重庆市中考数学24题.docx

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重庆市中考数学24题

2012年

重庆市中考数学第24题

一、解答题（共30小题）

1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE

（1）求证：

BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：

BG=DG+CD．

2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与

BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．

（1）若HE=HG，求证：

△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一

点，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）当CE=1时，求△BCE的面积；

（2）求证：

BD=EF+CE．

4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且

．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．

（1）求证：

OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E

，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=

，CF=6．

（1）求线段CD的长；

（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：

∠BCH=45°﹣

∠EBC．

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．

（1）若AB=6cm，

，求梯形ABCD的面积；

（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：

HD=BE+BF．

7、已知：

如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD

于点E．

（1）求证：

AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．

8、已知：

如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．

（1）求证：

∠DAE=∠DCE；

（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？

并证明你的结论．

9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．

（1）求证：

DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；

（1）证明：

EF=EA；

（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：

EG⊥AF．

11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形

ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．

（1）求证：

EB=EF；

（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．

12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．

（1）求证：

AE=GF；

（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．

13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．

（1）求证：

FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的长．

14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．

（1）求证：

AD=BE；

（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．

15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求证：

AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．

16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．

（1）求证：

AE⊥BD；

（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．

17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．

（1）求证：

CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE．

18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．

19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且

．

（1）求证：

BF=EF﹣ED；

（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．

20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．

（2）若点F是CD的中点，求证：

CE=BE﹣AD．

21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．

（1）求证：

DH=

（AD+BC）；

（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．

22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线

上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．

（1）求证：

△AGE≌△DAB；

（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．

23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．

（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=

，试判断△DCF的形状；

（3）在条件

（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．

24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的

延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．

（1）证明：

△ABE≌△DAF；

（2）求∠BPF的度数．

25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．

（1）求∠ABC的度数；

（2）如果BC=8，求△DBF的面积？

26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．

（1）求证：

△AGD为正三角形；

（2）求EF的长度．

27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．

（2）求证：

ED=BE+FC．

28、（2005•镇江）已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．

（1）求证：

△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．

29、已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．

求证：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE；

（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．

30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．

（1）求证：

四边形ABED是菱形；

（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．

答案与评分标准

一、解答题（共30小题）

1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE

（1）求证：

BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：

BG=DG+CD．

考点：

等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

（1）由已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，可推出△BAE≌△CDE，得证．

（2）首先延长CD和BE交点H，通过证明三角形全等，证得BG=DG+CD

解答：

证明：

（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，

∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，

∴△BAE≌△CDE，

∴BE=CE；

（2）延长CD和BE的延长线交于H，

∵BF⊥CD，∠HEC=90°，

∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°

∴∠EBF=∠ECH，

又∠BEC=∠CEH=90°，

BE=CE（已证），

∴△BEG≌△CEH，

∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，

∵△BAE≌△CDE（已证），

∴∠AEB=∠GED，

∠HED=∠AEB，

∴∠GED=∠HED，

又EG=EH（已证），ED=ED，

∴△GED≌△HED，

∴DG=DH，

∴BG=DG+CD．

点评：

此题考查的知识点是等腰梯形的性质和全等三角形的判定与性质，此题的关键是由等腰梯形的性质证明三角形全等推出结论．

2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与

BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．

（1）若HE=HG，求证：

△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．

考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；直角梯形。

分析：

（1）熟记全等三角形的判定定理，根据题目所给的条件能够证明∠AED=∠CGF，EH=GC，且是直角三角形，可根据AAS证明其全等．

（2）根据角平分线上的点到两边的距离相等，可证明AD=DF，DF=DC﹣FC，可求出其结果．

解答：

（1）证明：

∵HE=HG，

∴∠HEG=∠HGE，

∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，

∴∠BEH=∠FGC，

∵G是HC的中点，

∴HG=GC，

∴HE=GC，

∵∠HBE=∠CFG=90°．

∴△EBH≌△GFC；

（2）解：

∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，

∴AD=DF，

∵DF=DC﹣FC，

∵△EBH≌△GFC，

∴FC=BH=1，

∴AD=4﹣1=3．

点评：

本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，以及直角梯形的性质等．

3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一

点，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）当CE=1时，求△BCE的面积；

（2）求证：

BD=EF+CE．

考点：

梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

专题：

计算题。

分析：

（1）先证明∠BCE=90°，∠CBE=30°，△BCE为直角三角形，又CE=1，继而求出BE的长，再根据三角形的面积公式求解即可；

（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．

解答：

（1）解：

∵AD=CD，

∴∠DAC=∠DCA，

∵DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，

∴

，

∵DC∥AB，AD=BC，

∴∠DAB=∠CBA=60°，

∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，

∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，

∵BE⊥AB，

∴∠ABE=90°，

∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，

在Rt△BCE中，BE=2CE=2，

，

∴

…（5分）

（2）证明：

过E点作EM⊥DB于点M，

∴四边形FDME是矩形，

∴FE=DM，

∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，

∴△BME≌△ECB，

∴BM=CE，

∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）

点评：

本题考查梯形的性质及全等三角形的判定与性质，难度适中，注意对这些知识的熟练掌握以便灵活运用．

4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且

．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．

（1）求证：

OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．

考点：

全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；等腰梯形的性质；等腰梯形的判定。

专题：

证明题。

分析：

（1）延长EF交AD于G，证平行四边形ACEG，推出DG=CE，证△CEF≌△DGF，推出DF=CF，根据三角形的中位线定理求出即可；

（2）根据等腰梯形的性质求出OB=EF，推出AC=BD，根据矩形的判定即可推出结论．

解答：

（1）证明：

延长EF交AD于G（如图），

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，

∵EF∥CA，EG∥CA，

∴四边形ACEG是平行四边形，

∴AG=CE，

又∵

，AD=BC，

∴

，

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠ECF，

在△CEF和△DGF中，

∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，

∴△CEF≌△DGF（AAS），

∴CF=DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，

∴OF∥BE．

（2）解：

如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．

证明：

∵OF∥CE，EF∥CO，

∴四边形OCEF是平行四边形，

∴EF=OC，

又∵梯形OBEF是等腰梯形，

∴BO=EF，

∴OB=OC，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．

∴AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

点评：

本题主要考查对等腰梯形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的判定，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E

，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=

，CF=6．

（1）求线段CD的长；

（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：

∠BCH=45°﹣

∠EBC．

考点：

梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质。

专题：

计算题；数形结合。

分析：

（1）连接BD，由题意得出∠GAD=90°，从而证明△GAD≌△EFD，得出DA=DF再证明Rt△BAD≌Rt△BFD，利用勾股定理求出BC，继而得出线段CD的长．

（2）结合

（1）可得出∠ADB=∠CBD，CD=CB，然后证明△CDH≌△CBH，得出∠DCH=∠BCH后，即可得出结论．

解答：

（1）解：

连接BD，

由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，

又∵BF⊥CD，

∴∠DFE=90°

又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，

∴△GAD≌△EFD，

∴DA=DF，

又∵BD=BD，

∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），

∴BF=BA=

，∠ADB=∠BDF

又∵CF=6，

∴BC=

，

又∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∴∠BDF=∠CBD，

∴CD=CB=8．

（2）证明：

∵AD∥BC，

∴∠E=∠CBF，

∵∠HDF=∠E，

∴∠HDF=∠CBF，

由

（1）得，∠ADB=∠CBD，

∴∠HDB=∠HBD，

∴HD=HB，

由

（1）得CD=CB，

∴△CDH≌△CBH，

∴∠DCH=∠BCH，

∴∠BCH=

∠BCD=

=

．

点评：

此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，综合性较强，解答本题的关键是利用三角形全等的知识，将已知线段进行转化，另外要注意等角代换的应用，难度较大．

6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．

（1）若AB=6cm，

，求梯形ABCD的面积；

（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：

HD=BE+BF．

考点：

直角梯形；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。

专题：

证明题。

分析：

（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，在Rt△ABC中，利用三角函数求出BC，在Rt△CDM中，∠D=45°，利用等腰直角三角形的性质得到DM=CM=AB=6，则AD=6+8=14，然后根据梯形的面积公式计算即可；

（2）过G作GN⊥AD，则DN=GN，由AD∥BC，得∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，得到∠BFE=∠GHN，易证Rt△BEF≌Rt△NGH，则BE=GN，BF=HN，经过代换即可得到结论．

解答：

解：

（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，

在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB=

=

，

∴AC=10，

∴BC=8，

在Rt△CDM中，∠D=45°，

∴DM=CM=AB=6，

∴AD=6+8=14，

∴梯形ABCD的面积=

•（8+14）•6=66（cm2）；

（2）证明：

过G作GN⊥AD，如图，

∵∠D=45°，

∴△DNG为等腰直角三角形，

∴DN=GN，

又∵AD∥BC，

∴∠BFH=∠FHN，

而∠EFH=∠FHG，

∴∠BFE=∠GHN，

∵EF=GH，

∴Rt△BEF≌Rt△NGH，

∴BE=GN，BF=HN，

∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．

点评：

本题考查了解有关直角梯形的问题的方法：

把直角梯形的问题转化为解直角三角形的问题．也考查了全等三角形的判定与性质以及解直角三角形．

7、已知：

如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD

于点E．

（1）求证：

AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．

考点：

平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质。

分析：

（1）证明四边形ABDF是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论；

（2）首先证明四边形ABCD是菱形，再用菱形的性质可得到AC⊥BD，再根据两直线平行，同位角相等得到∠CAF=∠COD=90°．

解答：

（1）证明：

如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD．

∵DF=CD，

∴AB∥DF．

∵DF=CD，

∴AB=DF．

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴AE=DE．

（2）解：

∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形．

∴AC⊥BD．

∴∠COD=90°．

∵四边形ABDF是平行四边形，

∴AF∥BD．

∴∠CAF=∠COD=90°．

点评：

此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法与性质．

8、已知：

如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．

（1）求证：

∠DAE=∠DCE；

（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？

并证明你的结论．

考点：

正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形。

专题：

代数几何综合题。

分析：

（1）通过全等三角形的判定定理SAS判定△DAE≌△DCE，然后根据全等三角形的对应角相等知∠DAE=∠DCE；

（2）如图，由∠CEG=2∠EAC，∠ECB=2∠CEG可得，4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，得∠G=∠CEG=30°；根据直角三角形中特殊角的三角函数值，可得在直角△ECH中，EH=2

CH，在直角△FCH中，CH=

CF，代入可得出．

解答：

（1）证明：

在△DAE和△DCE中，

∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），

ED=DE（公共边），

AE=CE（正方形的四条边长相等），

∴△DAE≌△DCE（SAS），

∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；

（2）解：

如图，由

（1）知，△DAE≌△DCE，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；

又∵CG=CE（已知），

∴∠G=∠CEG（等边对等角）；

而∠CEG=2∠EAC（外角定理），

∠ECB=2∠CEG（外角定理），

∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，

∴∠G=∠CEG=30°；

过点C作CH⊥AG于点H，

∴∠FCH=30°，

∴在直角△ECH中，EH=

CH，EG=2

CH，

在直角△FCH中，CH=

CF，

∴EG=2

×

CF=3CF．

点评：

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值，本题综合比较强，考查了学生对于知识的综合运用能力．

9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．

（1）求证：

DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．

考点：

正方形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

分析：

（1）连接PC．根据直角三角形的性质可得PC=

EF=PA．运用“SSS”证明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；

（2）作PH⊥CF于H点．分别求DF和PH的长，再计算面积．设DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，运用勾股定理可求DF；根据三角形中位线定理求PH．

解答：

（1）证明：

连接PC．

∵ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．

∵BE=DF，

∴△ABE≌△ADF．（SAS）

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．

∴∠EAF=∠BAD=90°．

∵P是EF的中点，

∴PA=

EF，PC=

EF，

∴PA=PC．

又AD=CD，PD公共，

∴△PAD≌△PCD，（SSS）

∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H点．

∵P是EF的中点，

∴PH=

EC．

设EC=x．

由

（1）知△EAF是等腰直角三角形，

∴∠AEF=45°，

∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，

∴EF=2x，FC=

x，BE=2﹣x．

在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（

x）2解得x1=﹣2﹣2

（舍去），x2=﹣2+2

．

∴PH=﹣1+

，FD=

（﹣2+2

）﹣2=﹣2

+4．

∴S△DPF=

（﹣2

+4）×

=3

﹣5．

点评：

此题考查正方形、特殊直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大．

10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；

（1）证明：

EF=EA；

（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：

EG⊥AF．

考点：

全等三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定。

专题：

证明题。

分析：

（1）求简单的