广东省潮州市学年度高考第二次模拟考试数学文科及答案.docx
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广东省潮州市学年度高考第二次模拟考试数学文科及答案
潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试
数学（文科）
参考公式：
球的表面积
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
1．若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则等于（）
A.-1B.C.2D.3
2．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检
测，这样的抽样是（）
A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．随机数法
3．在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
4．已知数列的前n项和，则的值为（）
A.B.C.D.
5.在中，若，则的形状是（）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．不能确定
6．若将一个质点随机投入下图所示的长方形ABCD中，
其中AB＝2BC＝4，则质点落在以AB为直径的半圆
内的概率是（ ）
A.B.C.D.
7．执行右边的程序框图，若输出，则输入（）
A.6B.7C.8D.9
8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（）
A．或B．
C．或D．或
9．已知，，三点共线，其中，则的最大值是（）
A．B．C．D．
10．已知奇函数的导函数在R恒成立，且满足不等式
，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题：
本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11－13题）
11．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是________.
12．已知，
则．
13．函数定义域为D，若满足：
①在D内是单调函数；②存在使在
上的值域为；那么就称为“域倍函数”。
若函数是“域倍函数”，则的取值范围为.
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程，
直线的极坐标方程为，则圆心到
直线距离为．
15．（几何证明选讲选做题）如图所示，⊙的两条切线和相交于点，与⊙相切于两点，是⊙上的一点，若，则________。
三．解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数，的最大值为2．
（1）求及的值；
（2）设，，，求的值．
17．（本小题满分12分）
为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到高三
（1）班20位学生的样本数据（单位:
小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：
[0,2），[2,4），[4,6），[6,8），[8,10），[10,12]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周
平均体育运动时间的平均数的估计值；
（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时
的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间
低于2小时的学生的概率。
18．（本小题满分14分）
如图1，平面五边形SABCD中
，沿AD折起成.如图2，使顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心，为上一点，.
（1）证明：
；
（2）求四棱锥的体积
19．（本小题满分14分）
已知数列的前n项和满足，且．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，证明：
20.（本小题满分14分）
已知直线过椭圆的一个焦点和一个顶点。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C
上，且，直线BD与轴交于点M，求常数使得
21．（本小题满分14分）
已知函数，其中a＞0.
（1） 若函数在上有极大值0，求a的值；
（2） 讨论并求出函数在区间上的最大值；
（3）在
（2）的条件下设，对任意,
证明：
不等式恒成立.
潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试
数学（文科）参考答案及评分说明
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
A
B
B
D
D
A
部分题解析：
7．.
8．圆心为，设；设选D.
9.由共线，有，所以，
即，从而
10.因为函数y=为奇函数，所以，由函数y=的导函数在R恒成立，知函数y=为减函数，
即，故的最小值为0，最大值为直径
二、填空题：
11.12π；12.1；13.；14.；15.
解析：
11.由三视图可得几何体的直观图上面是半径为1的球，下面是一个底面半径为1，高为3的
圆柱，表面积S＝S球＋S圆柱＝4π·12＋2π·1·3＋π·1·2＝12π，
12.由分别平方后相减得
13..题有函数是增函数，由“域倍函数”定义有，
即方程有两个不同实根，即方程有两个不同
正实根
14．由，
，∴．
15．连接，则.故，∴.
三、解答题：
16、解：
因为函数，的最大值为2，
所以A＝2，…………………………………………………2分
所以…………………………………………………3分
的最小正周期…………………4分
（2）…………………5分
…6分
…………………8分
…………………9分
…………………10分
……………12分
17
（1）解：
根据频率分布直方图，
各组的频率分别为：
0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05……………………2分
各组的中点分别为：
1，3，5，7，9，11……………………4分
该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为
…………………6分
（2）依题意可知，
平均运动时间低于4小时的学生中，在[0,2）的人数有，记为1，
在[2,4）的人数有，记为2，3，4，5…………………8分
从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：
（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）；……10分
其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：
（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）；………………………………11分
故所求概率……………………………………………………12分
18.解：
（1）证明：
因为四边形为菱形，为菱形中心，连结，
则，……………………………………………………1分
因，故…………………………2分
又因为，且，在中
……4分
所以，故，即……………………5分
又顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心，有，
所以,………………………6分
从而与平面SOM内两条相交直线OM,SO都垂直，所以………7分
（2）解：
由（Ⅰ）可知，
由题意及如图2知由底面,…………………9分
所以…………………………10分
此时…12分
所以四棱锥的体积………14分
19.解：
（1）当时，，……………………2分
（2）由，得
－：
得……………………4分
即，……………………6分
又，，所以……………………7分
∴数列是以6为首项，公比为3的等比数列，∴…………8分
（3）由
（2）得：
，……………………9分
故，………………11分
……………………………………………………………12分
.………………………………………14分.
20.解：
（1）直线过两点………………………1分
因为椭圆的焦点在x轴时，
故焦点为，顶点为………………………………………2分.
………………………………………3分.
………………………………………4分.
所以，所求椭圆C的方程为………………………………………5分
（2）设，则，直线AB的斜率，…6分
又，所以直线AD的斜率，…………………………………7分
设直线AD的方程为，由题意知，………………………8分
由，可得.
所以，…………………………………………9分
因此，
由题意知，，所以，……………………………11分
所以直线BD的方程为，
令，得，即.
可得.…………………………………………13分
所以，即.因此存在常数使得结论成立.………………14分
21.解：
（1）………………………………1分
明显，当时，，当时，………………2分
故函数在上单调递增，在上单调递减，………………………3分
因此函数在上有极大值…………………4分
∴解得…………………5分
（2）∵
①若，即，则当时，有，
∴函数f（x）在上单调递增，则．………6分
②若，即，则函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
∴．………………………………7分
③若，即，则当时，有，函数f（x）在上单调递减，
则．………………………………8分
综上得，当时，；
当时，；
当时，．…………………………9分
（3）要证明
只需证明…………………………………………10分
只需证明即证明，……………………11分
不妨设，令，则t＞1，则需证明…………12分
令，则
故不等式得证………………14分
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