八年级数学册181勾股定理人教版.docx

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八年级数学册181勾股定理人教版

启东市双鹤学校个人备课教案

一、教学任务分析：

课题

18.1勾股定理

（一）

课型

新授课

教

学

目

标

知识与技能

1．知道勾股定理的发现过程，知道勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

过程与方法

培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

情感目标

介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

教学重点与难点

1．重点：

勾股定理的内容及证明。

2．难点：

勾股定理的证明。

教学资源

小黑板

预习作业

内容

1、阅读书本P72~74

2、完成自主练习与检测的基础平台

时间

15分钟

方法

通过阅读自学。

要求

认真阅读，领会勾股定理的内容及证明方法

二、教学过程设计：

教师活动

学生活动

一、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：

“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

教师活动

学生活动

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

二、例题讲解

例1（补充）已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

⑵拼成如图所示，其等量关系为：

4S△+S小正=S大正

4×

ab＋（b－a）2=c2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：

在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

求证：

a2＋b2=c2。

分析：

左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×

ab＋c2，右边S=（a+b）2，左边和右边面积相等，即4×

ab＋c2=（a+b）2

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

教师活动

学生活动

三、课堂练习

1．如图，直角△ABC的主要性质是：

∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：

；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：

；

⑷三边之间的关系：

。

2．△ABC的三边a、b、c，若满足b2=a2＋c2，则=90°；若满足b2＞c2＋a2，则∠B是角；若满足b2＜c2＋a2，则∠B是角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

课

堂

总

结

1.勾股定理的内容

2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c=。

（已知a、b，求c）

⑵a=。

（已知b、c，求a）

⑶b=。

（已知a、c，求b）

三、作业布置：

P77~78/1~5

四、教后反思：

启东市双鹤学校个人备课教案

一、教学任务分析：

课题

18.1勾股定理

（二）

课型

新授课

教

学

目

标

知识与技能

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。

过程与方法

通过学生画好图形，标好图形，理清边边之间的关系，明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边，学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

情感目标

注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

教学重点与难点

1．重点：

勾股定理的简单计算。

2．难点：

勾股定理的灵活运用。

教学资源

小黑板

预习作业

内容

完成自主练习与检测页的基础平台

时间

15分钟

方法

自学。

要求

会应用勾股定理解决预习作业

二、教学过程设计：

教师活动

学生活动

一、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。

学习勾股定理重在应用。

二、、例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2,求b。

⑶已知c=17,b=8,求a。

⑷已知a：

b=1：

2,c=5,求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

分析：

⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。

⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。

⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。

通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。

后两题让学生

学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。

教师活动

学生活动

明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

分析：

已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。

让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：

如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高。

⑵求S△ABC。

分析：

勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。

欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中，

但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

AB=3cm，则此题可解。

三、课堂练习

1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：

b=3：

4，则a=，b=。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

小组讨论，合作求解

教师活动

学生活动

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

2．已知：

如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=

，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

课

堂

总

结

1.明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边，学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

2.注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

3.勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。

三、作业布置：

1．已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

2.78~79/7、8、9

四、教后反思：

启东市双鹤学校个人备课教案

一、教学任务分析：

课题

18.1勾股定理（三）

课型

新授课

教

学

目

标

知识与技能

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。

2．树立数形结合的思想。

过程与方法

学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

情感目标

教学重点与难点

1．重点：

勾股定理的应用。

2．难点：

实际问题向数学问题的转化。

教学资源

小黑板

预习作业

内容

阅读书本P74~75

完成自主练习与检测页的基础平台

时间

15分钟

方法

自学。

要求

看懂两个例题，会应用勾股定理解决预习作业

二、教学过程设计：

教师活动

学生活动

一、课堂引入

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。

勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？

试一试。

二、例习题分析

例1（教材P74页探究1）

分析：

⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。

⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？

⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。

⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？

图中标字母的线段哪条最长？

教师活动

学生活动

例2（教材P75页探究2）

分析：

⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。

⑵在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

三、课堂练习

1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4

米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。

2题图

3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。

4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。

教师活动

学生活动

1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，

∠B=60°，则江面的宽度为。

2．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=厘米。

3．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。

（精确到1米）

课

堂

总

结

1．明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

2.进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：

保证一边不变，其它两边的变化。

三、作业布置：

P79/10、11、12

四、教后反思：

启东市双鹤学校个人备课教案

一、教学任务分析：

课题

18．1勾股定理（四）

课型

新授课

教

学

目

标

知识与技能

1．会用勾股定理解决较综合的问题。

2．树立数形结合的思想。

过程与方法

“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。

让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

情感目标

教学重点与难点

1．重点：

勾股定理的综合应用。

2．难点：

勾股定理的综合应用。

教学资源

小黑板

预习作业

内容

3、阅读书本P76~77

4、完成自主练习与检测页的基础平台

时间

15分钟

方法

认真阅读，动手实践

要求

会用勾股定理在数轴上画一些特殊的无理数

二、教学过程设计：

教师活动

学生活动

一、课堂引入

复习勾股定理的内容。

本节课探究勾股定理的综合应用。

二、例习题分析

例1（补充）1．已知：

在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，求线段AB的长。

学生能够自己画图，并正确标图。

学生分析：

欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。

或欲求AB，可由

，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6。

教师活动

学生活动

分析：

本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

例2（补充）已知：

如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？

分析：

由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°。

小结：

可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

并指出如何作辅助线？

例3（补充）已知：

如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：

四边形ABCD的面积。

分析：

如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

教学中要逐层展示给学生。

解：

延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=

=

。

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=

=

。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=

AB·BE-

CD·DE=

学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。

学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？

为什么？

学生深入体会

教师活动

学生活动

小结：

不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。

例4（教材P76页探究3）

分析：

利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。

变式训练：

在数轴上画出表示

的点

课

堂

总

结

1.“双垂图”需要掌握的知识点有：

3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

2.解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

清楚作辅助线不能破坏已知角。

三、作业布置：

1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=

，AB=。

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a=，b=。

3．已知：

如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°AC=

，

求

（1）AB的长；

（2）S△ABC。

4．在数轴上画出表示－

的点。

四、教后反思：