高考数学试题届高考理科数学第一轮总复习检测17.docx
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高考数学试题届高考理科数学第一轮总复习检测17
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
【最新考纲】 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
1．平面的基本性质
公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
公理2：
过不共线的三点，有且只有一个平面．
公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
3.平行公理（公理4）和等角定理
平行公理：
平行于同一条直线的两条直线平行．
等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
（1）定义：
设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．
（2）范围：
（0，
]．
1．（质疑夯基）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”．）
（1）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．（ ）
（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．（ ）
（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（ ）
（4）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）× （4）×
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为（ ）
A．30° B．45°
C．60°D．90°
解析：
连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，
故∠D1B1C为所求，
又B1D1＝B1C＝D1C，
∴∠D1B1C＝60°.
答案：
C
3．（经典再现）在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析：
A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．
答案：
A
4．（2015·广东卷）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
解析：
法一 ∵l与l1，l2分别共面．
故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．
若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．
故l至少与l1，l2中的一条相交．
法二 如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．
答案：
D
5．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
解析：
连接DF，则AE∥DF，
∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角．
设正方体棱长为a，
则D1D＝a，DF＝
a，D1F＝
a，
∴cos∠D1FD＝
＝
.
答案：
两点注意
1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
两种方法
异面直线的判定方法：
1．判定定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．
2．反证法：
证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得出两直线异面．
三个作用
1．公理1的作用：
（1）判断直线在平面内；
（2）由直线在平面内判断直线上的点在平面内；（3）由直线的“直”刻画平面的平．
2．公理2的作用：
公理2及其推论给出了确定一个平面或判断直线共面的方法．
3．公理3的作用：
（1）判定两平面相交；
（2）作两平面相交的交线；（3）证明多点共线．
A级 基础巩固
一、选择题
1．给出以下命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：
①中显然是正确的；②中若A，B，C三点共线则A，B，C，D，E五点不一定共面，不正确；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，不正确．故只有①正确．
答案：
B
2．（2015·湖北卷）l1，l2表示空间中的两条直线，若p：
l1，l2是异面直线，q：
l1，l2不相交，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：
若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线．
故p⇒q，q⇒/p，故p是q的充分不必要条件．
答案：
A
3．（2016·郑州联考）已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（ ）
A．相交或平行B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
解析：
依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．
答案：
D
4．如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2（ ）
A．互相平行B．异面且互相垂直
C．异面且夹角为
D．相交且夹角为
解析：
将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连结AD，则△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为
.
答案：
D
5．（2016·山东师大附中月考）三棱柱ABCA1B1C1中，AA1与AC、AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为（ ）
A．1B.
C.
D.
解析：
如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDCA1B1D1C1，连接BD1，A1D1，则BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角，设AB＝α，在△A1BD1中，A1B＝a，BD1＝
a，A1D1＝
a，∴sin∠A1BD1＝
.
答案：
D
二、填空题
6．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________（注：
把你认为正确的结论序号都填上）．
解析：
由图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．
因为D1C∥MN
所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.
答案：
③④
7．如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1（底面为正方形，侧棱与底面垂直）中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________．
解析：
连接BC1，A1C1，则A1B与BC1所成角即为所求．在△A1BC1中，设AB＝a，则A1B＝BC1＝
a，A1C1＝
a，
所以cos∠A1BC1＝
＝
.
答案：
8．（2014·江西卷）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
解析：
取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．
所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
答案：
4
三、解答题
9．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
（1）AM和CN是否是异面直线？
说明理由．
（2）D1B和CC1是否是异面直线？
说明理由．
解：
（1）AM，CN不是异面直线．理由：
连结MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.
又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线．
（2）直线D1B和CC1是异面直线．
理由：
因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，
这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线．
10．（2017·广州一模）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
图1 图2
（1）求证：
AB⊥平面ADC；
（2）若AD＝1，二面角CABD的平面角的正切值为
，求二面角BADE的余弦值．
解析：
（1）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
又BD⊥DC，所以DC⊥平面ABD.
因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB.
又因为折叠前后均有AD⊥AB，DC∩AD＝D，
所以AB⊥平面ADC.
（2）由
（1）知AB⊥平面ADC，所以二面角C—AB—D的平面角为∠CAD.
又DC⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，所以DC⊥AD.
依题意tan∠CAD＝
＝
.
因为AD＝1，所以CD＝
.
设AB＝x（x＞0），则BD＝
.
依题意△ABD～△BDC，所以
＝
，
即
＝
.
解得x＝
，故AB＝
，BD＝
，BC＝
＝3.
如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，则D（0，0，0），B（
，0，0），C（0，
，0），
E
，A
，
所以
＝
，
＝
.
由
（1）知平面BAD的法向量n＝（0，1，0）．
设平面ADE的法向量m＝（x，y，z）
由
得
令x＝
，得y＝－
，z＝－
，
所以m＝（
，－
，－
）．
所以cos〈n，m〉＝
＝－
.
由图可知二面角BADE的平面角为锐角，
所以二面角BADE的余弦值为
.
B级 能力提升
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是（ ）
解析：
在A图中分别连结PS，QR，
易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；
在C图中分别连结PQ，RS，
易证PQ∥RS，∴P，Q，R，S共面；
如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；
D图中PS与QR为异面直线，
∴P，Q，R，S四点不共面．
答案：
D
2．（2016·青岛质检）如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．
解析：
取DE的中点H，连接HF，GH.
由题设，HF
AD.
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角（或其补角）
在△GHF中，可求HF＝
，GF＝GH＝
，
∴cos∠HFG＝
＝
.
答案：
3．（2016·佛山质检）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：
PC⊥AD；
（2）在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？
若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．
（1）证明：
取AD的中点O，连接OP，OC，AC.
因为四边形ABCD是∠ABC＝60°的菱形．
所以∠ADC＝60°，AD＝CD，
则△ACD是等边三角形，OC⊥AD
在等边△PAD中，PO⊥AD
又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，
所以AD⊥平面POC，
由PC⊂平面POC，得PC⊥AD.
（2）解：
存在．当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，证明如下：
取棱PB的中点Q，连接QM，QA.
因为点M为PC的中点，所以QM∥BC
在菱形ABCD中，AD∥BC
所以QM∥AD
故A，Q，M，D四点共面．
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