切比雪夫级数讲解.docx
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切比雪夫级数讲解
算法说明：
当一个连续函数定义在区间[-1,1]上时，它可以展开成切比雪夫级数。
即：
其中
为
次切比雪夫多项式，具体表达可通过递推得出：
，
它们之间满足如下的正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限的项数，切比雪夫级数中的系数由下式决定：
在MATLAB中编程实现的切比雪夫逼近法函数为：
Chebyshev。
功能：
用切比雪夫多项式逼近已知函数。
调用格式：
其中，y为已知函数；
k为逼近已知函数所需项数；
f是求得的切比雪夫逼近多项式在x0处的逼近值。
程序源代码（m文件）：
functionf=Chebyshev（y,k,x0）
%用切比雪夫多项式逼近已知函数
%已知函数：
y
%逼近已知函数所需项数：
k
%逼近点的x坐标：
x0
%求得的切比雪夫逼近多项式或在x0处的逼近值：
f
symst;
T（1:
k+1）=t;
T
（1）=sym（'1'）;
T
（2）=t;
c（1:
k+1）=sym（'0'）;
c
（1）=int（subs（y,findsym（sym（y））,sym（'t'））*T
（1）/sqrt（1-t^2）,t,-1,1）/pi;
c
（2）=2*int（subs（y,findsym（sym（y））,sym（'t'））*T
（2）/sqrt（1-t^2）,t,-1,1）/pi;
f=c
（1）+c
（2）*t;
fori=3:
k+1
T（i）=2*t*T（i-1）-T（i-2）;
c（i）=2*int（subs（y,findsym（sym（y））,sym（'t'））*T（i）/sqrt（1-t^2）,t,-1,1）/2;
f=f+c（i）*T（i）;
f=vpa（f,6）;
if（i==k+1）
if（nargin==3）
f=subs（f,'t',x0）;
else
f=vpa（f,6）;
end
end
end
应用实例：
切比雪夫应用实例。
用切比雪夫公式（取6项）逼近函数
，并求当x=0.5时的函数值。
解：
利用程序求解方程，在MATLAB命令窗口中输入：
>>Chebyshev（'1/（2-x）',6）%调用创建的函数euler，输出切比雪夫多项式的6个项
再在MATLAB命令窗口中输入：
>>Chebyshev（'1/（2-x）',6,0.5）%调用创建的函数euler，输出当x=0.5时的函数值
输出结果：
流程图：
是
否
是
是否
二、拉压杆系的静不定问题。
由n根杆（CB1，CB2...CBn）组成的桁架结构如图2-1所示，受力P作用，各杆的横截面积分别为Ai，材料弹性模量为E，长度为Li，求各杆的轴力Ni以及节点C处的位移。
图2-1
1、假设：
①由P的作用，C点移动到C’点；②C到C’的水平距离为dx，垂直距离为dy；③各杆与水平面夹角分别为α1，α2…αi…αn；④每根杆长度的变化为dL1，dL2…dLi…dLn；⑤力P与水平面夹角为α。
2、思路：
（1）如图2-2所示，以CBi为例说明各杆的几何关系，由于
，
≈0，因此dLi=BiC’-BiC≈BiC’-BiD=DC’，过C点作DC’的平行线CG，因
，故
，所以CF=dxcosαi，FG=dysinαi,故可得几何方程①。
图2-2
（2）根据图2-3所示各轴力以及外力x,y方向合力为0，建立平衡方程②、③：
图2-3
（3）由公式①、②、③共有n+2个公式，求解n个轴力，以及A点位移dx、dy，建立如下所示的线性方程组：
.
.
.
（4）建立[Pcosα,Psinα，0，0，0…0]’的常数矩阵，以及如下所示的系数矩阵
（5）再用求逆法求解此线性方程组，即用常数矩阵除以系数矩阵，得出结果。
3、源程序：
（文件名称为main）
clear;clc;
Ei=input（'请输入各杆的刚度:
（注意用[]括起来）'）;%输入刚度矩阵Ei
Li=input（'请输入各杆的长度:
（注意用[]括起来）'）;%输入杆的长度矩阵Li
Ai=input（'请输入各杆的横截面积:
（注意用[]括起来）'）;%输入杆的横截面积矩阵Ai
ai=input（'请输入各杆与水平面的夹角:
（注意用[]括起来）'）;%输入杆与水平面的夹角矩阵ai
P=input（'请输入外力P:
'）;%输入外加力P
a=input（'请输入P与水平面的夹角:
'）%输入外加力P与x的夹角
n1=length（Ei）;n2=length（Li）;n3=length（Ai）;
if（n1~=n2|n2~=n3|n1~=n3）
disp（'输入数据错误'）
else
n=n1;
end%判断数据大小是否一致
Ki=Li./（Ei.*Ai）;
C=zeros（n+2,1）;
C（1,1）=P*cos（a）;
C（2,1）=P*sin（a）;
C（3:
n+2,1）=zeros（n,1）;%建立方程组等号右边常数的矩阵
D=zeros（n+2,n+2）;
D（1,:
）=[cos（ai）,0,0];
D（2,:
）=[sin（ai）,0,0];
for（i=1:
n）
D（i+2,i）=Ki（i）;
end
D（3:
n+2,n+1）=（-cos（ai））;
D（3:
n+2,n+2）=（-sin（ai））;%建立方程组系数矩阵
x=D\C;x=x';%求解该线性方程组，得出C点位移以及每根杆的轴力
disp（'节点在x、y方向上的位移分别：
'）
x（n+1:
n+2）
disp（'各杆的轴力分别为：
'）
x（1:
n）%输出结果
4、流程图：
是否
5、程序举例应用：
设三根杆组成的支架如图2-4所示，挂一重物P=3000N。
设L=3m，各杆的横截面积分别为：
A1=150
10-6m2，A2=200
10-6m2，A3=300
10-6m2，材料的弹性模量均为E=200
109N/m2，求各杆所受力的大小以及C点位移
图2-5
解：
①运行main文件（即前文中写的源程序）；
②输入题中所给数据；
[200e9,200e9,200e9];
[3/sin（pi/3）,3/sin（pi/2）,3/sin（pi/4）];
[150e-6,200e-6,300e-6];
[pi/3,pi/2,3*pi/4];
3000;
0;
③得出结果；
（1）
；
一、流程图：
若不成立修改
二、源程序代码：
建立被积函数文件funo
funo.m
functionf=funo（x）
f=（1./（（2*pi）.^0.5））.*exp（-x.^2./2）;
计算积分，在MATLAB命令窗中输入：
>>quad（'funo',0,1）
三、结果：
ans=
0.3413
（2）
；
一、流程图：
若不成立修改
二、源程序代码：
计算积分，在MATLAB命令窗中输入：
>>symsx;
>>y=sin（x）./x;
>>eval（int（y,x,0,1））%eval（）函数的功能就是将括号内的字符串视为语句并运行
三、结果：
ans=
0.9461
（3）
;
一、流程图：
若不成立修改
二、源程序代码：
建立被积函数文件funs
funs.m
functionf=funs（x）
f=x.^（-x）;
计算积分，在MATLAB命令窗中输入：
>>quad（'funs',0,1）
三、结果：
ans=
1.2913
（4）
;
一、流程图：
若不成立修改
二、源程序代码：
建立被积函数文件funf
funf.m
functionf=funf（x）
f=exp（2x）*[sin（x）].^2;
计算积分，在MATLAB命令窗中输入：
>>d=pi/1000;
>>x=0:
d:
2*pi;
>>nt=length（x）;
>>y=funs（x）;
>>sc=cumsum（y）*d;
>>scf=sc（nt）
三、结果：
scf=
1.9970
（5）
;
一、流程图：
若不成立修改
二、源程序代码：
在MATLAB命令窗中输入：
>>f=inline（'（1.+（r.^2）.*sin（o））.^0.5','r','o'）;
>>I=dblquad（f,0,1,0,2*pi）
三、结果：
I=
6.1879
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