matlab优化工具箱的使用.docx
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matlab优化工具箱的使用
优化工具箱的使用
MATLAB的优化工具箱提供了各种优化函数，这些优化函数可以通过在命令行输入相应的函数名加以调用；此外为了使用方便，MATLAB还提供了图形界面的优化工具（GUIOptimizationtool）。
1GUI优化工具
1.1GUI优化工具的启动
有两种启动方法：
（1）在命令行输入optimtool；
（2）在MATLAB主界面单击左下角的“Start”按钮，然后依次选择“Toolboxes→Optimization→Optimizationtool”
1.2GUI优化工具的界面
界面分为三大块：
左边（ProblemSetupandResults）为优化问题的描述及计算结果显示；
中间（Options）为优化选项的设置；
右边（QuickReference）为帮助。
为了界面的简洁，可以单击右上角“<<”、“>>”的按钮将帮助隐藏或显示。
1、优化问题的描述及计算结果显示
此板块主要包括选择求解器、目标函数描述、约束条件描述等部分。
选择合适的求解器以及恰当的优化算法，是进行优化问题求解的首要工作。
✧Solver：
选择优化问题的种类，每类优化问题对应不同的求解函数。
✧Algorithm：
选择算法，对于不同的求解函数，可用的算法也不同。
Problem框组用于描述优化问题，包括以下内容：
✧Objectivefunction:
输入目标函数。
✧Derivatives:
选择目标函数微分（或梯度）的计算方式。
✧Startpoint:
初始点。
Constraints框组用于描述约束条件，包括以下内容：
✧Linearinequalities:
线性不等式约束，其中A为约束系数矩阵，b代表约束向量。
✧Linearequalities:
线性等式约束，其中Aeq为约束系数矩阵，beq代表约束向量。
✧Bounds:
自变量上下界约束。
✧NonlinearConstraintsfunction;非线性约束函数。
✧Derivatives:
非线性约束函数的微分（或梯度）的计算方式。
Runsolverandviewresults框组用于显示求解过程和结果。
（对于不同的优化问题类型，此板块可能会不同，这是因为各个求解函数需要的参数个数不一样，如Fminunc函数就没有Constraints框组。
）
2、优化选项（Options）
✧Stoppingcriteria:
停止准则。
✧Functionvaluecheck:
函数值检查。
✧User-suppliedderivatives:
用户自定义微分（或梯度）。
✧Approximatedderivatives:
自适应微分（或梯度）。
✧Algorithmsettings:
算法设置。
✧Inneriterationstoppingcriteria:
内迭代停止准则。
✧Plotfunction:
用户自定义绘图函数。
✧Outputfunction:
用户自定义输出函数。
✧Displaytocommandwindow:
输出到命令行窗口。
对于不同的优化问题类型，此板块也会不同，
3、帮助（QuickReference）
每选择一个函数求解器，帮助部分都有对这个函数的功能说明，同时还会给出相应的各个输入项说明。
1.3GUI优化工具的使用步骤
（1）选择求解器Solver和优化算法。
（2）选定目标函数。
（3）设定目标函数的相关参数。
（4）设置优化选项。
（5）单击“Start”按钮，运行求解。
（6）查看求解器的状态和求解结果。
（7）将目标函数、选项和结果导入/导出。
（在菜单文件中寻找）
1.4GUI优化工具的应用实例
1、无约束优化（fminunc求解器）
fminunc求解器可用的算法有两种：
ØLargescale（大规模算法）
ØMediumscale（中等规模算法）
对于一般问题，采用中等规模算法即可。
例1：
用优化工具求
的极小值，初始点取x=0。
解：
首先在当前MATLAB的工作目录下建立目标函数文件Fununc1.m文件：
functiony=FunUnc1（x）%function必须为小写，如果F为大写则不行
y=x^2+4*x-6;%平方符号输入时用键盘上数字6上的符合，否则错误
然后启动优化工具：
✧在Solver下拉选框中选择fminunc；
✧Algorithm下拉选框中选择Mediumscale；
✧目标函数栏输入@FunUnc1；%运算时输入函数不知什么原因老有错误，直接输入目标函数却没有错误
✧初始点输入0，其余参数默认；
✧单击“Start”按钮运行。
从求解结果可以看出，函数的极小值为-10，且在x=-2时取到，而且从Currentiteration框可以看出迭代的步数。
对于函数形式比较简单的情况，可以直接输入目标函数，而不用建立目标函数文件，在目标函数栏中直接输入@（x）x^2+4*x-6，也可求出结果。
此题能否用进退法和黄金分割法（或二次插值法）求解吗？
不能，要用进退法或黄金分割法得自己先编程序，然后才能调用这样的函数。
2、无约束优化（fminsearch求解器）
fminsearch求解器也可用来求解无约束优化问题，它有时候能求解fminunc不能解决的问题。
例2：
用优化工具求
的极小值，初始点取x=-7，比较fminunc和fminsearch求出的结果。
解：
通过数学计算，可以得到本例中的极小点有两个x1=1,x2=2。
启动优化工具：
✧在Solver下拉选框中选择fminunc；
✧Algorithm下拉选框中选择Mediumscale；
✧目标函数栏输入@（x）abs（x^2-3*x+2）;
✧初始点输入-7，其余参数默认；
✧单击“Start”按钮运行。
Fminunc求得的结果为x=1.5,显然数值不对，它是未加绝对值时函数
的极小值。
✧然后在Solver下拉选框中选择fminsearch；
✧Algorithm下拉选框中选择Mediumscale；
✧目标函数栏输入@（x）abs（x^2-3*x+2）;
✧初始点输入-7，其余参数默认；
✧单击“Start”按钮运行。
fminsearch求得的结果为x=2,显然数值是对的。
可为什么不能求出数值x=1呢，因为此时的函数值也是最小的。
由此可得结论：
对于非光滑优化问题Fminunc可能求不到正确的结果，而fminsearch却能很好地胜任这类问题的求解。
2MATLAB优化工具箱在一维优化问题中的应用
2.1应用fminbnd函数
在MATLAB中，fminbnd函数可用来求解一维优化问题，其调用格式为：
（1）x=fminbnd（fun,x1,x2）;%求函数fun在区间（x1,x2）上的极小值对应的自变量值。
（2）x=fminbnd（fun,x1,x2,options）;%按options结构指定的优化参数求函数fun在区间（x1,x2）上的极小值对应的自变量值，而options结构的参数可以通过函数optimset来设置，其中options结构中的字段如下：
Display——设置结果的显示方式：
off——不显示任何结果；iter——显示每步迭代后的结果；final——只显示最后的结果；notify——只有当求解不收敛的时候才显示结果。
FunValCheck——检查目标函数值是否可接受：
On——当目标函数值为复数或NaN时显示出错信息；
Off——不显示任何错误信息。
MaxFunEvals——最大的目标函数检查步数。
MaxIter——最大的迭代步数。
OutputFcn——用户自定义的输出函数，它将在每个迭代步调用。
PlotFcns——用户自定义的绘图函数。
TolX——自变量的精度。
（3）[x,fval]=fminbnd（...）;%此格式中的输出参数fval返回目标函数的极小值。
（4）[x,fval,exitflag]=fminbnd（...）;%此格式中的输出参数exitflag返回函数fminbnd的求解状态（成功或失败），说明如下：
exitflag=1——fminbnd成功求得最优解，且解的精度为TolX；
exitflag=0——由于目标函数检查步数达到最大或迭代步数达到最大值而推出。
exitflag=-1——用户自定义函数引起的退出。
exitflag=-2——边界条件不协调（x1>x2）。
（5）[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（...）;%此格式中的输出参数output返回函数fminbnd的求解信息（迭代次数、所用算法等），说明如下：
output结构中的字段：
output.algorithm:
优化算法
output.iterations:
优化迭代步数
output.funcCount:
目标函数检查步数
output.message:
退出信息
例1：
用fminbnd求函数
在区间[-2,1]上的极小值。
解：
在MATLAB命令窗口输入
>>[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（‘x^4-x^2+x-1’,-2,1）
所得结果为
x=-0.8846
fval=-2.0548
exitflag=1
output=iterations:
11%迭代次数为11次
funcCount:
12%函数计算了12次
algorithm:
'goldensectionsearch,parabolicinterpolation'%fminbnd用了黄金分割法和抛物线算法求本例函数的极小值
message:
[1x112char]
要查看结果的精度，可以接着在MATLAB命令窗口中输入
>>output.message
可得如下信息
ans=Optimizationterminated:
thecurrentxsatisfiestheterminationcriteriausingOPTIONS.TolXof1.000000e-004
说明求得结果的精度为1.0e-4,如果想提高精度，可以通过option结构来指定，在MATLAB命令窗口输入
>>opt=optimset（‘TolX’,1.0e-6）;
>>formatlong;
>>[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（‘x^4-x^2+x-1’,-2,1,opt）
所得结果为
x=-0.884646164474752
fval=-2.054784062185396
exitflag=1
output=iterations:
11
funcCount:
12
algorithm:
'goldensectionsearch,parabolicinterpolation'
message:
[1x112char]
这样求得的结果x就有了1.0e-6的精度。
为了理解fminbnd的求解原理，将每一步的迭代过程打印出来，在MATLAB命令窗口中输入
>>opt=optimset（‘display’,’iter’）;
>>[x,fval,exitflag,output]=fminbnd（‘x^4-x^2+x-1’,-2,1,opt）
所得结果为
Func-countxf（x）Procedure
1-0.854102-2.05144initial
2-0.145898-1.16673golden
3-1.2918-1.17585golden
4-0.72025-1.9699parabolic
5-0.853884-2.05139parabolic
6-0.890887-2.05464parabolic
7-1.04402-1.94595golden
8-0.884922-2.05478parabolic
9-0.88455-2.05478parabolic
10-0.884647-2.05478parabolic
11-0.884613-2.05478parabolic
12-0.88468-2.05478parabolic
Optimizationterminated:
thecurrentxsatisfiestheterminationcriteriausingOPTIONS.TolXof1.000000e-004
x=-0.884646700241543
fval=-2.054784062184385
exitflag=1
output=iterations:
11
funcCount:
12
algorithm:
'goldensectionsearch,parabolicinterpolation'
message:
[1x112char]
分析迭代过程可发现，fminbnd首先产生一个迭代的初始点，经过简单的计算可以发现，这个初始点是区间的黄金分割点（-0.854=-2+（1-0.618）*（1+2）），接着再用黄金分割法迭代，直到相连两步迭代得到的f（x）相差不大时，此时用二次插值法迭代一步，如果用二次插值法得到的估计点可以接受的话（和前次黄金分割法得到的f（x）相差不大），则再用二次插值法迭代，如果相连两次二次插值法迭代得到的f（x）相差不大，且自变量的差别很小，则继续直到满足精度要求，否则换用黄金分割法。
例2：
用fminbnd求函数
在区间[-10,10]上的极小值。
解：
在MATLAB命令窗口中输入
>>[x,fval,exitflag]=fminbnd（‘exp（-x^2）*（x+sin（x））’,-10,10）
所得结果为
x=-0.6796
fval=-0.8242
exitflag=1
函数
在区间[-10,10]上的图形如图所示，在此区间上函数有两个极值点，一个极大值，一个极小值，函数fminbnd成功求得极小值点。
例3：
用fminbnd求函数
在区间[-4,4]上的极小值。
解：
在MATLAB命令窗口中输入
>>[x,fval]=fminbnd（‘sin（2*x+1）+3*sin（4*x+3）+5*sin（6*x+5）’,-4,4）
所得结果为
x=-1.1082
fval=-8.8940
若在MATLAB命令窗口中输入
>>[x,fval,exitflag]=fminbnd（‘sin（2*x+1）+3*sin（4*x+3）+5*sin（6*x+5）’,-4,4）
x=-1.1082
fval=-8.8940
exitflag=1
例4：
用fminbnd求函数
在区间[-8,8]上的极小值。
解：
在MATLAB命令窗口中输入
>>[x,fval]=fminbnd（‘-1/（（x-2）^2+3）-1/（3*（x-5）^2+4）-1/（2*（x-1）^2+1）’,-8,8）
所得结果为
x=1.0337
fval=-1.2715
例5：
用fminbnd求函数
在区间[-2,2]上的极小值。
解：
在MATLAB命令窗口中输入
>>[x,fval]=fminbnd（‘abs（x+1）+x^2+x-2’,-2,2）
所得结果为
x=-1.0000
fval=-2.0000
2.2应用fminsearch函数
fminsearch函数的主要功能是求多变量的极值问题，当然也就可以求单变量极值问题。
例：
用fminsearch函数求函数
的极小值。
解：
在MATLAB命令窗口中输入
>>[x,fval,exitflag,output]=fminsearch（‘x^4-x^2+x-1’,0）
所得结果为
x=-0.8846
fval=-2.0548
exitflag=1
output=iterations:
24
funcCount:
48
algorithm:
'Nelder-Meadsimplexdirectsearch'
message:
[1x196char]
3MATLAB优化工具箱在无约束优化问题中的应用
3.1应用fminsearch函数
在MATLAB中，fminsearch函数可用来求解无约束多维极值问题，其调用格式为
（1）x=fminsearch（fun,x0）：
从起始点x0出发，求出fun的一个局部极小点；
（2）x=fminsearch（fun,x0,options）：
按options结构指定的优化参数求函数fun的极小点，而options结构的参数可以通过函数optimset来设置，options结构中的各个字段及其含义如表所示；
字段
说明
Display
设置结果的显示方式：
off——不显示任何结果；iter——显示每步迭代后的结果；final——只显示最后的结果；notify——只有当求解不收敛的时候才显示结果。
FunValCheck
检查目标函数值是否可接受：
On——当目标函数值为复数或NaN时显示出错信息；
Off——不显示任何错误信息。
MaxFunEvals
最大的目标函数检查步数
MaxIter
最大的迭代步数
OutputFcn
用户自定义的输出函数，它将在每个迭代步调用
PlotFcns
用户自定义的绘图函数，它将在每个迭代步调用
TolFun
目标函数值的精度
TolX
自变量的精度。
（3）[x,fval]=fminsearch（…）：
此格式中的输出参数fval返回目标函数的极小值。
（4）[x,fval,exitflag]=fminsearch（…）：
此格式中的输出参数exitflag返回函数fminsearch的求解状态（成功或失败），其取值如表所示。
exitflag
说明
1
fminbnd成功求得最优解，且解的精度为TolX
0
由于目标函数检查步数达到最大或迭代步数达到最大值而退出。
-1
用户自定义函数引起的退出
（5）[x,fval,exitflag,output]=fminsearch（…）：
此格式中的输出参数output返回函数fminsearch的求解信息（迭代次数、所用算法等），其字段及其含义如表所示：
Output结构中的字段
说明
output.algorithm
优化算法
output.iterations
优化迭代步数
output.funcCount
目标函数检查步数
output.message
退出信息
例1：
用fminsearch函数求解无约束多维函数
的极小值。
解：
在MATLAB命令窗口中输入
>>fx=@（x）sin（x
（1））+sin（x
（2））;%建立函数
>>[xv,fv]=fminsearch（fx,[0,0]）
所得结果为
xv=-1.5708-1.5708
fv=-2.0000
例2：
用fminsearch函数求解无约束多维函数
的极小值。
解：
显然，上式的极值点为（2，-1），最小值为-2/15。
在MATLAB命令窗口中输入
>>fx=@（x）-1/（（x
（1）-2）^2+3）-1/（2*（x
（2）+1）^2-5）;
>>[xv,fv]=fminsearch（fx,[0,0]）
所得结果为
xv=2.0000-1.0000
fv=-0.1333
为了看清楚fminsearch函数的单纯型搜索过程，采用optimset函数设置options结构，将display字段设为iter，以显示每次迭代的信息。
在MATLAB命令窗口中输入
>>opt=optimset（‘display’,’iter’）;
>>[xv,fv]=fminsearch（fx,[0,0],opt）
所得结果为
IterationFunc-countminf（x）Procedure
010.190476
130.190456initialsimplex%初始单纯型
250.190224expand%扩展
370.190067expand
490.189526expand
5110.188944expand
6130.187583expand
7150.185763expand
8170.182219expand
9190.177002expand
10210.167918expand
11230.154383expand
12250.13326expand
13270.103875expand
14290.0643404expand
15310.0157881expand
1633-0.0384754expand
1735-0.0567264reflect%反射
1836-0.0567264reflect
1938-0.0567264contractinside%压缩
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