P________直线AB上（选填“在”或“不在”）．求当α是多少时，OQ经过点B；

（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？

并指出这个最小值；

（3）如图，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影．

拓展：

如图，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x（x>0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．

探究：

当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．